高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第8课时正弦定理、余弦定理的应用举例学案

第8课时正弦定理、余弦定理的应用举例[考试要求]能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．考点一测量距离问题[典例1]如图，线段CD是某铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A、B，在四边形ABCD中，测得AB＝50m，∠BAC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝75°．(1)试求B、D之间的距离及B、C之间的距离；(2)求应开凿的隧道CD的长．[解](1)在△ABD中，∵∠DAC＝75°，∠CAB＝45°，∴∠DAB＝120°，又∠DBA＝30°，∴∠ADB＝30°，∴△ABD为等腰三角形，∴AB＝AD＝50m．由余弦定理可得BD2＝502＋502－2×50×50cos120°＝502×3，∴BD＝503m．在△ABC中，∠CAB＝45°，∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝30°＋75°＝105°，∴∠ACB＝30°，由正弦定理可得50sin30°∴BC＝502m．(2)在△BCD中，∠DBC＝75°，BC＝502m，BD＝503m，根据余弦定理可得CD＝BD2+B在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．跟进训练1(2024·长沙模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里 B．103海里C．203海里 D．202海里A[如图所示，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin30°解得BC＝102(海里)．]考点二测量高度问题术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角[典例2](1)(2024·重庆沙坪坝质检)在2023年杭州亚运会的跳水颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为96米(如图所示)，则旗杆的高度为()A．9米 B．27米C．93米 D．96米(2)(2024·河南豫南九校联盟联考)如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物AB的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的C，D两个观测点，并在C，D两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和60°，且∠BDC＝60°，则此建筑物的高度为()A．103米 B．53米C．10米 D．5米(1)B(2)B[(1)依题意可知∠AEC＝45°，∠CAE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠ACE＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理可知AEsin∠ACE＝∴AC＝AEsin∠ACE·sin∠AEC∴在Rt△ABC中，BC＝AC·sin∠CAB＝183×32(2)设AB＝x，则BC＝x，BD＝33x在△BCD中，由余弦定理可得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DCcos∠BDC，即x2＝13x2＋100－2×33x×10×整理得x2＋53x－150＝0，解得x＝53或x＝－103(舍)．]在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，解题时要注意山或塔垂直底面或海平面，把空间问题转化为平面问题解决．跟进训练2如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．1006[由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．又AB＝600m，故由正弦定理得600sin45°解得BC＝3002m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006【教师备用】(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝()A．表高×表距表目距的差＋表高 B．表高×表距C．表高×表距表目距的差＋表距 D．表高×表距A[因为FG∥AB，所以FGAB＝GCCA，所以GC＝FGAB·CA．因为DE∥AB，所以DEAB＝EHAH，所以EH＝DEAB·AH．又DE＝FG，所以GC－EH＝DEAB(CA－AH)＝DEAB×HC＝DEAB×(HG＋GC)＝DEAB×(EG－EH＋GC)．由题设中信息可得，表目距的差为GC－EH，表高为DE，表距为考点三测量角度问题术语名称术语意义图形表示方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0，2π)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北偏东α或南偏西α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：[典例3]一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C．(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．[解](1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝23－2，BC＝4，根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24，所以AC＝26(nmile)．(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝4×322所以∠CAB＝45°．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形．跟进训练3甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ等于()A．15° B．30°C．45° D．60°B[如图，设两船在C处相遇，则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且ACBC＝3由正弦定理得ACBC＝sin120°所以sin∠BAC＝12又因为0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°，所以甲船应朝北偏东30°方向前进．故选B．]课后习题(二十六)正弦定理、余弦定理的应用举例1．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是()A．a，c，α B．b，c，αC．c，a，β D．b，α，γD[在河岸AC测量河的宽度，则a，c，β不容易测量，a＝bsinαsinβ，β＝π－2．(人教A版必修第二册P51练习T1改编)一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40°的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20°方向上10海里处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为()A．17海里 B．16海里C．15海里 D．14海里D[记轮船行驶到某处的位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示．则AB＝10，AC＝6，∠CAB＝120°，所以BC2＝102＋62－2×10×6×-12＝196，所以BC3．(人教A版必修第二册P50例10改编)如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A．10m B．53mC．5(3－1)m D．5(3＋1)mD[法一：设AB＝x，则BC＝x．∴BD＝10＋x．∴tan∠ADB＝ABDB＝x10+x＝解得x＝5(3＋1)．∴A点离地面的高AB等于5(3＋1)m．法二：∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°．由正弦定理，得AC＝CDsin∠CAD·＝10sin15°∴AB＝ACsin45°＝5(3＋1)m．]4．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为______km．3[在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理ABsinC＝BCsinA，得AB＝BCsinCsinA5．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．502m B．503mC．252m D．252A[由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsinB∴AB＝ACsin∠ACBsinB＝6．(2024·合肥检测)两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°B[由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图，B正确．]7．(2024·济南模拟)如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了(sin12°≈0.21，sin18°≈0.31)()A．10km B．20kmC．30km D．40kmB[在△ABC中，由A＝12°，B＝18°，得C＝150°，由正弦定理得500sin150°＝BC所以50012≈BC0.21所以AC＝310km，BC＝210km，所以AC＋BC－AB＝20km．]8．(2024·江苏海安模拟)如图，某课外活动小组，为测量山高，他们在山脚A处测得山顶B的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为75°，则此山的高度BC约为()A．1256m B．2506mC．5006m D．10006mB[因为∠DAC＝15°，所以∠ADE＝165°，则∠ADB＝360°－165°－75°＝120°．又因为∠BAD＝30°－15°＝15°，所以∠ABD＝45°．在△ABD中，由正弦定理，得AB＝ADsin∠ADBsin∠ABD＝在Rt△ABC中，BC＝ABsin30°＝2506m，故山的高度约为2506m．故选B．]9．(多选)某人向正东走了xkm后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好3km，那么x的值是()A．3 B．23C．3 D．6AB[如图，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°．由余弦定理得3＝x2＋9－2×3×x×cos30°，解得x＝23或x＝3．]10．(2024·吉林长春模拟)已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)．若A船的航行速度为40nmile/h，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距________nmile．202[由题意可知∠BCA＝30°，∠ABC＝180°－45°＝135°，AC＝40×1＝40(nmile)，由正弦定理可得ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即ABsin30°11．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为________m．30＋103[如图所示，依题意∠ACE＝30°，∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30，又AE＝CE·tan30°＝103，所以AB＝(30＋103)m．]12．(2024·江苏南京质检)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待