人教A版普通高中数学一轮复习第一章第三节不等式的性质与基本不等式学案

第三节不等式的性质与基本不等式考试要求：1．会比较两个数(式)的大小．2．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．3．掌握基本不等式，并能用基本不等式解决简单的最值问题．自查自测知识点一两个实数比较大小的方法1．已知P＝a2＋3a＋3，Q＝a＋1，则P与Q的大小关系为()A．P<Q B．P＝QC．P>Q D．不能确定C解析：因为P－Q＝a2＋3a＋3－(a＋1)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1>0，所以P>Q.2．(教材改编题)已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为(x2＋1)2>x4＋x2＋1．3．比较两数的大小：7+10>解析：因为(7+10)2＝17＋270，(3+14)2＝17＋242，所以(7+10)2>(3+核心回扣两个实数比较大小的方法关系方法作差法作商法a>ba－b>0ab>1(a，b>0)或ab<1(a，a＝ba－b＝0ab＝1(b≠a<ba－b<0ab<1(a，b>0)或ab>1(a，自查自测知识点二不等式的性质1．(教材改编题)已知实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是()A．yx＜1 B．ax＞C．x＋a＞y＋a D．x2＞y2C解析：当x＝－2，y＝－3时，x＞y，但是yx＞1，x2＜y2，故A，D错误；当a＜0时，ax＜ay2．下列命题中，是真命题的是(B)A．如果ac>bc，那么a>bB．如果ac2>bc2，那么a>bC．如果ac>bc，那么aD．如果a>b，c>d，那么a－c>b－d3．已知－1<a<2，－3<b<5，则a－b的取值范围是．(－6，5)解析：因为－3<b<5，所以－5<－b<3.又－1<a<2，所以－6<a－b<5.核心回扣不等式的性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a；a<b⇔b>a可逆传递性a>b，b>c⇒a>c；a<b，b<c⇒a<c同向可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆可乘性a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bcc的符号同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向同正可乘方性a>b>0，n∈N*⇒an>bn同正可开方性a>b>0，n∈N，n≥2⇒na>同正自查自测知识点三基本不等式1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.(×(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的．(×(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(√)2．函数y＝xx2+1(x12解析：因为x＞0，所以y＝xx2+1＝1x+1x≤13．矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是924．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为．12解析：x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x+1-x22＝3×14＝34，当且仅当x＝1－x，即x＝12时，等号成立．所以x(3－3核心回扣1．基本不等式：ab≤a+b(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a+b2，几何平均数为ab3．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值p2【常用结论】1．倒数性质(1)a＞b，ab＞0⇒1a＜1b．(2)a＜0＜b⇒1a＜1b．(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜2．常用的几个重要不等式(1)a＋b≥2ab(a>0，b>0)．(2)ab≤a+b22(a，b∈R)．(3)a+b22≤a2+b22(4)ba＋ab≥2(a，应用1(多选题)下列四个条件中，能推出1a＜1A．b＞0＞a B．0＞a＞bC．a＞0＞b D．a＞b＞0ABD解析：因为1a＜1b等价于1a－1b＝b-aab＜0，当a＞b，ab＞0时，1应用2已知a，b是不相等的正数，x＝a+b2，y＝a+b，则xA．x>y B．y>xC．x>2y D．y>2xB解析：因为a，b为不相等的正实数，所以y2＝(a+b)2＝a＋b.由基本不等式得a＋b＝a+b+a+b2>a+b+2ab2＝a+b22＝x2，所以y2>x2.又因为x不等式的性质考向1利用不等式的性质比较大小1．(多选题)已知实数a，b，c满足c<b<a且ac<0，则下列不等式一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)>0C．ac(a－c)<0 D．cb2<ab2ABC解析：因为c<b<a且ac<0，所以c<0，a>0，所以ab>ac，故A一定成立；又b－a<0，所以c(b－a)>0，故B一定成立；又a－c>0，ac<0，所以ac(a－c)<0，故C一定成立；当b＝0时，cb2＝ab2，当b≠0时，有cb2<ab2，故D不一定成立．故选ABC．2．