高三数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用培优专题4导数中构造函数问题学案

导数中构造函数问题[培优技法]1．构造可导积函数序号条件形式构造函数1f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)F(x)＝f(x)g(x)2f′(x)＋f(x)F(x)＝exf(x)3f′(x)＋nf(x)F(x)＝enxf(x)4xf′(x)＋f(x)F(x)＝xf(x)5xf′(x)＋2f(x)F(x)＝x2f(x)6xf′(x)＋nf(x)F(x)＝xnf(x)7f′(x)sinx＋f(x)cosxF(x)＝f(x)sinx8f′(x)cosx－f(x)sinxF(x)＝f(x)cosx2．构造可导商函数(1)f'x-nf特别地f'x-f(2)xf'x-nfxx特别地xf'x-fxxxf'x-2fxx(3)f'xsin(4)f'xcos3．构造“形似”函数对原不等式(或方程)同解变形，如移项、通分、取对数等，把不等式(或方程)左、右两边转化为结构相同的式子，然后根据“相同结构”，构造函数．[培优案例][例1](2024·四川成都石室中学校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为-π2，π2，其导函数是f′(x)，有f′(x)cosx＋f(x)sinx<0，则关于x的不等式f(x)>2-π2，π3[依题意令F(x)＝f则F′(x)＝f'因为当－π2<x<π2时，f′(x)cosx＋f(x)sin所以当x∈-π2，π2∴F(x)在-π则f(x)>2fπ3cosx等价于fxcos即F(x)>Fπ3∴x<解得－π2<x<π-π故答案为：-π[例2](2023·广东广州统考三模)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R都有f(x)>f′(x)＋1，且f(x)－2024为奇函数，则不等式f(x)－2023ex<1的解集为()A．(－∞，0) B．(－∞，e)C．(e，＋∞) D．(0，＋∞)D[设g(x)＝fx-1ex，由题设条件，得g′(x)＝故函数g(x)在R上单调递减．由f(x)－2024为奇函数，得f(0)－2024＝0，得f(0)＝2024，所以g(0)＝f(0)－1＝2023，不等式f(x)－2023ex<1等价于fx-1ex<2023，即g(又函数g(x)在R上单调递减，所以x>0，故不等式f(x)－2023ex<1的解集是(0，＋∞)．故选D．][例3](2024·宜宾市南溪第一中学校考模拟预测)若a＝tan0.03，b＝ln1.03，c＝3103A．a<b<c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>aB[记f(x)＝tanx－x，x∈0，π2，则f′(x所以f(x)在0，故f(0.03)>f(0)＝0⇒tan0.03>0.03，记g(x)＝lnx－x＋1，则g′(x)＝1x－1，令g′(x)<0，解得x>1，故g(x)在(1，＋∞故g(1.03)<g(1)＝0，即ln1.03－1.03＋1<0，即ln1.03<0.03<tan0.03，故a>b，记h(x)＝ln1+x100－x100+x，则h′(x)＝11+x100×故当x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递增，故h(3)>h(0)，即ln1.03－3103>0，故b>c故a>b>c．故选B．]【教师备用】(2023·江西校联考三模)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，g(x)的导函数都存在，且f(x)>xf′(x)－x2g′(x)，则必有()A．2g(2)＋2f(1)>f(2)＋2g(1)B．2g(2)＋2f(1)<f(2)＋2g(1)C．4g(2)＋2f(1)>f(2)＋4g(1)D．4g(2)＋2f(1)<f(2)＋4g(1)A[由题意，x∈(0，＋∞)，由f(x)>xf′(x)－x2g′(x)，得g′(x)>xf设函数h(x)＝g(x)－fxx，则h′(x)＝g′(x)－xf∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而h(2)>h(1)．即g(2)－f22>g(1)－即2g(2)＋2f(1)>f(2)＋2g(1)．故选A．]培优训练(四)导数中构造函数问题1．(2024·湖北武汉模拟)设f(x)是定义域为R的奇函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)A[令g(x)＝fxx，则g′(x)＝所以当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增．又f(1)＝－f(－1)＝0，即g(1)＝g(－1)＝0．而f(x)>0等价于x>0或x<0即x>0，x<1所以x<－1或0<x<1．所以f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．故选A．]2．(多选)(2023·黑龙江实验中学校考三模)已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若f(x)满足：(x－1)[f′(x)－f(x)]>0，f(2－x)＝f(x)e2-2x，则下列判断不正确的是()A．f(1)<ef(0) B．f(2)>e2f(0)C．f(3)>e3f(0) D．f(4)<e4f(0)BD[令F(x)＝fxex，则F′(x)＝e因为函数f(x)满足(x－1)[f′(x)－f(x)]>0，当x>1时F′(x)>0，F(x)在(1，＋∞)上单调递增，当x<1时F′(x)<0，F(x)在(－∞，1)上单调递减，又由f(2－x)＝f(x)e2-2x⇔f2-xe2-x＝fxex⇔F(2－所以F(x)的图象关于直线x＝1对称，从而F(1)<F(0)＝F(2)<F(3)<F(4)，即F(1)<F(0)，f1e<f0e0，由F(0)＝F(2)，f2e2∴f(2)＝e2f(0)，故B错误；由F(3)>F(0)，即f3e3∴f(3)>e3f(0)，故C正确；由F(4)>F(0)，即f4e4∴f(4)>e4f(0)，故D错误．