2023苏科版八年级下数学四边形综合复习教案

2023苏科版八年级下数学四边形综合复习

选择题（共14小题）

1.如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点，AF与DE交于点

M,。为BD的中点，则下列结论：①NAME=90°；②/BAF=/EDB；③NBMO=90°；

④MD=2AM=4EM；⑤AM=?MF.其中正确结论的个数是（）

3

A.5个B.4个C.3个D.2个

2.如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动,

始终保持EF〃AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为

（）

.亨・亨

ABC.VED.

3.正方形ABCD中，点P,Q分别是边AB,AD上的点，连接PQ、PC、QC,下

列说法:①若NPCQ=45。，则PB+QD=PQ；②若AP=AQ=&,NPCQ=36°,贝iJPCj/^+1；

③若△PQC是正三角形，若PB=1,则AP=J5+1.其中正确的说法有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

4.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为CD上一动点，AE交BD于F,过F作

FH_LAE于F,过H作GH_LBD于G,下列有四个结论：①AF=FH,②/HAE=45°,

③BD=2FG,@ACEH的周长为定值，其中正确的结论有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

5.如图，点D是4ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不

与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF,又AP//BE（点P、E在直

线AB的同侧），假如BD=LAB,那么APBC的面积与AABC面积之比为（）

4

A.1B.旦C.1D.3

4554

6.如图，正方形ABCD的边长为2,E为线段AB上一点，点M为边AD的中点，

EM的延长线与CD的延长线交于点F,MG±EF,交CD于N,交BC的延长线于

G,点P是MG的中点.连接EG、FG.下列结论：①当点E为边AB的中点时,

SAEFG=5；②MG=EF；③当AE=«时，FG=2泥；④若点E从点A运动到点B,则

此过程中点P移动的距离为2.其中正确的结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.则在回ABCD中，ZBAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.若/

ABC=120°,FG〃CE,FG=CE,分别连接DB、DG、BG,NBDG的大小是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

8.如图，E,F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且^ARG,ZWCH的面积分

别为15和20,则图中阴影部分的面积为（）

A.15B.20C.35D.40

9.如图，在I3ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边^ABE、AADF,延长CB

交AE于点G,点G在点A、E之间，连接CE、CF,EF,则以下四个结论确定正

确的是（）

①4CDF之△EBC；②NCDF=NEAF；③aECF是等边三角形；④CGLAE.

A.只有①②B.只有①②③C.只有③④D.①②③④

10.在直线I上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是

1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是Si,S2,S3,S4,则Sl+S2+S3+S4=（）

A.4B.5C.6D.7

11.如图，E,F,G,H分别为正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点，且

AE=BF=CG=DH=L\B,则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（）

3

12.如图，在等边^ABC中，M、N分别是边AB,AC的中点，D为MN上随意

一点，BD,CD的延长线分别交于AB,AC于点E,F.若专懵=6,则△ABC的

边长为（）

A.1B.1C.1D.1

842

13.函数丫=且和丫=!在第一象限内的图象如图，点P是y=且的图象上一动点，PC

XXX

±x轴于点C,交y=L的图象于点B.给出如下结论：①AODB与aOCA的面积

X

相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变更；④CA=L

3

AP.其中全部正确结论的序号是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

14.如图，已知动点P在函数y=」-（x>0）的图象上运动，PM，x轴于点M,

2x

PN，y轴于点N,线段PM、PN分别与直线AB：y=-x+1交于点E,F,则AF・BE

的值为（）

A.4B.2C.1D.工

2

二.填空题（共14小题）

15.如图，矩形ABCD中，点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上，点P在

矩形ABCD内.若AB=4cm,BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=4cm,四边形AEPH的

面积为5cm2,则四边形PFCG的面积为cm2.

16.图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品.该作品由形如图乙的矩形图案拼

接而成（不重叠、无缝隙）.图乙中笆•9，EF=4cm,上下两个阴影三角形的面积

BC7

之和为54cm2,其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长

为cm.

17.如图所示，假如以正方形ABCD的对角线AC为边作其次个正方形ACEF,再

以AE为边作第三个正方形AEGM,…已知正方形ABCD的面积Si=l,按上述方法

所作的正方形的面积依次为S2,S3,..冬（n为正整数），那么第8个正方形面积

Ss=.