(多选题)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是()A．a12<b12 B．1C．a+2b+2>ab D．ac3<ABC解析：因为y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以<；因为y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以1a>1b；因为a+2b+2－ab＝2b-ab+2b>0，所以a+2b+2>ab；当c3．(2024·潍坊调研)下列对不等关系的判断，正确的是()A．若1a＜1b，则a3＞B．若aa2＞bb2C．若lna2＞lnb2，则2|a|＞2|b|D．若tana＞tanb，则a＞bC解析：对于选项A，当a＝－1，b＝1时，满足1a＜1b，但a3＜b3，A错误；对于选项B，当a＝1，b＝－2时，满足aa2＞bb2，但2a＞2b，B错误；对于选项C，lna2＞lnb2⇒a2＞b2⇒|a|＞|b|⇒2|a|＞2|b|，C正确；对于选项D，tanπ3判断不等式成立常用的三种方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．(2)利用特殊值法排除错误答案．(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断．考向2利用不等式的性质求取值范围4．若－2<a<b<3，－2<c<0，则c(a－b)的取值范围是．(0，10)解析：由－2<a<b<3，得b－a>0，且－2<a<3，－2<b<3，所以－3<－a<2.由不等式的性质可得－5<b－a<5，所以0<b－a<5.因为－2<c<0，所以0<－c<2，所以0<－c(b－a)<10，即0<c(a－b)<10，所以c(a－b)的取值范围是(0，10)．5．设x，y为实数，满足2≤xy2≤3，3≤x2y≤4，则x532解析：x5y5＝x2y31xy2，因为3≤x2y≤4，所以27≤x2y3≤64.因为2≤xy2≤3，所以13≤1xy求含有字母的数(或式)的取值范围时应注意的两点(1)要注意题设中的条件．(2)要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除．利用基本不等式求最值考向1配凑法求最值【例1】(1)若x＞2，则函数y＝x＋4x-2A．3 B．4C．5 D．6D解析：因为x＞2，所以x－2＞0，所以y＝x＋4x-2＝(x－2)＋4x-2＋2≥2x-2·4x-2＋2＝6，当且仅当x－2＝4x-2，即x＝4时取等号，所以函数(2)已知函数f(x)＝－x2x+1(A．f(x)有最小值4B．f(x)有最小值－4C．f(x)有最大值4D．f(x)有最大值－4A解析：f(x)＝-x2x+1＝-x2-1+1x+1＝－x-1+1x+1＝－x+1+1x+1-2＝－(x＋1)＋1-x+1＋2.因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，所以f(x)配凑法求最值的依据、技巧(1)依据：基本不等式．(2)技巧：通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，即符合“一正、二定、三相等”的条件，然后利用基本不等式求最值．考向2常数代换法求最值【例2】(1)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则1a＋1b的最小值为4解析：因为a＋b＝1，所以1a＋1b＝1a+1b(a＋b)＝2＋ba+ab≥2＋2ba(2)已知两个正数x，y满足x＋2y＝8xy，则4x＋2y的最小值为．94解析：将x＋2y＝8xy两边同时除以xy，得2x＋1y＝8，则4x＋2y＝18(4x＋2y)2x+1y＝1810+4yx+4xy≥1810+24yx[变式1]将本例(1)中的条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则1a＋1b的最小值为1＋223解析：因为a＋2b＝3，所以13a＋23b＝1，所以1a＋1b＝1a+1b13a+23b＝13＋23＋a3b[变式2]若本例(1)条件不变，则1+1a1+9解析：1+1a1+1b＝1+a+ba1+a+bb＝2+ba2+a常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．(4)利用基本不等式求最值．考向3消元法求最值【例3】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为．6解析：(方法一)由已知得9－(x＋3y)＝13·x·3y≤13·x+3y22，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥(方法二)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9-3y1+y，所以x＋3y＝9-3y1+y＋3y＝9-3y+3y1+y1+y＝9+3y21+y＝31+y2-61+y+121+y＝3(1＋y)＋121+y－6≥2消元法求最值的技巧(1)消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．(2)如果出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但一定要注意各个元的范围．1．若a＞0，b＞0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为()A．8 B．6C．4 D．2C解析：由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有1a＋1b＝1，所以a＋b＝1a+1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·a2．