高二数学第三次月考卷（全解全析）（人教B版2019）

20232024学年高二数学下学期第三次月考卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：数列+导数（人教B版2019选修第三册）+集合与逻辑用语+函数（一轮复习）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解一元二次不等式求出集合A，再根据交集的定义计算即可求解.【详解】由得，则，又，所以.故选：B2．设命题：对任意的等比数列也是等比数列，则命题的否定为（

）A．对任意的非等比数列是等比数列B．对任意的等比数列不是等比数列C．存在一个等比数列，使是等比数列D．存在一个等比数列，使不是等比数列【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，直接写出命题的否定.【详解】因为：：存在一个等比数列，使不是等比数列.故选：D3．若是不等式成立的一个必要不充分条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出不等式成立的充要条件，根据充分必要条件关系判断.【详解】，因为是成立的必要不充分条件，所以.故选：B.4．已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，所以，即.故选：B.5．已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（

）A．1 B． C．2 D．2023【答案】C【分析】根据进行奇偶性和周期性的推导，得到是周期为4的偶函数，从而算出的值.【详解】因为，所以两边求导，得，即①因为为定义在上的奇函数，则，所以两边求导，得，所以是定义在上的偶函数，所以，结合①式可得，，所以，两式相减得，，所以是周期为4的偶函数，所以.由①式，令，得，所以.故选：C.6．已知函数是定义在上的奇函数，且为函数的极值点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据奇函数的定义，可得的值，再由极值点的必要条件，可得的值，可选出答案.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，可得，又，且为函数的极值点，所以，则，经检验符合题意，所以，，，故只有C正确.故选：C7．已知，在数列的每相邻两项与之间插人个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前项和为，则（

）A．150 B．151 C．170 D．171【答案】C【分析】根据题意得到数列前100项包含数列的项数和1的个数求解.【详解】解：由题意知之间插入1个之间插人2个之间插人4个之间插入8个1，之间插入16个之间插入32个之间插入64个1，由于，故数列的前100项含有的前7项和93个1，故．故选：C8．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将零点问题切换成函数图像交点，再利用导数研究函数的单调性及参数的取值范围.【详解】法一：设，则函数有两个零点转化为函数的图像与直线有两个交点，因为，当时，；当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，当时，；当时，，则，解得，即实数的取值范围是.法二：函数有两个零点可转化为函数的图像与直线有两个交点．因为函数的图像与轴交于点，且函数在点处的切线方程为，所以直线与该切线平行，且该直线与轴交于点，所以点在点上方，即，解得，即实数的取值范围是．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列选项正确的是（

）A．命题“”的否定是B．满足的集合的个数为4C．已知，则D．已知指数函数（且）的图象过点，则【答案】BC【分析】利用特称命题的否定形式可判定A，利用集合的基本关系可判定B，利用对数的运算可判定C，利用指数函数的性质可判定D.【详解】对于A，根据特称命题的否定形式可知命题“”的否定是，故A错误；对于B，由集合的基本关系可知满足的集合可以为，故B正确；对于C，由，故C正确；对于D，由题意可知，所以，故D错误.故选：BC10．设数列的前项和为，已知，，则（

）A． B．C．数列是等比数列 D．数列是等差数列【答案】AB【分析】根据已知条件求出递推关系，结合选项逐个验证即可得到结果.【详解】对于：由，则，，正确；对于：①，当时，②，①②得：，∴，∴，正确；对于：当时，；但不满足，所以数列不是等比数列，错误；对于：由，即，∴；所以数列是等比数列，不是等差数列，错误.故选：.11．函数定义域为，下列命题正确的是（

）A．对于任意正实数，函数在上是单调递减函数B．对于任意负实数，函数存在最小值C．存在正实数，使得对于任意的，都有恒成立D．存在负实数，使得函数在上有两个零点【答案】BD【分析】求函数的导函数，判断导函数在时的正负，确定函数的单调性，判断A，在时，确定方程的解，并判断函数在解的两侧的单调性，由此确定函数的最值，判断B，结合函数的单调性及零点存在性定理判断D，在时，结合图象确定的零点，由此判断C.【详解】函数的定义域是，且，当时，在恒成立，所以函数在上单调递增，故A错误；对于，设，，则，所以在上单调递增，所以在上单调递增，当时，，所以存在，使，所以当时，，在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以对于任意，函数存在最小值，故B正确；因为当时，函数存在最小值，且，所以，当时，，此时，所以存在，使，当时，，当时，，此时函数在上有两个零点，故D正确；函数的图象在有公共点，所以对于任意，有零点，故C错误；故选：BD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为.【答案】【分析】将问题转化为恒成立问题，从而得解.【详解】因为命题：“，”为假命题，所以“，”为真命题，即恒成立，所以，解得，故实数的取值范围为.故答案为：.13．数列的前项和记为，若，则．【答案】【分析】利用得，再利用等比数列的通项公式求解即可.【详解】由已知得，当时，，即，又，得，所以.故答案为：.14．设函数，①若有两个零点，则实数的一个取值可以是；②若是上的增函数，则实数的取值范围是．【答案】（内的值都可以）或【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解；②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解.【详解】①函数在上单调递增，，所以函数在区间上无零点，则函数在上有2个零点，即，，则，或或，，则，解得：，所以的一个值是；②函数在上单调递增，则在上，也单调递增，且，若函数在在区间单调递增，则，即在区间上恒成立，即，即，不等式，解得：或，综上可知，或.故答案为：（内的值都可以）；或四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．设集合，，.(1)设全集，求；(2)若，求实数的取值范围．【详解】（1）由，即，解得，所以，则或，由，即，解得，所以，所以．（2）由（1）可知：，因为，可知，又，当时，可得，解得；

当时，可得，解得；综上所述：实数的取值范围为：.16．已知等差数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：.【详解】（1）设等差数列的公差为.由题可得，，解得，所以.（2）证明：由（1）可得为正整数，所以.17．已知函数，且．(1)求实数a的值；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)判断函数在上的单调性，并利用单调性定义加以证明.【详解】（1）因为函数且，所以.（2）函数为奇函数，证明如下：因为，，且函数定义域为，所以，故函数为奇函数.（3）函数在上为单调递增函数，证明如下：任取，且令，，因为，所以，故函数在上为单调递增函数.18．已知函数，．(1)当时，求的最小值；(2)讨论函数和的图象在上的交点个数．【详解】（1）当时，，．令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，则当时，取得最小值，，所以当时，取得最小值1.（2）由，得，两边同时取自然对数得，显然，则，于是函数和的图象在上的交点个数，即方程的解的个数，令，求导得，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，因此是的极大值点，，当时，单调递增，函数的取值集合为，当时，直线与函数的图象仅只一个公共点，方程有一个解，当时，恒成立，在上递增，函数值集合为，在上递减，函数值集合为，因此当，即时，直线与函数的图象有两个公共点，方程有两个解，当，即时，直线与函数的图象仅只一个公共点，方程有一个解，当，即时，直线与函数的图象无公共点，方程没有实数解，综上，当或时，函数和的图象在上的交点个数是1；当时，函数和的图象在上的交点个数是0；当时，函数和的图象在上的交点个数是2.19．已知函数．(1)求函数的单调