18.如图（1）,有两个全等的正三角形ABC和ODE,点0、C分别为aABC、△

DEO的重心；固定点0,将aODE顺时针旋转，使得0D经过点C,如图（2）,

则图（2）中四边形OGCF与△OCH面积的比为.

19.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,AC=12,BD=16,E为

AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使aPOE为等腰三角形的P

点坐标（-5,0）和（5,0）.请你写出其余全部符合这个条件的P点坐标.

20.RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一动点，PEJLAB于E,

PF1AC于F,M为EF中点，则AM的最小值为.

21.如图，AABC中，NACB=90。，把4ABC绕点C顺时针旋转到aAiBiC的位置，

AiBi交直线CA于点D.若AC=6,BC=8,当线段CD的长为时，AAICD是

等腰三角形.

22.如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G,

则2=______.

幺ABCD

23.如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线

交DE于点P.若AE=AP=1,PB=«.下列结论：①4APD之Z\AEB；②点B到直

线AE的距离为亚；③EB_LED；④SMPD+SMPB=1+加；⑤S正方形ABCD=4+加.其中正

确结论的序号是.

24.如图，已知双曲线尸K（k〈O）经过直角三角形。AB斜边0A的中点D,且与

x

直角边AB相交于点C.若点A的坐标为（-6,4）,则△AOC的面积为.

25.如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，

点C在反比例函数y=k的图象上，若点A的坐标为（-2,-2）,则k的值为

X

26.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B在x轴正半轴上，

顶点D在反比例函数尸工的第一象限的图象上，CA的延长线与y轴负半轴交于

X

点E.若4ABE的面积为1.5,则k的值为.

27.如图所示，以RtZXABC的斜边BC为一边在aABC的同侧作正方形BCEF,设

正方形的中心为。，连接A0,假如AB=4,A0=6e，那么AC=.

28.如图，在等边AABC中，AB=10,D是BC的中点，将^ABD绕点A旋转后得

到aACE,则线段DE的长度为.

三.解答题（共12小题）

29.已知，正方形ABCD中，NMAN=45。，/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边

分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N,AHLMN于点H.

（1）如图①，当NMAN绕点A旋转到BM=DN时，请你干脆写出AH与AB的数

量关系：;

（2）如图②，当NMAN绕点A旋转到BMWDN时，（1）中发觉的AH与AB的

数量关系还成立吗？假如不成立请写出理由，假如成立请证明；

（3）如图③，已知NMAN=45。，AH1MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的

长.（可利用（2）得到的结论）

30.如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE=DF,ZEAF=60".

（1）若AE=2,求EC的长；

(2)若点G在DC上，且NAGC=120。，求证：AG=EG+FG.

31.(1)人教版八年级数学下册92页第14题是这样叙述的：如图1,BABCD中，

过对角线BD上一点P作EF〃BC,HG〃AB,图中哪两个平行四边形的面积相等？

为什么？

依据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为和;

(2)如图2,点P为回ABCD内一点，过点P分别作AD、AB的平行线分别交回ABCD

的四边于点E、F、G、H.已知S®BHPE=3,S®PFDG=5,则SAPAC=;

(3)如图3,若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30。内角的菱形EFGH(不

重复、无缝隙).已知①②③④四个平行四边形面积的和为14,四边形ABCD的

面积为11,则菱形EFGH的周长为.

32.如图，已知正方形ABCD,点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连

接EF,若BE=DF,点P是EF的中点.

(1)求证：DP平分NADC；

(2)若NAEB=75°,AB=2,求4DFP的面积.

33.如图，四边形ABCD是边长为3亚的正方形，长方形AEFG的宽AE=1,长

EF=^«.将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15。得到长方形AMNH(如图)，这

时BD与MN相交于点0.

(1)求NDOM的度数；

(2)在图中，求D、N两点间的距离；

(3)若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15。得到长方形ART乙请问此时点

B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由.

34.如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点。按顺时针方向旋转角a(CTVa

<45°),得到正方形。A1B1C1.设边BiCi与OC的延长线交于点M,边BiAi与OB

交于点N,边BiAi与OA的延长线交于点E,连接MN.

(1)求证：△OCiM^^OAiE；

(2)试说明：△OMN的边MN上的高为定值；

(3)AMNBi的周长p是否发生变更？若发生变更，试说明理由；若不发生变

更，请赐予证明，并求出p的值.

