人教版九年级数学上册23图形的旋转及中心对称

图形的旋转及中心对称

头@知识集结

知识元

十二？旋转图形的识别

辿知识讲解

旋转的概念

把一个图形绕着某一点A转动一个角度的图形变换叫做旋转.点A叫做旋转中心，转动的角叫

做旋转角（如NBAD）,如果图形上的点B经过旋转变为点D,那么这两个点叫做这个旋转的对

应点.

要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.

'例题精讲

旋转图形的识别

例1.

下列现象属于旋转的是（）.

A.摩托车在急刹车时向前滑动B.飞机起飞后冲向空中的过程

C.幸运大转盘转动的过程D.笔直的铁轨上飞驰而过的火车

【答案】C

【解析】

题干解析：

解：本题考查了旋转，判断旋转的方法是：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转

动一个角度.

A、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误；

B、飞机起飞后冲向空中的过程是平移，故此选项错误；

C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确；

D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误；故选：C.

例2.

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.下列

图案中，不能由一个图形通过旋转而构成的是（）.

【答案】C

【解析】

题干解析：

解：A、旋转90°后与原图重合；

B、旋转60°后与原图重合；

C、只有C是轴对称变换；

D、旋转72°后与原图重合.故选C.

例3.

下面生活中的实例，不是旋转的是（）

A.传送带传送货物B.螺旋桨的运动

C.风车风轮的运动D.自行车车轮的运动

【答案】A

【解析】

题干解析：

解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转.故选：A.

'旋转变换

避知识讲解

在解题的过程中，可看出如果选取的基本图形不同，可得到不同的形成过程，甚至所选取的基

本图形相同，也有不同的形成过程，因此分析图案的形成过程旨在了解图形的变化规律，而不

必强求分析的一致性.

例题精讲

旋转变换

例1.

在图中，将左边方格纸中的图形绕0点顺时针旋转90。得到的图形是（）

LTTL]

【答案】B

【解析】

题干解析：

解：根据旋转的性质可知，绕O点顺时针旋转90。得到的图形是:

例2.

如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180。后，再将翻折后的正方形绕它

的右下顶点按顺时针方向旋转90。，所得到的图形是（）

【答案】C

【解析】

题干解析：

解：首先根据轴对称的性质得出翻折后图形，再利用中心对称图形的概念得出即可.

以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180。后，圆在右上角，

再按顺时针方向旋转90。，圆在右下角.故选：A

例3.

直角坐标系中点A坐标为（5,3）,B坐标为（1,0）,将点A绕点B逆时针旋转90。得到点

C,则点C的坐标为.

【答案】

（-2,4）

【解析】

题干解析:根据题意画出图形，易证AADB三ABEC,求出CE、OE的长即可求出C

的坐标.解：如图所示，点A绕点B逆时针旋转90。到点C,：A坐标为（5,

3）,B坐标为（1,0）,以口=3,BD=4,.-.AB=5,根据旋转的性质，AB=BC,

vzABC=90°,.-.ZEBC+ZABD=9O°,VZDAB+ZABD=90°,.-.ZEBC=ZDAB.在

ZCEB=/BAD=90°

AEBC和ABAD中JZEBC=/DAB,

AB=BC

AAEBC=ABAD,・・CE=BD=4,BE=AD=3,VOB=1,

・・.OE=2,.・.C(-2,4).故答案为：(24).

'利用旋转的性质求角度

知识讲解

根据旋转的性质可知，旋转角都相等，所以在旋转角度的计算中要准确找出旋转角，然后运用

旋转的性质求解.

例题精讲

Co利用旋转的性质求角度

例1.

如图，在RTA4BC中，ZACB=9Q°,Af为2B边的中点，将绕点Af旋

转，使点力与点。重合得到△CED,连接若NB=25°,则等于

A.50。B,80°c.90°D,100°

【答案】B

【解析】

题干解析：

解：,-ZB=25°,ZACB=90°,.,ZA=65°.

•.•Af为SB边的中点，A£4=MC一•.乙4aVf=65°,

.-.ZAMC=180°-ZA-ZACM=50°,

ZAMD=2ZAMC=100°,ZBMD=180°-ZAMD=80°,故选B.

例2.

如图，AOAB绕点。逆时针旋转85。得到AOCD,若NA=110。，ZD=40°,则Na的度数是

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】C

【解析】

题干解析：

解：由题意可知：ZDOB=85°,

•••△DCO=ABAO,

.,.ZD=ZB=4O0,

.­.ZAOB=180°40°-110°=30°

••・4（1=85。-30。=55。,故选C

例3.

