初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

中考数学最值题目归纳

考查学问点：1，“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点

对于线对称”，“线段的平移”。

（2,代数统计最值题目3,二次函数中最值题目）

题目原型：饮马题目造桥选址题目（完好平方程式配方

求多项式取值二次函数极点）

出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、

圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点对于线的对称点实现“折”转“直”

几何根本模型：/

前提：似下左图，A、B是直线/同旁

的两个定点.

题目：在直线/上肯定一点P,使"+总的值最小.

方式：作点A对于直线/的对称点A,连结交/于

点P,那么=的值最小

例工，似图，四边形ABCD是正方形，4ABE是等边三

角形，M为对角线BD(不含B点)上随意任性一点，将

BM绕点B逆时针扭转60。得到BN,毗连EN、AM、CM.

(1)求证：^AMB会^ENB；

(2)①当M点在那边时，AM+CM的值最小；

②当M点在那边时，AM+BM+CM的值最小，同时讲明

出处；

(3)当AM+BM+CM的最小值为万+1时，求正方形的

边长。

例2,似图13,抛物线y=ax2+bx+

c(a^O)的极点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,

其中B点的坐标为(3,0)

(1)求抛物线的解析式

(2)似图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于

点F,其中E点的横坐标为2,如果直线PQ为抛物线的对

称轴，点G为PQ上一动点，那么x轴上是否存在一点

H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.如果存在,

求出那个最小值及G、H的坐标；如果不存在，请讲明出

处.

(3)似图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的

垂线，垂足为M,过点M作直线MN〃BD,交线段AD于点

N,毗连MD,使△DNMS/XBMD,如果存在，求出点T的坐

标；如果不存在，讲明出处.

例3,似图1,四边形AEFG与ABCD根基上正方形，它

们的边长分不为a,b(bN2a),且点F在AD上(以下题

目的结论可用a,b示意)

（1）求SADBF；

(2)把正方形AEFG绕点A逆时针方向扭转45。得图2,

求图2中的SADBF；

(3)把正方形AEFG绕点A扭转随意任性角度，在扭转

环节中，SADBF是否存在最大值，最小值？介入存在，试

求出最大值、最小值；介入不存在，请讲明出处。

例4,似图，在平面

直角坐标系中，直线y=gx+l与抛物线y=ax?+bx-3父于A,B两

点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线

AB下方的抛物线上一动点(不与A,B重合),过点P

作x轴的垂线交直线AB与点C,作PDLAB于点D

(1)求a,b及sin/ACP的值

(2)设点P的横坐标为m

①用含m的代数式示意线段PD的长，同时求出线

段PD长的最大值；

②毗连PB,线段PC把4PDB分成两个三角形，是否

存在合适的m值，使这两个三角形的面积之比为9：10?

如果存在，开门见山写出m值；如果不存在，讲明出处.

例5,似图，OC的内接△AOB中,

AB=A0=4,tanAOB——>抛物线、=加+云经过点A(4,0)与

4

点(-2,6).

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)直线m与。C相切于点A,交y于点D.动点P在线

段0B上，从点。出发向点B运动；同时动点Q在线

段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速率为

每秒1个单位长，点Q的速率为每秒2个单位长,

当PQ1AD时，求运动时候t的值；

(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当

△ROB面积最大时，求点R的坐标.

证明：（［）••・△ABE是等边三角形,

.\BA=BE,ZABE=60°.

VZMBN=60°,/.ZMBN-ZABN=ZABE-ZABN.即

ZMBA=ZNBE.

XVMB=NB,/.△AMB^AENB(SAS).(5分)

解:

D

--

Rc（2）①当M点落在BD的中点时,

A、M、C三点共线，AM+CM的值最小.（7分）

②似图，毗连CE,当M点位于BD与CE的交点处时,

AM+BM+CM的值最小.（9分）

出处似下：毗连MN,由（工）知，△AMBgZ\ENB,:.

AM=EN,

VZMBN=60°,MB=NB,••△BMN是等边三角

形.・・・BM=MN.

•••AM+BM+CM=EN+MN+CM.（10分）

依照”两点之间线段最短“，得EN+MN+CM=EC最短

・••当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值

最小，即等于EC的长.（工工分）

例2,解：（1）设所求抛物线的解析式为：广心-1）2+4,

依题意，将点B（3,0）代入，得：a（3-l）2+4=0解得：

a=—1.1所求抛物线的解析式为：y=_（x-1）?+4

（2）似图6,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F

与点I对于x轴对称,

在x轴上取一点H,毗连HF、HLHG、GD、GE,那

么HF=HI...........................①

设过A、E两点的一次函数解析式为：y=kx+b(kWO),

•・•点E在抛物线上且点E的横坐标为2,将x=2代入

抛物线丁=-(尤-1>+4,得

y=-(2-l)2+4=3

，点E坐标为(2,3)