35.探究：如图，分别以aABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正

方形ACDE,NC、BE交于点P.

求证：ZANC=ZABE.

应用：Q是线段BC的中点，若BC=6,则PQ=.

36.如图，在菱形ABCF中，ZABC=60°,延长BA至点D,延长CB至点E,使

BE=AD,连结CD,EA,延长EA交CD于点G.

(1)求证：△ACEgZXCBD；

(2)求NCGE的度数.

37.已知：如图，矩形ABCD中，DE交BC于E,且DE=AD,AFJ_DE于F.

求证:AB=AF.

38.如图1,直角NEPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE,PF

分别和AB,AD所在的直线交于点E和F.易得4PBE之APDF,故结论"PE=PF"成

立；

(1)如图2,若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，(1)中的

结论是否照旧成立？说明理由；

(2)如图(3)将(2)中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，若AB=m,

BC=n,干脆写出患的值.

PF

39.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点。，AO=CO,BO=D。，且

ZABC+ZADC=180°.

(1)求证：四边形ABCD是矩形.

(2)若NADF：ZFDC=3：2,DF_LAC,则NBDF的度数是多少？

40.如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别在BC,AB上，点M在BA的延

长线上，且CE=BF=AM,过点M,E分别作NM_LDM,NE_LDE交于N,连接NF.

(1)求证：DELDM；

(2)猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想.

2023苏科版八年级下数学四边形综合复习

参考答案与试题解析

一.选择题(共14小题)

1.如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点，AF与DE交于点

M,0为BD的中点，则下列结论:①NAME=90。；②NBAF=NEDB；③NBMO=90。；

④MD=2AM=4EM；⑤AM=?MF.其中正确结论的个数是()

3

A.5个B.4个C.3个D.2个

【分析】依据正方形的性质可得AB=BC=AD,NABC=NBAD=90。，再依据中点定

义求出AE=BF,然后利用“边角边"证明4ABF和4DAE全等，依据全等三角形对

应角相等可得NBAF=/ADE,然后求出NADE+NDAF=/BAD=90。，从而求出/

AMD=90。，再依据邻补角的定义可得NAME=90。，从而推断①正确；依据中线的

定义推断出NADEWNEDB,然后求出NBAFWNEDB,推断出②错误；依据直角

三角形的性质推断出AAED、AMAD>AMEA三个三角形相像，利用相像三角形

对应边成比例可得理=啦=迫=2,然后求出MD=2AM=4EM,推断出④正确，设

EMAMAE

正方形ABCD的边长为2a,利用勾股定理列式求出AF,再依据相像三角形对应

边成比例求出AM,然后求出MF,消掉a即可得到AM=2MF,推断出⑤正确；

3

过点M作MN1AB于N,求出MN、NB,然后利用勾股定理列式求出BM,过点

M作GH〃AB,过点。作OKLGH于K,然后求出OK、MK,再利用勾股定理列

式求出M0,依据正方形的性质求出B0,然后利用勾股定理逆定理推断出N

BMO=90°,从而推断出③正确.