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是()A．223 C．33 D．A解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝1-x26x．由x>0，y>0，即x>0，1-x26x>0，解得0<x<1.所以x＋2y＝x＋1-x23x＝2x3＋13x≥22x3·13．若a，b∈R，ab＞0，则a4+4b4解析：因为ab＞0，所以a4+4b4+1ab≥24a4b4+1ab＝4利用基本不等式解决实际问题【例4】当下，电动汽车越来越普及，可以通过固定的充电桩进行充电．某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求．据市场分析，公共充电桩的历年总利润y(单位：万元)与运营年数x(x是正整数)成二次函数关系，运营3年时总利润为20万元，运营6年时总利润最大，为110万元．(1)求出y关于x的函数关系式；(2)求运营的年平均总利润的最大值．(注：年平均总利润＝历年总利润运营年数解：(1)因为投入运营六年时总利润最大，为110万元，即二次函数开口向下，且顶点坐标为(6，110)，可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋110(a<0)．又运营三年时总利润为20万元，即20＝a(3－6)2＋110，解得a＝－10，则y＝－10(x－6)2＋110，即y＝－10x2＋120x－250(x∈N*)．(2)由(1)得年平均总利润为yx＝－10x+25x＋120≤当且仅当x＝25x，即x所以运营的年平均总利润的最大值为20万元．利用基本不等式解决实际应用问题的思路(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用M(x)(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：M(x)＝k2x+3(0≤x≤10)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为203万元，设f((1)求k的值及f(x)的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？求最小值．解：(1)依题意当x＝0时，M(0)＝203，即k3＝203则f(x)＝8x＋20·202x+3＝8x＋4002x+3(0≤x(2)f(x)＝8x＋4002x+34(2x＋3)＋4002x+3≥242x+3＝80－12＝68.当且仅当4(2x＋3)＝4002x+3，即x＝7答：当隔热层修建72cm厚时，总费用f(x两个不等式的几何解释及应用鉴于不等式在实际生活中的广泛应用，以及在中学数学中的重要地位和在高考数学中的重要作用，高考数学对不等式知识有着重考查的趋势．对“基本不等式”的重点考查显得尤为突出，这是因为基本不等式是不等式中的重要不等式，应用它不仅可以证明不等式，同时它也是求部分函数的最值的一个有力工具．[典题展示]下图验证的不等式是()A．a2＋b2≥a＋bB．4ab≥a2＋b2C．a＋b≥2abD．a2＋b2≥2ab思路展示(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab表示最大的正方形的面积，每一个三角形的面积为12ab，一共8个，则其面积和为4ab，最小的正方形的面积为(b－a)2.由图可得(a＋b)2＝4ab＋(b－a)2，即a2＋b2＋2ab＝4ab＋(b－a)2，即a2＋b2＝2ab＋(b－a)2≥2ab，当且仅当a＝b(1)仔细分析图形中各边之间的关系，准确表示出有关图形的面积．(2)找出图形面积之间的关系，找到与之对应的不等式．(3)常用结论ab≤a+b22≤a《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图所示，点O为半圆的圆心，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交圆周于点D，连接OD．作CE⊥OD交OD于点E，则下列不等式可以表示CD≥DE的是()A．ab≥2aba+b(a＞0，bB．a+b2≥ab(a＞0，bC．a2+b22≥a+bD．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)思路展示如图，连接DB．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB＝90°.在Rt△ADB中，中线OD＝AB2＝a+b2．由射影定理可得CD2＝AC·BC＝ab，所以CD＝在Rt△DCO中，由射影定理可得CD2＝DE·OD，即DE＝CD2OD＝ab由CD≥DE得ab≥2aba+b(1)注意灵活应用平面几何知识(如勾股定理、三角形全等、射影定理、相似等)求图形中有关线段的长度．(2)常用结论21a+1b≤ab≤a+b2≤[试题呈现](多选题)(2022·新高考全国Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1[四字程序]读实数x，y满足x2＋y2－xy＝1想构造不等式，通过代数换元或三角换元来实现算1．令x＋y＝t消去y，依据关于x的方程有解列不等式．2．求xy的范围，把x＋y，x2＋y2看作关于xy的函数思1．利用基本不等式可以实现积化和、和化积．2．