初中数学北师大八年级下册（2023年修订） 因式分解公式法

第四章因式分解

3.公式法（二）

一、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生在七年级下册第一章中已经学习过完全平方公式，

将其逆用就是本节课所涉及的主体知识.对于公式逆用，学生已经不是第一次接触

了，在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的.

学生活动经验基础：通过上节课的学习，学生积累了一定的学习经验.本节课的

学习模式与前者基本相同：公式倒用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分

解因式以及要求分解彻底.这些活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法,

学生有较好的活动经验.

二、教学任务分析

学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平

方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为

下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础.

本节课的具体教学目标为：

1.知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用

公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解

因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式.

2.过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因

式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力.

3.情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会

因式分解在数学学科中的地位和价值.

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：复习回顾一一学习新知一一落实基础一一范例学

习一一随堂练习一一联系拓广一一自主小结.

第一环节复习回顾

活动内容：

(a+i)2=a2+2ab+b2

完全平方公式：,,2

(a-b")2=a2Zab+b?

现在我们把完全平方公式反过来，可得：

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

两个数的平方和，加上这两个数的

积的两倍，等于这两数和的平方.

活动目的：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法.

注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此

课时的学习铺垫内容.

第二环节学习新知

活动内容：

学习新知__________________________

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-Zab+bz-(a-b)2

两个数的平方和，加上(或减去)这两个数

的积的两倍，等于这两数和(或者差)的平方.

a2+2ab+Z?2

形如a2-2ab+b2的多项式称为完全平方式•

9x2-6X+1=(3X)2-2-(3X)-1+12=(3x-I)2

活动目的：总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如/±2砧+〃的多项式称

为完全平方式.

注意事项：举例说明便于学生理解.同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互逆

关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，

这种分解因式的方法叫做运用公式法.

第三环节落实基础

活动内容：

1.判别下列各式是不是完全平方式.

(1)/+/；

(2)x2+2盯+〉2；

(3)X2-2xy+y2；

(4)x2+2xy-y2；

(5)—x'+2xy-y1.

2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式.

(1)d++优

(2)4a2+9从+；

(3)X2-+4y2；

(4)a2++%；

(5)+2x1y+.

结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；

完全平方式可以进行因式分解，

a2-2ab+b2=(a-b)2a2+2ab+b2=Qa+b)2

活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式做能力铺垫.

注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能

顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能

很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发.

第四环节范例学习

活动内容：

例1.把下列各式因式分解：

(1)X2+14X+49⑵4/-12仍+9〃

(3)(，〃+〃尸一6(加+〃)+9(4)(m-2/?)2-2(2n-in){m+«)+(m+n)2

活动目的：(1)培养学生对平方差公式的应用能力;

(2)让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以

表示多项式.

注意事项：灵活掌握完全平方式的特征成为运用公式法进行分解因式的关键，在运

用整体法时，注意去括号后的符号变化和系数变化.

活动内容：

例2.把下列各式因式分解：

(l)3ar2+6axy+3ay2(2)-x2-4y2+4xy

活动目的：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观

察它是否有公因式，使学生清楚地了解提公因式法(包括提取负号)是分解因式首

先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式.

注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时，一般按以下两步完成：(1)

有公因式，先提公因式；(2)再用公式法进行因式分解.

第五环节随堂练习

活动内容：

1.判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的a、b各表示什么？

(1)x1-6x+9；

(2)l+4a2；

(3)x~—2x+4；

(4)4X2+4X-1；

m~2

(5)1+——m-,

4

(6)4y2-12xy+9x2.

2、把下列各式因式分解：

(1)m2-12mn+367?2(2)16a4+24a2b2+9b4

(3)(4)4-12(%-y)+9Cx-y)2

活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是

否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解,

以便教师能及时地进行查缺补漏.

注意事项：当完全平方公式中的H与少表示两个或两个以上字母时，学生运用起来

有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导.

第六环节联系拓广

活动内容：

1.用简便方法计算：20052-4010x2003+20032

2.将4炉+1再加上一个整式，使它成为完全平方式，你有几种方法？

3.一天，小明在纸上写了一个算式为4x2+8x+ll,并对小刚说：“无论x取何值，这个

代数式的值都是正值，你不信试一试？”

活动目的：题1考察学生灵活应用能力，需要学生有一定的数感将-4010x2003拆成

-2x2005x2003的形式，从而利用完全平方公式进行简便运算.题2是一道开放题旨在

考察学生的分类讨论思想.题3难道较大，对学有余力的孩子可以适当引导学习.

注意事项：这3道习题的设置均有一定的难度，无需要求所有学生都能掌握，按学

生自身能力分层学习即可.

第七环节自主小结

活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你认为分解因

式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？

结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可

以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.

活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分

解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深

对类比数学思想的理解.

注意事项：学生认识到了以下事实：

(1)形如扇±2〃/>+配形式的多项式可以

用完全平方公式分解因式。

(2)因式分解通常先考虑提取公因式法方法。

再考虑运用公式方法。

(3)因式分解要彻底

课后作业：完成课后习题；

拓展作业：两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？

四、教学设计反思

本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分

解因式的方法，使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和

与这两个数的乘积的2倍，具体应用时要特别关注第二项的符号.

把一个多项式进行