【解答】解:在正方形ABCD中,AB=BC=AD,ZABC=ZBAD=90°,

TE、F分别为边AB,BC的中点，

，AE=BF=LBC,

2

在aABF和aDAE中，

/.△ABF^ADAE(SAS),

/.ZBAF=ZADE,

VZBAF+ZDAF=ZBAD=90°,

ZADE+ZDAF=ZBAD=90°,

ZAMD=180°-(ZADE+ZDAF)=180°-90°=90°,

JZAME=1800-ZAMD=180°-90°=90°,故①正确；

VDE是4ABD的中线，

.♦.NADEWNEDB,

二/BAFWNEDB,故②错误；

VZBAD=90°,AMIDE,

/.△AED^AMAD^AMEA,

•AM_MD_AD_9

EMAMAE

，AM=2EM,MD=2AM,

，MD=2AM=4EM,故④正确；

设正方形ABCD的边长为2a,则BF=a,

在RQABF中，AF=C/#J（2a）2+&2=后,

VZBAF=ZMAE,ZABC=ZAME=90°,

/.△AME^AABF,

即鲤=1_,

2a遍a

解得AM=3叵，

5_

，MF=AF-AM=v0-2近a=3遥a,

55

.•.AM=2MF,故⑤正确；

3

如图，过点M作MN，AB于N,

则典=细=细，

BFABAF

2娓

即幽=细=飞二，

a2a任a

解得MN=2a,AN=Aa,

55

，NB=AB-AN=2a-—a=­a,

55

=22=

依据勾股定理，BMVNB+MNJ（-f-a）+（卜

1DDO

过点M作GH〃AB,过点。作OKLGH于K,

则OK=a-2a3,MK=—a-a=—a,

5555

D=22=

在RtAMKO中，M(VMK+OK^（ya）+（fa）=4^，

返=后，

依据正方形的性质,BO=2aX

2

22

VBM+MO=（2VToa）2+（V10a）2=2a2,

55

B02=（扬）2=2a2,

.*.BM2+MO2=BO2,

...△BMO是直角三角形，ZBMO=90°,故③正确;

综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个.

故选:B.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相像三角形的判

定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大,

细致分析图形并作出帮助线构造出直角三角形与相像三角形是解题的关键.

2.如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动,

始终保持EF〃AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为

()

A.呼B・孚C.VE.

D

【分析】因为题目没有确定正方形EFGH的位置，所以我们可以将正方形EFGH

的位置特殊化，使点H与点A重合，重新作出图形，这样有利于我们解题，过点

M作MO±ED于0,则可得出0M是梯形FEDC的中位线，从而可求出ON、OM,

然后在RTAMON中利用勾股定理可求出MN.

【解答】解：如图，将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M

作M01ED与0,则M0是梯形FEDC的中位线，

.*.E0=0D=2,M0=—(EF+CD)=2.

2

•.•点N、M分别是AD、FC的中点，

；.AN=ND=g,

2

/.ON=OD-ND=2-H

22

2222

在RTAMON中，MN=MO+ON,即MN=J2+(y).

故选:B.

【点评】本题考查了梯形的中位线定理、正方形的性质及勾股定理的学问，属于

综合性题目，对待这样既有动态因素又不确定位置的题目，确定要将位置特殊化,

这样不影响结果且解题过程简洁，同学们要学会在以后的解题中利用这种思想.

3.正方形ABCD中，点P,Q分别是边AB,AD上的点，连接PQ、PC、QC,下

列说法:①若NPCQ=45。，则PB+QD=PQ；②若AP=AQ=M，NPCQ=36°,贝iJPCW^+1；

③若APCIC是正三角形，若PB=1,则AP=y+l.其中正确的说法有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

【分析】（1）延长AB至点E,使BE=DQ,连接EC,AC,首先通过求证aBEC和

△DQC全等推出等量关系，求出NECP=45。，然后再求证4PCE丝△PCQ,通过等

量代换即可推出结论，

（2）过点Q作NPQC的角平分线，交PC于点E,首先依据题意推出△PBC^Da

QDC全等，推出有关的等量关系，推出△PQC为等腰三角形，然后，通过顶角为

36。角的等腰三角形的特殊性质，推出PQ2=PE・PC,PE=PC-2,解方程组即可推出

结论，

（3）取PC的中点E,连接BE,做BMLPC于点M,首先依据题意推出RtZ\PBC

和Rt^QDC全等，然后依据其性质推出相关角的度数和PB=QD,再通过直角三

角形斜边上的中线的性质，和节直角三角形，推出4BM=PC,PC=V2AP,即得，

4BM=«AP,然后通过求证APBIVISAPCB,推出BP：PC=BM：BC,最终通过等

量代换，求关于AP的方程即可.留意不合适的值要舍去.

