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文档简介
中考数学最值题目归纳
考查学问点:1,“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点
对于线对称”,“线段的平移”。
(2,代数统计最值题目3,二次函数中最值题目)
题目原型:饮马题目造桥选址题目(完好平方程式配方
求多项式取值二次函数极点)
出题背景变式:角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、
圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路:找点对于线的对称点实现“折”转“直”
几何根本模型:/
前提:似下左图,A、B是直线/同旁
的两个定点.
题目:在直线/上肯定一点P,使"+总的值最小.
方式:作点A对于直线/的对称点A,连结交/于
点P,那么=的值最小
例工,似图,四边形ABCD是正方形,4ABE是等边三
角形,M为对角线BD(不含B点)上随意任性一点,将
BM绕点B逆时针扭转60。得到BN,毗连EN、AM、CM.
(1)求证:^AMB会^ENB;
(2)①当M点在那边时,AM+CM的值最小;
②当M点在那边时,AM+BM+CM的值最小,同时讲明
出处;
(3)当AM+BM+CM的最小值为万+1时,求正方形的
边长。
例2,似图13,抛物线y=ax2+bx+
c(a^O)的极点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,
其中B点的坐标为(3,0)
(1)求抛物线的解析式
(2)似图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于
点F,其中E点的横坐标为2,如果直线PQ为抛物线的对
称轴,点G为PQ上一动点,那么x轴上是否存在一点
H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.如果存在,
求出那个最小值及G、H的坐标;如果不存在,请讲明出
处.
(3)似图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的
垂线,垂足为M,过点M作直线MN〃BD,交线段AD于点
N,毗连MD,使△DNMS/XBMD,如果存在,求出点T的坐
标;如果不存在,讲明出处.
例3,似图1,四边形AEFG与ABCD根基上正方形,它
们的边长分不为a,b(bN2a),且点F在AD上(以下题
目的结论可用a,b示意)
(1)求SADBF;
(2)把正方形AEFG绕点A逆时针方向扭转45。得图2,
求图2中的SADBF;
(3)把正方形AEFG绕点A扭转随意任性角度,在扭转
环节中,SADBF是否存在最大值,最小值?介入存在,试
求出最大值、最小值;介入不存在,请讲明出处。
例4,似图,在平面
直角坐标系中,直线y=gx+l与抛物线y=ax?+bx-3父于A,B两
点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3。点P是直线
AB下方的抛物线上一动点(不与A,B重合),过点P
作x轴的垂线交直线AB与点C,作PDLAB于点D
(1)求a,b及sin/ACP的值
(2)设点P的横坐标为m
①用含m的代数式示意线段PD的长,同时求出线
段PD长的最大值;
②毗连PB,线段PC把4PDB分成两个三角形,是否
存在合适的m值,使这两个三角形的面积之比为9:10?
如果存在,开门见山写出m值;如果不存在,讲明出处.
例5,似图,OC的内接△AOB中,
AB=A0=4,tanAOB——>抛物线、=加+云经过点A(4,0)与
4
点(-2,6).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)直线m与。C相切于点A,交y于点D.动点P在线
段0B上,从点。出发向点B运动;同时动点Q在线
段DA上,从点D出发向点A运动;点P的速率为
每秒1个单位长,点Q的速率为每秒2个单位长,
当PQ1AD时,求运动时候t的值;
(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上,当
△ROB面积最大时,求点R的坐标.
证明:([)••・△ABE是等边三角形,
.\BA=BE,ZABE=60°.
VZMBN=60°,/.ZMBN-ZABN=ZABE-ZABN.即
ZMBA=ZNBE.
XVMB=NB,/.△AMB^AENB(SAS).(5分)
解:
D
--
Rc(2)①当M点落在BD的中点时,
A、M、C三点共线,AM+CM的值最小.(7分)
②似图,毗连CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM+BM+CM的值最小.(9分)
出处似下:毗连MN,由(工)知,△AMBgZ\ENB,:.
AM=EN,
VZMBN=60°,MB=NB,••△BMN是等边三角
形.・・・BM=MN.
