高三数学一轮复习第五章平面向量、复数第4课时复数学案

第4课时复数[考试要求]1．通过方程的解，认识复数．2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．考点一复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫做复数，其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ对应的复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝a[典例1](1)已知i为虚数单位，则i607的共轭复数为()A．i B．－iC．1 D．－1(2)(2024·诸暨模拟)已知a，b，c∈R，i是虚数单位，若1+aib+iA．a＝b B．a＝1C．a＝－b D．a＝－1(1)A(2)C[(1)因为i607＝(i2)303·i＝－i，－i的共轭复数为i．(2)由题意得1＋ai＝ci(b＋i)＝－c＋bci，则1=-c，a=bc，则a＝－解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．跟进训练1(1)若复数z＝11-i＋ai(i为虚数单位，a∈R)的实部与虚部互为相反数，则A．－2 B．－1C．0 D．1(2)(2024·杭州质检)设复数z＝a－i且z1+i＝1＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝________，|(1)B(2)－610[(1)依题意，复数z＝11-i＋ai＝1+i1-i1+i所以12＋a+解得a＝－1，故选B．(2)由z1+i＝1＋bi得z＝(1＋bi)(1＋i)＝1－b＋(1＋因为复数z＝a－i，所以1-b=a解得a=3，b=-2，则ab＝－6，z＝a－i＝3－i，则|z|＝32考点二复数的四则运算1．复数的运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a+bic+di＝a+bic-di2．几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1+[典例2](1)2-iA．1 B．－1C．i D．－i(2)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝()A．0 B．1C．2 D．2(3)(2024·浙江十校联盟联考)已知两非零复数z1，z2，若z1·z2∈R，则一定成立的是()A．z1＋z2∈R B．z1·z2∈C．z1z2∈R D．(1)D(2)D(3)D[(1)2-i1+2i＝2-(2)法一：z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2．法二：|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i||－1＋i|＝2．故选D．(3)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则由z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i∈R得ad＋bc＝0，则z1z2＝＝ac-bd+ad+bcic2+记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i；②1+i1-i＝i；③1-i1+i＝－i；④a+bii＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4跟进训练2(1)(2024·台州评估测试)已知复数z满足(3－4i)z＝i(其中i为虚数单位)，则|z|＝()A．25 B．1C．5 D．1(2)(2024·镇海中学检测)已知i是虚数单位，且复数z1＝1－2i，z2＝3＋mi(m∈R)，则|z1|＝______，若z2z1(3)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________．(1)D(2)5－6(3)23[(1)由(3－4i)z＝i，得复数z＝i3-4i，所以|z|＝i3-4(2)因为复数z1＝1－2i，所以|z1|＝|1－2i|＝1+4＝5．设z2z1＝b，则z2＝z1b，即3＋mi＝b(1－2i)＝b所以3＝b，m＝－2b＝－6．(3)法一：设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，因为z1＋z2＝3＋i，所以2z1＝(3＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(3－a)＋(1－b)i．因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，所以3+a23-a2①2＋②2得a2＋b2＝12．所以|z1－z2|＝a2+b法二：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量OA，OB，则z1＋z2对应向量由题知|OA|＝|OB|＝|OA+OB|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作▱OACB，则z1－z2对应向量BA，OA＝AC＝OC＝2，可得BA＝2OAsin60°＝2故|z1－z2|＝|BA|＝23．]考点三复数的几何意义1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ．[典例3](1)在复平面内，复数z＝1－i对应的向量为OP，复数z2对应的向量为OQ，那么向量PQ对应的复数为()A．1－i B．1＋iC．－1＋i D．－1－i(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)(1)D(2)B[(1)因为z2＝－2i，而PQ＝OQ-OP，故向量(2)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i的对应点在第二象限，则a+1<0∴a<－1，故选B．]复数z＝a＋biZ(a，b)，运用几何意义，对应转化．跟进训练3(1)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3，1) B．(－1，3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)(2)(2024·金丽衢十二校联考)复数z满足：z·i＝1＋3i，其中i为虚数单位，则z对应的点位于复平面的第________象限；|z|＝________．(1)A(2)四2[(1)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以m+3＞0，m-1＜0，(2)因为z·i＝1＋3i，所以复数z＝1+3ii＝i-3-1＝3－i，所以复数z对应的点的坐标为(3，－1)，故复数【教师备用】(多选)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是()A．