【解答】（1）证明：延长AB至点E,使BE=DQ,连接EC,AC,

•.,正方形ABCD,

AZBCA=ZDCA=45°,CD=DA=AB=BC,ZD=ZEBC=90°,

.•.在4BEC和△DQC中，

.,.△BEC^ADQC（SAS）,

；.CE=CQ,NBCE=NDCQ,

VZPCQ=45O,

/.ZDCQ+ZPCB=45°,

，NBCE+NPCB=45。，即NECP=45°,

•.,在APCE和aPCQ中,

.•.△PCE之△PCQ（SAS）,

；.PE=PQ,

：PE=PB+BE=PB+QD,

；.PQ=PB+QD,

(2)过点Q作/PQC的角平分线，交PC于点E,

•.,正方形ABCD,

.,.ZA=ZD=ZB=90°,AD=AB=BC=CD,

VZPCQ=36°,AP=AQ=M，

，PQ=2,PB=QD,

APE=PC-2,

•.,在APBC和△QDC中，

/.△PBC^AQDC(SAS),

QC=PC,

...NCPQ=NCQP=72°,

，NPQE=NEQC=36°,

QE=QP=EC=2,

,.,△QPE^ACQP,

，PQ：QC=PE：PQ,即PQ2=PE・PC,

VPQ=2,

；.PE・PC=4,

VPE=PC-2,

：.PC2-2PC-4=0,

解得：PCi=l-V5<0(舍去)，PC2=l+&,

•".PC=V5+1,

(3)取PC的中点E,连接BE,做BMLPC于点M,

•.•正方形ABCD,

，BC=CD=AB=AD,ZD=ZB=ZA=ZBCD=90°,

•••△PCQ为正三角形，

，QC=PQ=PC,NQCP=60°,

•.,在RtAPBC和RtAQDC中，

ARtAPBC^RtAQDC(HL),

9060

/.ZBCP=ZDCQ=0~0-15°,PB=QD,

TE为PC的中点，

，BE=EC=PE=gpc，

，NBEM=30°,

，2BM=BE,

；.4BM=PC,

VPC=V2AP.

.*.4BM=A/2AP，

VBM±PC,NBCP=15。，

AZPBM=15",

.'.△PBM^APCB,

ABP：PC=BM：BC,

VPB=1,

:.BC=AB=AP+1,

Z.IAP2-AP-1=0,

2

解得：APi=l+«,AP2=1-V3<0（舍去），

AP=«\/3+l>

其中说法正确的共3个，

故选:A.

【点评】本题主要考查正方形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、

相像三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的性质

等学问点的综合应用，关键在于娴熟驾驭和应用相关的性质定理，正确地通过作

帮助线构建直角三角形、细致正确地解二元一次方程组，解一元二次方程，留意

解得的不合题意的值要舍去.

4.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为CD上一动点，AE交BD于F,过F作

FH_LAE于F,过H作GH_LBD于G,下列有四个结论：①AF=FH,②NHAE=45°,

③BD=2FG,@ACEH的周长为定值，其中正确的结论有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【分析】(1)作帮助线，延长HF交AD于点L,连接CF,通过证明△ADFgA

CDF,可得：AF=CF,故需证明FC=FH,可证：AF=FH；

(2)由FH1AE,AF=FH,可得：ZHAE=45"；

(3)作帮助线，连接AC交BD于点0,证BD=2FG,只需证0A=GF即可，依据

△AOF^AFGH,可证OA=GF,故可证BD=2FG；(4)作帮助线，延长AD至点M,

使AD=DM,过点C作CI〃HL,则IL=HC,可证AL=HE,再依据△MEC且△MIC,

可证：CE=IM,故ACEH的周长为边AM的长，为定值.

【解答】解：(1)连接FC,延长HF交AD于点L,

BD为正方形ABCD的对角线，

/.ZADB=ZCDF=45O.

VAD=CD,DF=DF,

AAADF^ACDF.

AFC=AF,ZECF=ZDAF.

VZALH+ZLAF=90°,

.,.ZLHC+ZDAF=90".

VZECF=ZDAF,

，NFHC=/FCH,

/.FH=FC.

/.FH=AF.

(2)VFH1AE,FH=AF,

，NHAE=45°.

(3)连接AC交BD于点。，可知：BD=20A,

ZAFO+ZGFH=ZGHF+ZGFH,

，ZAFO=ZGHF.

VAF=HF,ZAOF=ZFGH=90°,

/.△AOF^AFGH.

/.OA=GF.

VBD=20A,

；.BD=2FG.

(4)延长AD至点M,使AD=DM,过点C作CI〃HL,则：LI=HC,

依据△MEC&ACIM,可得：CE=IM,

同理,可得:AL=HE,

，HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.

...△CEH的周长为8,为定值.

故(1)(2)(3)(4)结论都正确.

故选：D.

【点评】解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角

形全等.

