人教A版普通高中数学一轮复习第八章第八节第2课时圆锥曲线中的求值与证明问题学案

第2课时圆锥曲线中的求值与证明问题求值问题【例1】(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：x2a2－y2a2-1＝1(a＞1)上，直线l交C于P(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ＝22，求△PAQ的面积．解：(1)因为点A(2，1)在双曲线C：x2a2－y2所以4a2－1a2即双曲线C：x22－y易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立y=kx+m可得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，Δ＝16m2k2－4(2m2＋2)(2k2－1)＞0，即m2－2k2＋1＞0且k≠±22所以x1＋x2＝－4mk2k2-1，x1x由kAP＋kAQ＝0，可得y1-1x即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0，即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，所以2k×2m2+22k2-1＋(m－1－2整理得(k＋1)(2k－1＋m)＝0，所以k＝－1或m＝1－2k.当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1过点A(2，1)，与题意不符，舍去，故k＝－1.(2)不妨设直线AP，AQ的倾斜角为α，βα＜因为kAP＋kAQ＝0，所以α＋β＝π.由(1)知x1x2＝2m2＋2＞0，当P，Q均在双曲线左支上时，∠PAQ＝2α，所以tan2α＝22，即2tan2α＋tanα－2＝0.解得tanα＝22此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当P，Q均在双曲线右支时，因为tan∠PAQ＝22，所以tan(β－α)＝22，即tan2α＝－22，即2tan2α－tanα－2＝0，解得tanα＝2(负值舍去)．故lAP：y＝2(x－2)＋1，lAQ：y＝－2(x－2)＋1，联立y=2x-2+1，x22-y2=1因为方程有一个根为2，所以x1＝10-423，y1＝同理可得x2＝10+423，y2＝所以lPQ：x＋y－53＝0，|PQ|＝16点A到直线PQ的距离d＝2+1-532故△PAQ的面积为12×163×22求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．(2022·北京卷)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞(1)求椭圆E的方程．(2)过点P(－2，1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当|MN|＝2时，求k的值．解：(1)依题意可知b=1，2c=23，a2=b2+(2)由题可知直线BC的方程为y－1＝k(x＋2)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)．联立y-1=kx+2，x24+y2=1，消去y整理得(4k2＋1)x2＋(16k2则由Δ＝(16k2＋8k)2－4(4k2＋1)(16k2＋16k)＞0，得k＜0，所以x1＋x2＝－16k2+8k4k2+1，易知直线AB的斜率kAB＝y1直线AB的方程为y＝y1-1令y＝0，可得点M的横坐标xM＝x1同理可得点N的横坐标xN＝x2则|MN|＝x＝x＝1＝1＝1＝1＝1＝4-kk＝2，解得故k的值为－4.证明问题【例2】(2024·潍坊模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C的焦点，PF与C交于点Q(异于点P)．直线l与C相切于点P，与x轴交于点M.过点P作l的垂线交C于另一点N.(1)证明：线段MP的中点在定直线上；(2)若点P的坐标为(2，22)，试判断M，Q，N三点是否共线．(1)证明：设P(x0，y0)，则y02＝4x因为点P在第一象限，所以y0＝2x0对y＝2x两边求导得y′＝1x所以直线l的斜率为1x所以直线l的方程为y－2x0＝1x0(x－令y＝0，则x＝－x0，所以M(－x0，0)．故线段MP的中点为0，即线段MP的中点在定直线x＝0上．(2)解：若P(2，22)，则M(－2，0)，所以kMP＝22，kPF＝22又PN⊥l，所以kPN＝－2.故直线PF：y＝22(x－1)，直线PN：y＝－2(x－4)．由y2=4x，y=22x-1所以x＝12易知Q12由y2=4x，y=-2x-4所以x＝2或8，易知N(8，－42)．因为M(－2，0)，Q12，-2，所以kMQ＝－225＝k所以M，Q，N三点共线．圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，常见有某点在某直线上、某直线经过某点、两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变换以及必要的数值计算等进行证明．若A-1，-22，B1，22，C(0，1)，D32，12(1)求椭圆T的方程；(2)动直线y＝22x＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ(1)解：由于A-1，-22，B1，则1a2＋12b2＝1，且易知所以点C(0，1)必在椭圆上，即有1b则b＝1，a＝2，所以椭圆T的方程为x22＋y(2)证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)．联立y=22x+t，x22+y2Δ＝(2t)2－4(t2－1)＝4－2t2＞0，所以t2＞2，则x1＋x2＝－2t，x1x2＝t2－1，y1＋y2＝22x1＋t＋22x2＋t＝所以M-2则kOM＝－22，lOM：y＝－22联立y=-22x，x则不妨设P-1，22，所以|MP|·|MQ|＝1+12·因为|ME|·|MF|＝14|EF|＝14(1+kEF2))(x＝38[(x1＋x2)2－4x1x2＝32所以|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|得证．