点P0的坐标为(1，2)B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为2ACD[复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，即x-12+y2＝x2即点Z在直线y＝x上，C正确；易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0，Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为1-22＝2课后习题(三十)复数1．(湘教版必修第二册P103练习T2改编)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1 B．0C．1 D．－1或1A[因为z为纯虚数，所以x2-1=0，2．(人教A版必修第二册P80习题7.2T2改编)在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4iD[CA＝CB+3．(人教A版必修第二册P95复习参考题7T7改编)若复数z满足方程zi＝1－i，则复数z对应点的坐标在第________象限．二[由题意可得z＝1-ii＝1-i-i4．(人教A版必修第二册P73练习T2改编)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，则|z1·z5[z1＝－2＋i，z2＝1＋2i，z1·z2＝(－2＋i)(1＋2i)＝－4－3i．所以|z1·z2|＝5．]5．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i，则z1z2＝()A．－10 B．10C．－8 D．8A[∵z1＝3－i，z1，z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，∴z2＝－3－i，∴z1z2＝－9－1＝－10．]6．(2024·石家庄模拟)已知i是虚数单位，则化简1+iA．i B．－iC．－1 D．1D[因为1+i1-i＝1+所以1+i1-i2024＝i7．设i是虚数单位，若复数a＋5i2+i(a∈RA．－3 B．3C．1 D．－1D[a＋5i2+i＝a＋5i2-因为是纯虚数，所以a＋1＝0，则a＝－1．]8．如图，若向量OZ对应的复数为z，则z＋4zA．1＋3i B．－3－iC．3－i D．3＋iD[由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋4z＝1－i＋41-i＝1－i＋49．(多选)(2024·湖北十堰三模)已知复数z1＝1－3i，z2＝3＋i，则()A．|z1＋z2|＝6B．z1－z2C．z1z2＝6－8iD．z1z2在复平面内对应的点位于第二象限BC[由题意可知，z1+z2＝z1－z2z1z2＝1-3i3+i＝3＋i－9i－3i2＝6－8i，C正确；z110．i是虚数单位，复数8-i3－2i[8-i2+i＝8-i2-11．若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则另外一个根是________，a＝________．2＋3i13[设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13．]12．(2024·温州模拟)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且z1-i＝3＋2i，则a＝________，51[由z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，可得z＝a－bi，所以z1-i＝1+i2(a－bi)＝故a+b2＝3，a-b所以a＝5，b＝1．]阶段提能(九)平面向量、复数1．(人教A版必修第二册P24第21题)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO＝AB+AC，|OA|＝|AB|，则向量BA在向量A．14BC C．－14BC A[如图，由2AO＝AB+AC知O为因为O为△ABC的外接圆圆心，所以OA＝OB＝OC．因为|OA|＝|AB|，所以AB＝OB＝OA＝OC，所以△ABO为正三角形，∠ABO＝60°，所以BA在BC上的投影向量为12BO＝2．(人教A版必修第二册P52习题6.4第1题)若非零向量AB与AC满足ABAB+ACAC·BC＝0，且ABA．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．底边和腰不相等的等腰三角形D．等边三角形D[由ABAB知ABAB+AC∴△ABC中，∠A的平分线与边BC垂直，∴AB＝AC．又∵ABAB·ACAC＝12，∴cos∵0°<∠BAC<180°，∴∠BAC＝60°．∴△ABC为等边三角形，故选D．]3．(人教A版必修第二册P52习题6.4第2题)已知O，N，P在△ABC所在平面内，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，NA+NB+NC＝0，且PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心C[∵|OA|＝|OB|＝|OC|，∴O到三角形三个顶点的距离相等，∴O是三角形的外心．∵PA·PB＝PB·∴PB·(PA-PC∴PB⊥CA，同理得到另外两个向量都与边垂直，得到P是三角形的垂心．由NA+NB+NC＝0，可知点N故选C．]4．(人教B版必修第三册P90习题8-1B第3题)若向量a＝(x，2x)，b＝(－3x，2)，且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围．[解]∵a与b的夹角为钝角，∴cos〈a，b〉<0且a与b不共线．∴-3x2故满足条件的x的取值范围是-∞，-13∪5．(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝1-i2+2i，则zA．－i B．iC．0 D．1A[因为z＝1-i2+2i＝1-所以z＝12i，所以z故选A．]6．(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A[因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A．]7．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记CA＝m，CD＝n，则CB＝()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3nB[因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以BD＝2DA，即CD-CB＝2(CA所以CB＝3CD－2CA＝3n－2m＝－2m＋3n．故选B．]8．(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则()A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1D[因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．故选D．]9．(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝()A．－2 B．－1C