5.如图，点D是4ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点(不

与点B重合).以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF,又AP#BE(点P、E在直

线AB的同侧)，假如BD=L\B,那么aPBC的面积与^ABC面积之比为()

4

A.1B.旦C.1D.3

4554

【分析】首先过点P作PH〃BC交AB于H,连接CH,PF,易得四边形APEB,

BFPH是平行四边形，又由四边形BDEF是平行四边形，设BD=a,则AB=4a,可

求得BH=PF=3a,又由SMBC=SAPBC,SAHBC：SAABC=BH：AB,即可求得△PBC的面积

与aABC面积之比.

【解答】解：过点P作PH〃BC交AB于H,连接CH,PF,

VAPj_BE,

•••四边形APEB是平行四边形，

；.PE〃AB,PE=AB,

四边形BDEF是平行四边形，

，EF〃BD,EF=BD,

即EF〃AB,

：.P,E,F共线，

设BD=a,

VBD=1AB,

4

；.PE=AB=4a,

则PF=PE-EF=3a,

VPH/7BC,

,SAHBC=SAPBC»

；PF〃AB,

二四边形BFPH是平行四边形，

，BH=PF=3a,

SAHBC：SAABC=BH：AB=3a：4a=3：4,

SAPBC：SAABC=3：4.

故选：D.

【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法.此题

难度较大，留意精确作出帮助线，留意等高三角形面积的比等于其对应底的比.

6.如图，正方形ABCD的边长为2,E为线段AB上一点，点M为边AD的中点，

EM的延长线与CD的延长线交于点F,MG1EF,交CD于N,交BC的延长线于

G,点P是MG的中点.连接EG、FG.下列结论：①当点E为边AB的中点时,

SAEFG=5；②MG=EF；③当人£=«时，FG=2泥；④若点E从点A运动到点B,则

此过程中点P移动的距离为2.其中正确的结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】当E点是AB的中点时，由条件可知AM=AE=1,由勾股定理求出EM=

圾，通过证明aAME之△DMF,可以得出EM=FM=亚，EF=2«.过M作MQ,

BC于Q（如图），可以得出RtZxAMEsRt4QMG,可以求出MG=2后，最终由三

角形的面积公式求出即可推断①.

作EWLCD于W,MQLBC于Q易证aEFW和△MGQ,依据全等三角形的性质

推出EF=MG,即可推断②；

求出EM=2,求出FM,得出MG=EF=4,在AFIVIG中依据勾股定理求出FG,即可

推断③；

当E在A点时，P为正方形中心当E运动到B点时，P运动到「证Rt^MPP's

Rt^EMG推出PP'=2MP=2,即可推断④.

【解答】解:

过M作MQ1BC于Q,

・••四边形ABCD是正方形，

；.AB=2,ZA=ZB=90°,

NA=NB=NBQM=90°,

二四边形ABQM数矩形，

「・MQ=AB=2,

VE>M分别为AB、AD中点,

/.AE=AM=1,AM=MD,

由勾股定理得：EM=y]2+]2=M，

,四边形ABCD是正方形，

NA=/ADF=90°,AB〃CD,

，NAEM=NDFM,

•.,在△AEM和△DFM中

/.△AEM^ADFM(AAS),

EM=MF=A/^,

，EF=2点,

•四边形ABQM是矩形，

，NAMQ=90°,

VZEMG=90°,

/.ZAME+ZEMQ=90°,ZEMQ+ZQMG=90°,

，NAME=NQMG,

；在△AME和△QGM中，NA=NMQG=90。,NAME=NQMG,

.,.△AME^AQMG,

，MQ=QG=2,

在Rt^MQG中，由勾股定理得：MG=2b，

/.SAEFG=iEFXMG=lx2V2X2心4,/.①错误；

过E作EW1CD于W,

VMQ1BC,四边形ABCD是正方形，

；.EW=AD=MQ=AB,ZMHE=90",

VZEMG=90°,

AZMEG+ZEMH=90°,ZEMH+ZGMH=90",

，NMEH=NQMG,

•.,在^FEW和△GMQ中

.,.△FEW之△GMQ(ASA),

，EF=MG,.•.②正确；

VZA=90°,AM=1,AE=M，

...由勾股定理得：EM=2=FM,

；.MG=EF=2+2=4,

在Rtz^FMG中，由勾股定理得：FG={FM+MG2=2V5,.•.③正确；

当E在A点时，P为正方形中心

当E运动到B点时,P运动到P',

,/△ABM^AMGB(已证)，

•.•P为MQ的中点，P，为MG中点，

.'.PP'〃BC,

/.ZMPP,=ZMQG=90°=ZBMG,NMP'P=/MGB,

，PP'=2MP=2,...④正确；

即正确的有3个.