故选BD．]3．(2023·鞍山一中校考二模)已知定义在(－2，2)上的函数f(x)满足f(x)＋e4xf(－x)＝0，且f(1)＝e2，f′(x)为f(x)的导函数，当x∈[0，2)时，f′(x)>2f(x)，则不等式e2xf(2－x)<e4的解集为()A．(1，＋∞) B．(1，2)C．(0，1) D．(1，4)D[设g(x)＝fxe2xg(x)＋g(－x)＝fxe2x＋f-xe-2x＝1e2x[f(x)＋e4x当x∈[0，2)时，f′(x)>2f(x)，则g′(x)＝f'x·所以g(x)在[0，2)上单调递增，则g(x)在(－2，2)上单调递增，不等式e2xf(2－x)<e4即f2-xe4-2x所以-2<2-x<2，2-x<1，所以不等式e2xf(2－x)<e4的解集为(1，4)．故选D．]4．(2023·重庆八中期末)设函数f(x)的定义域为R，f′(x)是其导函数，若f(x)＋f′(x)>0，f(1)＝1，则不等式f(x)>e1-x的解集是()A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，1)B[构造函数g(x)＝f(x)·ex，则故g(x)在R上单调递增，g(1)＝e,f(x)>e1-x可化为g(x)>e＝g(1)，故原不等式的解集为(1，＋∞)，故选B．]5．设函数f′(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f′(x)cosx－f(x)sinx>0，若a＝12fπ3，b＝0，c＝－32f5A．a<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．c<a<bA[根据题意，设g(x)＝f(x)cosx，则g′(x)＝f′(x)cosx＋f(x)(cosx)′＝f′(x)cosx－f(x)sinx，又由f′(x)cosx－f(x)sinx>0，则g′(x)>0，函数g(x)在(0，π)上单调递增，a＝12fπ3＝cosπb＝0＝cosπ2fπ2c＝－32f5π6＝cos则a<b<c．故选A．]6．设a＝999ln1001，b＝1000ln1000,c＝1001×ln999，则下列选项正确的是()A．a>c>b B．c>b>aC．b>a>c D．a>b>cB[设f(x)＝(1000－x)ln(1000＋x)，x∈[－1，1]，当x∈[－1，1]时，f′(x)＝－ln(1000＋x)＋1000-x1000+x所以函数f(x)单调递减，所以f(－1)＝1001ln999>f(0)＝1000ln1000>f(1)＝999ln1001，所以c>b>a．故选B．]7．已知a，b，c∈1e，+∞，且ln5a＝－5lna，ln3bA．b<c<a B．c<b<aC．a<c<b D．a<b<cA[设函数f(x)＝xlnx(x>0)，f′(x)＝1＋lnx，当x∈1e，+∞时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，当x∈0，1e时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，由题意ln5a＝－5lna，ln3b＝－3lnb，ln2c＝－2lnc，得alna＝15ln15，blnb＝13因为15<14<13所以15ln15>14ln14>则alna>clnc>blnb，且a，b，c∈1e所以a>c>b．故选A．]8．(2021·全国乙卷)设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝1.04－1，则()A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．b＜a＜c D．c＜a＜bB[b－c＝ln1.02－1.04＋1，设f(x)＝ln(x＋1)－1+2x＋1，则b－c＝f(0.02)，f′(x)＝1x+1－221+2x＝1+2x-x+11+2x·x+1，当x≥0时，x＋1＝x+12≥1+2x，故当x所以f(0.02)＜f(0)＝0，即b＜c．a－c＝2ln1.01－1.04＋1，设g(x)＝2ln(x＋1)－1+4x＋1，则a－c＝g(0.01)，g′(x)＝2x+1－421+4x＝21+4x-x+1x+11+4x，当0≤x＜2时，4x+1≥x+12＝x＋1，故当0≤x＜2时，g'(x)≥0，所以9．(2023·鄄城县第一中学校考三模)已知奇函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，当x>0时，有2f(x)＋xf′(x)>x2，则(x＋2023)2f(x＋2023)＋f(－1)<0的解集为________．(－∞，－2022)[当x>0时，因为2f(x)＋xf′(x)>x2>0，所以2xf(x)＋x2f′(x)>0，所以[x2f(x)]′>0，所以g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，且g(x)的定义域为R，关于原点对称，所以g(x)也是定义在R上的奇函数，且g(0)＝f(0)＝0，又因为g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)在R上为增函数，由(x＋2023)2f(x＋2023)＋f(－1)<0，得(x＋2023)2f(x＋2023)<－f(－1)＝f(1)＝g(1)，所以g(x＋2023)<g(1)，因为g(x)在R上为增函数，所以x＋2023<1，即x<－2022．所以(x＋2023)2f(x＋2023)＋f(－1)<0的解集为(－∞，－2022)．故答案为：(－∞，－2022)．]10．(2024·天津宁河区模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f′(x)是f(x)的导函数，若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，且f(2)＝12，则不等式f(x)－2(2，＋∞)[令g(x)＝x2f(x)，可得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，因为对于任意的x∈(0，＋∞)，都有2f(x)