•••AM+BM+CM=EN+MN+CM.(10分)
依照”两点之间线段最短“,得EN+MN+CM=EC最短
・••当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值
最小,即等于EC的长.(工工分)
例2,解:(1)设所求抛物线的解析式为:广心-1)2+4,
依题意,将点B(3,0)代入,得:a(3-l)2+4=0解得:
a=—1.1所求抛物线的解析式为:y=_(x-1)?+4
(2)似图6,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F
与点I对于x轴对称,
在x轴上取一点H,毗连HF、HLHG、GD、GE,那
么HF=HI...........................①
设过A、E两点的一次函数解析式为:y=kx+b(kWO),
•・•点E在抛物线上且点E的横坐标为2,将x=2代入
抛物线丁=-(尤-1>+4,得
y=-(2-l)2+4=3
,点E坐标为(2,3)
又:抛物线y=-(1)2+4图象分不与x轴、y轴交于点A、B、
D
,当y=0时,-(X-I)2+4=O,.,.x=-1或
x=3
当x=0时,y=-1+4=3,
・••点A(-1,0),点B(3,0),点D
(0,3)
图6
又•・•抛物线的对称轴为:直线x=l,
・••点D与点E对于PQ对称,GD=GE..........................②
分不将点A(-1,0)、点E(2,3)代入y=kx+b,得:
-k+b^0解得:k=l
2k+b=3b=l
过A、E两点的一次函数解析式为:y=x+l
,当x=0时,y=l・••点F坐标为(0,1)
/.\DF\=2..............................................................................(3)
又丁点F与点I对于X轴对称,
,点I坐标为(0,-1)
\EI\=y/DE2+DI2=722+42=2出.....④
又•••要使四边形DFHG的周长最小,因为DF是一个定
值,
,只要使DG+GH+HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③,可知,
DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有当EI为一条直线时,EG+GH+HI最小
设过E(2,3)、I(0,-1)两点的函数解析式为:
y=+w0),
分不将点E(2,3)、点I(0,—1)代入y=得:
12/伪=3解得:H=2
P\=-1也=-1
过A、E两点的一次函数解析式为:y=2x—1
当x=l时,y=l;当y=0时,x=g;
・••点G坐标为(1,1),点H坐标为(;,0)
,四边形DFHG的周长最小为:DF+DG+GH+HF=
DF+EI
由③和④,可知:
DF+EI=2+2V5
・•・四边形DFHG的周长最小为2+26。
(3)似图7,由题意可知,NNMD=NMDB,
要使,△DNMs^BMD,只要使A丝=处即
MDBD
可,
即:MD1=NMxBD.............................................................⑤
设点M的坐标为(a,0),由MN〃:BD,可得
△AMN^AABD,
・NMAM
再由(1)、(2)可知,AM=l+a,BD=3&,AB=4
.…AMxBD(l+a)x3030八、
••MN=-----------=---------=(1+a)
AB44
MD2=OD2+OM2=片+9,
,⑤式可写成:a2+9=—(l+a)x3V2
4
解得:或”3(不合题意,舍去)
,点M的坐标为弓,0)
又丁点T在抛物线>=-(尤-1)2+4图象上,
.•.当x=3时,y="
22
・••点T的坐标为G,丝).
22
例3,
解:(1)・.,点尸在AD上,.\AF2=a2+a2,
即AF=x/2ao
锦元数学工作室绘制
••DF-b-x/^ao
••SADBF=:DF.AB=;(b-/a).b=gb?-#ab°
(2)毗连DF,AF,由题意易知AF〃BD,
,四边形AFDB是梯形。
锦元数学工作室绘制
.二△DBF与△ABD等高同底,即BD为
两三角形的底。
由AF//BD,得到平行线间的间隔相等,即高相等,
•12
••SADBF=S'ABD=5b0
(3)正方形AEFG在绕A点扭转的环节中,F点的轨迹
是以点A为圆心,AF为半径的圆。
第一种状况:当b>2a时:存在最大值及最小值,
•••△BFD的边BD二夜b,
・••当F点到BD的间隔取得最大、最小值时,SABFD取得最
大、最小值。
似图,当DF1BD时,SABFD的最大值
二L岳.(也b+夜=
222
SABFD的最小值.(也b-扬)=^=^。
222
锦元数学工作室绘制第二种状况:当b=2a时,
存在最大值,不存在最小值,
S.BFD的最大值』修
例4,解:(1)由I+M),得至Ux二一2,A(—2,0)o
由3+1=3,得到x=4,.・.B(4,3)o
:y=ax?+bx-3经过A、B两点,
a=
:凌:告解得2
1
b=-----
2
设直线AB与y轴交于点E,
么E(0,1)o
••・依照勾股定理,得AE=—
•••Pc〃y轴,.,.ZACP=ZAEOo
/.sinZACP=sinZAEO=—=_L=275。
AE755
(2)①由(1)可知抛物线的解析式为y=|x2-1x-3o
由点P的横坐标为m9得P(m,^m29Cfm,^m+1
,PC二—m+l-[—m2--m-3I=-—m2+m+4o
2(22J2
在Rt^PCD中,PD=PCsin/ACP=Hm2+m+4)¥=-2m-lf+W,
,・•当<0,・,•当m=l时,PD有最大值W。
②存在知足前提的m值,或
例5,解:(1)将点A(4,0)和点(-2,6)的坐标代入产一+灰
中,得方程组产+但。,
4a-2b=6
_1
解之,得"=2.,抛物线的解析式为广42一2》.
b=-22
(2)毗连AC交0B于E.
•・•直线m切。C于AAAClm,二弦AB-AO,
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