故选：C.

【点评】本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等学问点，

主要考查学生的推理实力和计算实力，题目综合性比较强，难度偏大，对学生提

出了较高的要求.

7.则在回ABCD中，ZBAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.若N

ABC=120°,FG〃CE,FG=CE,分别连接DB、DG、BG,ZBDG的大小是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【分析】分别连接GB、GC,求证四边形CEGF是平行四边形，再求证4ECG是等

边三角形.由AD〃BC及AF平分NBAD可得NBAE=NAEB,则可证得△BEG^^

DCG,然后即可求得答案.

【解答】解：延长AB、FG交于H,连接HD.

：AD〃GF,AB〃DF,

四边形AHFD为平行四边形，

VZABC=120°,AF平分NBAD,

，NDAF=30°,ZADC=120°,ZDFA=30°,

...△DAF为等腰三角形，

，AD=DF,

二平行四边形AHFD为菱形，

.•.△ADH,△DHF为全等的等边三角形，

，DH=DF,ZBHD=ZGFD=60°,

VFG=CE,CE=CF,CF=BH,

，BH=GF,

在4BHD和4GFD中，

.,.△BHD^AGFD（SAS）,

AZBDH=ZGDF,

.,.ZBDG=ZBDH+ZHDG=ZGDF+ZHDG=60°.

故选：C.

【点评】此题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角

形的判定与性质，菱形的判定与性质等学问点.此题难度较大，留意驾驭帮助线

的作法，留意数形结合思想的应用.

8.如图，E,F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且aABG,aDCH的面积分

别为15和20,则图中阴影部分的面积为（）

A.15B.20C.35D.40

【分析】连接EF,易证4EFG的面积与4ABG的面积，即可解决.

【解答】解：连接EF,VSAABF=SAEBF

•,SAEFG=SAABG=15；

同理：SAEFH=SADCH=20

，SBJS5=SAEFG+SADCH=15+20=35.

故选：C.

【点评】此题主要考查三角形面积公式的综合应用，关键是留意到4EFG面积与

△ABG面积的关系.

9.如图，在回ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边aABE、AADF,延长CB

交AE于点G,点G在点A、E之间，连接CE、CF,EF,则以下四个结论确定正

确的是()

①△CDFgAEBC；②NCDF=NEAF；③AECF是等边三角形；④CGJ_AE.

A.只有①②B.只有①②③C.只有③④D.①②③④

【分析】依据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项.

【解答】解：:△ABE、4ADF是等边三角形

，FD=AD,BE=AB

VAD=BC,AB=DC

；.FD=BC,BE=DC

VZB=ZD,ZFDA=ZABE

/.ZCDF=ZEBC

.,.△CDF^AEBC,故①正确；

VZFAE=ZFAD+ZEAB+ZBAD=60°+60°+(180°-ZCDA)=300°-ZCDA,

ZFDC=360°-ZFDA-ZADC=3000-ZCDA,

/.ZCDF=ZEAF,故②正确；

同理可得：ZCBE=ZEAF=ZCDF,

VBC=AD=AF,BE=AE,

...△EAFg△EBC,

ZAEF=ZBEC,

VZAEF+ZFEB=ZBEC+ZFEB=ZAEB=60°,

，NFEC=60°,

VCF=CE,

.•.△ECF是等边三角形，故③正确；

在等边三角形ABE中，

•••等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段

,假如CG_LAE,则G是AE的中点，ZABG=30°,ZABC=150°,题目缺少这个条

件，CGLAE不能求证，故④错误.

故选:B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形

的性质等学问，综合性强.考查学生综合运用数学学问的实力.

10.在直线I上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是

1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是Si，S2,S3,S41则Si+S2+S3+S4=()

A.4B.5C.6D.7

【分析】视察图形依据勾股定理的几何意义，边的平方的几何意义就是以该边为

边的正方形的面积.