课时质量评价(五十四)1．已知点P(－2，－1)为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞(1)求椭圆C的标准方程；(2)若M为C上第二象限内一点，点M关于直线x＝－2的对称点为N，直线PN与C交于另一点Q，O为坐标原点，求证：MQ∥OP.(1)解：由点P(－2，－1)在椭圆C上，得-22a2＋-1由椭圆C的离心率为32，得c2a2＝a2由①②，解得a2＝8，b2＝2，所以椭圆C的标准方程为x28＋(2)证明：因为点M，N关于直线x＝－2对称，所以直线PM与PN关于直线x＝－2对称，则kPM＋kPN＝0，易知直线PM的斜率存在且不为0.设直线PM的斜率为k，则直线PN的斜率为－k，又P(－2，－1)，所以直线PM的方程为y＋1＝k(x＋2)，即y＝k(x＋2)－1，与椭圆方程联立，得x28+y22=1，y=kx+2-1，消去y，并整理得(4k2＋1)x2＋(16Δ＝(16k2－8k)2－4(4k2＋1)(16k2－16k－4)＝64k2＋64k＋16＝16(2k＋1)2＞0，即k≠－12设M(x1，y1)，则－2x1＝16k2-16k-44k2设Q(x2，y2)，同理可得x2＝-8k所以直线MQ的斜率kMQ＝y＝k＝kx1+x2+4kx又直线OP的斜率为-1-0-2-0＝12，且直线OP与所以MQ∥OP.2．已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(2，1)是抛物线内一点，P为抛物线上的动点，且|AP|＋|PF|的最小值为3.(1)求抛物线E的方程；(2)过点(1，1)作斜率之和为0的两条直线l1，l2，(l1的斜率为正数)，其中l1与曲线E交于M，C两点，l2与曲线E交于B，N两点，若四边形MBCN的面积等于163，求直线l1的方程．解：(1)过点P作抛物线E的准线的垂线，垂足为D(图略)，则|PF|＝|PD|，于是|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PD|.当A，P，D三点共线时，|AP|＋|PD|有最小值2＋p2＝3，解得p所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)依题意可知，直线l1，l2的斜率均存在且不为0，并互为相反数．由(1)知F(1，0)，设直线l1的方程为x＝m(y－1)＋1(m＞0)，M(x1，y1)，C(x2，y2)，将l1的方程代入抛物线方程并化简，得y2－4my＋4m－4＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－4.|MC|＝1+m216同理得|BN|＝41+m设直线l1的倾斜角为θ，则tanθ＝1m则直线l1，l2的夹角α＝2θ或π－2θ，所以sinα＝sin2θ＝2sinθcos因此四边形MBCN的面积S＝12|MC||BN|·sin2θ＝16mm2+1令t＝m2，得t(t＋1)2－t2＝3，从而有t3＋t2＋t＝3，解得t＝1，即m2＝1，此时m＝1，故直线l1的方程为y＝x.3．已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)上的点12(1)求抛物线C1的标准方程．(2)过抛物线C1上一点P作圆C2：(x－3)2＋y2＝4的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C1交于异于点P的M，N两点．证明：直线MN与圆C2相切．(1)解：因为点12，y0到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，所以点12，y0到坐标原点的距离等于该点到焦点所以抛物线C1的标准方程为y2＝4x.(2)证明：因为圆C2：(x－3)2＋y2＝4，所以圆C2的圆心坐标为(3，0)，半径r＝2，设Py124，y1，My224，y2，所以直线PM的方程为y－y2＝y2即4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0.因为直线PM与圆C2相切，所以12+y1y直线PN与圆C2相切，同理可得y1所以y2，y3是关于y的方程y1所以y2＋y3＝16y14-y12，y又因为直线MN的方程为4x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，所以圆C2的圆心(3，0)到直线MN的距离d＝12+y2y3y2+所以直线MN与圆C2相切．4．(2024·西安模拟)已知抛物线C：y＝14x2的焦点为F1，准线与坐标轴的交点为F2，F1，F2是离心率为12的椭圆(1)求椭圆S的标准方程．(2)设过原点O的两条直线l1和l2，l1⊥l2，l1与椭圆S交于A，B两点，l2与椭圆S交于M，N两点．求证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值．(1)解：将抛物线C：y＝14x2的方程化为标准方程，即C：x2＝4y，得F1设椭圆S的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则由题意得c＝1，ca＝12，得a＝2，所以b＝a2-c又椭圆S的焦点在y轴上，所以椭圆S的标准方程为y24＋(2)证明：由题意知A，O，B三点共线，M，O，N三点共线，且AB⊥MN.又由椭圆的对称性，知|OA|＝|OB|，|OM|＝|ON|，所以四边形AMBN为菱形，且原点O为其中心，AM，BN为一组对边．所以原点O到直线AM和到直线BN的距离相等．下面求原点O到直线AM的距离．根据椭圆的对称性，不妨设A在第一象限．当直线AM的斜率为0或不存在时，四边形AMBN为正方形，直线AB和直线MN的方程分别为y＝x和y＝－x，且AM∥x轴或AM∥y轴．设A(m，m)，则M(－m，m)或M(m，－m)．于是有m24＋m23＝1，得m原点O到直线AM的距离为d＝|m|＝127＝2当直线AM的斜率存在且不等于0时，设直线AM：y＝kx＋h.由y=kx+h，y24+x23=1，消去y，整理得(3k且Δ＝(6kh)2－4×(