又:抛物线y=-(1)2+4图象分不与x轴、y轴交于点A、B、

D

，当y=0时，-(X-I)2+4=O,.,.x=-1或

x=3

当x=0时，y=-1+4=3,

・••点A(-1,0),点B(3,0),点D

(0,3)

图6

又•・•抛物线的对称轴为：直线x=l,

・••点D与点E对于PQ对称，GD=GE..........................②

分不将点A(-1,0)、点E(2,3)代入y=kx+b,得：

-k+b^0解得：k=l

2k+b=3b=l

过A、E两点的一次函数解析式为：y=x+l

，当x=0时，y=l・••点F坐标为(0,1)

/.\DF\=2..............................................................................(3)

又丁点F与点I对于X轴对称，

，点I坐标为(0,-1)

\EI\=y/DE2+DI2=722+42=2出.....④

又•••要使四边形DFHG的周长最小，因为DF是一个定

值，

，只要使DG+GH+HI最小即可

由图形的对称性和①、②、③，可知,

DG+GH+HF=EG+GH+HI

只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小

设过E(2,3)、I(0,-1)两点的函数解析式为：

y=+w0),

分不将点E(2,3)、点I(0,—1)代入y=得：

12/伪=3解得：H=2

P\=-1也=-1

过A、E两点的一次函数解析式为：y=2x—1

当x=l时，y=l；当y=0时，x=g；

・••点G坐标为(1,1)，点H坐标为(；，0)

，四边形DFHG的周长最小为：DF+DG+GH+HF=

DF+EI

由③和④，可知:

DF+EI=2+2V5

・•・四边形DFHG的周长最小为2+26。

(3)似图7,由题意可知，NNMD=NMDB,

要使，△DNMs^BMD,只要使A丝=处即

MDBD

可，

即:MD1=NMxBD.............................................................⑤

设点M的坐标为(a,0),由MN〃:BD,可得

△AMN^AABD,

・NMAM

再由(1)、(2)可知，AM=l+a,BD=3&,AB=4

.…AMxBD(l+a)x3030八、

••MN=-----------=---------=(1+a)

AB44

MD2=OD2+OM2=片+9,

，⑤式可写成：a2+9=—(l+a)x3V2

4

解得：或”3(不合题意，舍去)

，点M的坐标为弓，0)

又丁点T在抛物线>=-(尤-1)2+4图象上,

.•.当x=3时，y="

22

・••点T的坐标为G,丝).

22

例3,

解:(1)・.,点尸在AD上,.\AF2=a2+a2,

即AF=x/2ao

锦元数学工作室绘制

••DF-b-x/^ao

••SADBF=:DF.AB=；(b-/a).b=gb?-#ab°

(2)毗连DF,AF,由题意易知AF〃BD,

，四边形AFDB是梯形。

锦元数学工作室绘制

.二△DBF与△ABD等高同底，即BD为

两三角形的底。

由AF//BD,得到平行线间的间隔相等，即高相等，

•12

••SADBF=S'ABD=5b0

（3）正方形AEFG在绕A点扭转的环节中，F点的轨迹

是以点A为圆心，AF为半径的圆。

第一种状况：当b>2a时:存在最大值及最小值，

•••△BFD的边BD二夜b,

・••当F点到BD的间隔取得最大、最小值时,SABFD取得最

大、最小值。

似图，当DF1BD时,SABFD的最大值

二L岳.（也b+夜=

222

SABFD的最小值.（也b-扬）=^=^。

222

锦元数学工作室绘制第二种状况：当b=2a时,

存在最大值，不存在最小值,

S.BFD的最大值』修

例4,解：（1）由I+M）,得至Ux二一2,A(—2,0)o

由3+1=3,得到x=4,.・.B(4,3)o

:y=ax?+bx-3经过A、B两点,

a=­

:凌:告解得2

1

b=-----

2

设直线AB与y轴交于点E,

么E(0,1)o

••・依照勾股定理，得AE=—

•••Pc〃y轴，.,.ZACP=ZAEOo

/.sinZACP=sinZAEO=—=_L=275。

AE755

（2）①由（1）可知抛物线的解析式为y=|x2-1x-3o

由点P的横坐标为m9得P(m,^m29Cfm,^m+1

,PC二—m+l-[—m2--m-3I=-—m2+m+4o

2(22J2

在Rt^PCD中，PD=PCsin/ACP=Hm2+m+4)¥=-2m-lf+W，

,・•当＜0,・,•当m=l时，PD有最大值W。

②存在知足前提的m值，或

例5,解：(1)将点A(4,0)和点(-2,6)的坐标代入产一+灰

中，得方程组产+但。，

4a-2b=6

_1

解之，得"=2.，抛物线的解析式为广42一2》.

b=-22

(2)毗连AC交0B于E.

•・•直线m切。C于AAAClm,二弦AB-AO,