【解答】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1,S2+S3=2,S3+S4=3,S1+S2+S3+S4=4,

故选A.

【点评】勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边

的平方等于另外两边的平方和.这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正

方形的面积.

11.如图，E,F,G,H分别为正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点，且

AE=BF=CG=DH」AB,则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为()

3

A.-B.—C.—D.—

5925

【分析】首先依据正方形的对称性得到阴影部分是正方形，设正方形的边长为3a,

利用勾股定理求出CH、DM、HM的长，即可得到MN的长，也就是阴影部分的

边长，面积也就求出了，再求比值就可以了.

【解答】解：设CH与DE、BG分别相交于点M、N,正方形的边长为3a,DH=CG=a,

首先由正方形的中心对称得到阴影部分为正方形，以及4ADE之△0可,证到DM

±CH,

在RtZ\CDH中，由勾股定理得CH=JT^a，由面积公式得当CH・DM=*DH・CD

得DM=^p/10a,

在RtADMH中由勾股定理得MH=。死

10a_

则MN=CH-MH-CN=«7T5a-6a--^_a='|VToa,

所以阴影部分的面积：正方形ABCD的面积=理^2：9a2=2：5.

25

故选：A.

【点评】本题考查学生对相像形的性质，正方形的性质及全等三角形的判定方法

的驾驭.

12.如图，在等边^ABC中，M、N分别是边AB,AC的中点，D为MN上随意

一点，BD,CD的延长线分别交于AB,AC于点E,F.若!」=6,则△ABC的

CE^F

边长为（）

A.—B.—C.2D.1

842

【分析】过点A作直线PQ〃BC,延长BE交PQ于点P；延长CF,交PQ于点

Q.证明△BCES^PAE,ACBF^AQAF,

构造」_+」_与BC的关系求解.

CEBF

【解答】解：过点A作直线PQ〃BC,延长BD交PQ于点P；延长CD,交PQ于

点Q.

•.•PQ〃BC,

.,.△PQD^ABCD,

•.•点D在4ABC的中位线上,

.,.△PQD与4BCD的高相等,

.,.△PQD^ABCD,

PQ=BC,

VAE=AC-CE,AF=AB-BF,

在^BCE与4PAE中，ZPAE=ZACB,ZAPE=ZCBE,

.,.△BCE^APAE,追更..①

CEBC

同理：△CBFS/XQAF,更=迪…②

BFBC

①+②得.AC-CE.AB-BF_AP+AQ

~CEBFBC--

•«•AC.~AB_—oo,

CEBF

又•••CE+BF=6,AC=AB,

.'.△ABC的边长=L.

2

故选：C.

【点评】本题综合考查了三角形中位线定理及三角形的相像的学问，解题的关键

是作平行线构造相像，从而得到已知与所求线段的关系.

13.函数丫=且和丫=!在第一象限内的图象如图，点P是y=&的图象上一动点，PC

XXX

lx轴于点C,交丫=］的图象于点B.给出如下结论：①AODB与40CA的面积

X

相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变更；④CA=L

3

AP.其中全部正确结论的序号是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【分析】由于A、B是反比函数y=L上的点，可得出SAOBD=SAOAC=L,故①正确；

x2

当P的横纵坐标相等时PA=PB,故②错误;依据反比例函数系数k的几何意义可

求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接P0,依据底面相同的三角形面

积的比等于高的比即可得出结论.

【解答】解：YA、B是反比函数y=上上的点，

X

SAOBD=SAOAC=—>故①正确；

2

当P的横纵坐标相等时PA=PB,故②错误；

•••P是y=&的图象上一动点，

X

••S矩形PDOC=4，

S四边形PAOB=S矩形PDOC-SAODB__SOAC=4----=3,故③正确；

A22

连接0P,

SAPOJPCLZ./]

^AOACAC_L

2

，AC=Uc,PA=WPC,

44

•••P--A--_D.，

AC

.-.AC=1AP；故④正确；

3

综上所述，正确的结论有①③④.

故选：C.

【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义

是解答此题的关键.

14.如图，已知动点P在函数y=2-（x>0）的图象上运动，PM±x轴于点M,

2x

PN，y轴于点N,线段PM、PN分别与直线AB：y=-x+1交于点E,F,则AF・B