三角代换的适用条件和新换元范围的确定[一题多解]思路参考：利用xy≤x+y22，xy≤x2+y22构造关于x＋y，BC解析：由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－1＝3xy≤3x+y22，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y时，等号成立，即当x＝y＝－1时，x＋y＝－2；当x＝y＝1时，x＋y由x2＋y2－xy＝1，得(x2＋y2)－1＝xy≤x2+y22，解得x2＋y2≤当x＝13，y＝－13时，x2＋y2＝思路参考：令x＋y＝t消去y，依据关于x的方程有解列不等式．BC解析：令x＋y＝t，则y＝t－x，代入x2＋y2－xy＝1得关于x的方程3x2－3tx＋(t2－1)＝0，则Δ＝(－3t)2－4×3×(t2－1)≥0，解得－2≤t≤2，即－2≤x＋y≤2.令x2＋y2＝m，则由x2＋y2－xy＝1得xy＝m－1，于是有m≥2|m－1|，解得23≤m≤2，即x2＋y2∈2思路参考：求xy的范围，把x＋y，x2＋y2看作关于xy的函数，求函数的值域的范围．BC解析：由xy＋1＝x2＋y2≥2|xy|，得xy∈-13，1，则x2＋y2＝xy＋1∈23，2，(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝3xy＋1思路参考：先配方，再进行三角换元，最后利用三角函数的性质求范围．BC解析：将条件x2＋y2－xy＝1变形为x-y22＋34设x－y2＝cosθ，3y2＝sinθ，则x＝cosθ＋13sinθ，y＝因此x＋y＝cosθ＋3sinθ＝2sinθ+π6x2＋y2＝cos2θ＋53sin2θ＋23sinθcosθ＝43＋23sin2θ-π6，因为－1≤sin2θ-π6≤1，所以课时质量评价(三)1．(2024·徐州模拟)设P＝2a2－4a＋3，Q＝(a－1)·(a－3)，a∈R，则有()A．P≥Q B．P>QC．P<Q D．P≤QA解析：因为P－Q＝2a2－4a＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0，所以P≥Q.2．设a>0，则a＋a+4aA．2a+4 B．2C．4 D．5D解析：a＋a+4a＝a＋1＋4a≥1＋2a·4a＝5，当且仅当a3．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(B)A．ad＞bd B．aC．ac＞bd D．a4．若6<a<10，a2≤b≤2a，c＝a＋b，则cA．[9，18] B．(15，30)C．[9，30] D．(9，30)D解析：因为a2≤b≤2a，所以3a2≤a＋b≤3a，即3a2≤c≤3a.因为6<a5．(2024·日照模拟)若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为()A．4π B．8πC．12π D．16πB解析：设圆柱的底面圆半径为r，则圆柱的高为24-r2，圆柱的侧面积为S＝2πr×24-r2＝4πr4-r2≤4π×r2+4-r6．(2024·潍坊质检)给出下列命题：①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a2>b2；④|a|>b⇒a2>b2.其中正确的命题是．②解析：对于①，当c＝0时，ac2＝bc2，不满足题意，故①错误；对于②，因为a>|b|≥0，故a2>b2，故②正确；对于③，取a＝1，b＝－2，满足a>b，但a2＝1<4＝b2，故③错误；对于④，取a＝1，b＝－2，满足|a|>b，但a2＝1<4＝b2，故④错误．7．1x+1y(x＋49解析：1x+1y(x＋4y)＝5＋xy＋4yx≥5＋24＝9，当且仅当xy＝4yx，即8．(2024·菏泽模拟)若实数x，y满足x＋2y＝1，则2x＋4y的最小值为．22解析：2x＋4y≥22x×22y＝22x+2y＝22，当且仅当x＝2y，即x＝19．(数学与生活)某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示(图中单位：m)．问：如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？解：设矩形停车场东西侧边长为xm(x>0)，则其南北侧边长为1200xm，人行通道占地面积为S＝(x＋6)1200x+8－1200＝8x＋7200x＋48≥28x·7200x＋48＝2×240＋48＝528，当且仅当8x＝7200x，即x＝30时，等号成立，故S10．已知对任意的正实数x，y，不等式x＋4y≥mxy恒成立，则实数m的取值范围是()A．(0，4] B．(0，2]C．(－∞，4] D．(－∞，2]C解析：因为x>0，y>0，所以x＋4y≥mxy等价于m≤x+4yxy，即m≤x+4yxymin.又因为x+4yxy＝xy＋4yx≥2xy·4yx＝4，当且仅当xy＝411．(学科交汇)(2024·泰安模拟)在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品．实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品()A．大于20克 B．小于20克C．大于等于20克 D．小于等于20克C解析：设天平左、右两边臂长分别为a，b，小明、小芳放入的药品的克数分别为x，y，则由杠杆原理得5a＝bx，ay＝20b，于是x＝5ab，y＝20ba，故x＋y＝5ab＋20ba≥25ab12．(多选题)已知1≤a≤5，a＋b＝8，则()A．－6≤a－b≤2B．7≤ab≤15C．32≤a2＋b2≤50D．2a＋8b的最小值为128AC解析：对于A，由已知得，a－b＝2a－(a＋b)＝2a－8，又1≤a≤5，所以－6≤2a－8≤2，所以－6≤a－b≤2，故A正确；对于B，当a＝b＝4时，ab＝16，不等式不成立，故B错误；对于