如图，已知钝角三角形ABC,将AABC绕点A按逆时针方向旋转110。得到△AB，C,连接

BB\若AC1IBB：则NCAB，的度数为（）

D.85°

【答案】C

【解析】

题干解析：

解：•.•将ZkABC绕点A按逆时针方向旋转110。得到AABC,

.•ZBAB'=NCAC=110。，AB=AB\

•••ZAB,B=-(180°-110°)=35°,

2

.•ZC'AB'=NAB'B=35°,

.•.NCAB'=NCAC"CAB'=110。一35。=75。.故选C.

例4.

如图，把AABC绕点C按顺时针方向旋转35。，得到AAB'C,AB交AC于点D.若

zA,DC=90°,则NA=.

【答案】

55°

【解析】

题干解析:解：••,把AABC绕点C按顺时针方向旋转35。，得到AABC,AB，交AC

于点D,ZA，DC=9O。，•••NACA-35。,则zA，=90°-35°=55°,则ZA=ZA，=55。.故答

案为：55°.

利用旋转的性质求边

知识讲解

利用旋转的性质可知，旋转前后的边的长度是不变的，因此在利用旋转计算线段长度时，会有

很多相等的边.

例题精讲

利用旋转的性质求边

例1.

如图，在RtAABC中，ZACB=9O°,将AABC绕顶点C逆时针旋转得到AAEC,M是BC的中

点，P是AB的中点，连接PM.若BC=2,NBAC=30。，则线段PM的最大值是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

题干解析：

解：如图连接PC.

在R3ABC中，•.•NA=30°,BC=2,.-.AB=4,

根据旋转不变性可知，AB=AB=4,••AP=PB，，.•.PC=LA，B，=2,

•.CM=BM=1,

XvPM<PC+CM,即PMW3,

・•.PM的最大值为3(此时P、C、M共线).故选B.

例2.

如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD,若DA1AB,AD=1,

BD=A/17,则BC的长为.

【答案】

17

【解析】

题干解析:如图，首先运用旋转变换的性质证明CD=CB（设为九）；运用勾股定理

求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于九的方程，求出入即可解决问

题.解：如图，由题意得CD=CB（设为九）；由勾股定理得：AB2=BD2-AD2,而

BD=炳，AD=1,.•.AB=4,AC=4-X；由勾股定理得：X2=l2+（4入）2,解得：

A=—17.故答案为1U7.

88

例3.

如图，ZkABC中，AB=AC=2,NBAC=45。，AAEF是由AABC绕点A按逆时针方向旋转得到

的，连接BE、CF相交于点D.

（1）求证：BE=CF；

（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长.

F

【答案】

(1)证明：：AAEF是由AABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，

.•.AE=AF=AB=AC=2,zEAF=zBAC=45°,.-.ZBAC+Z3=ZEAF+Z3,即

AB=AC

ZBAE=ZCAF,在AABE和AACF中=/，.-.AABESAACF,

AE=AF

••.BE=CF；(2)解：•••四边形ABDF为菱形，.・.DF=AF=2,DF||AB,

.•Z1=ZBAC=45。，.•.△ACF为等腰直角三角形，.•.CF=V^AF=26',.•.CD=CF-

DF=2V2-2.

【解析】

题干解析：（1）根据旋转的性质得AE=AF=AB=AC=2,zEAF=zBAC=45°,然后根

据“SAS”证明AABE三4ACF,于是根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根

据菱形的性质得DF=AF=2,DFHAB,再利用平行线的性质得乙1=ZBAC=45。，则可

判断AACF为等腰直角三角形，所以CF=V2AF=2近,然后计算CF-DF即可.

旋转的作图

避

知识讲解

旋转的作图：

在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向

旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.

作图的步骤:

(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心;

(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)；

(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

(4)连接所得到的各对应点.

例题精讲

旋转的作图

例L

如图，在10x10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位.将C向下平移4

个单位，得到再把绕点C'顺时针旋转90”，得到请你画

出和(不要求写画法).

【解析】

题干解析:解：利用平移与旋转的性质进行作图

例2.

如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0）,将正方形OABC绕点O

顺时针旋转45。，得到正方形OA，B，C,则点。的坐标为（）.

八%

C——

------------------►

OAx

A.（后，后）B.（-V2,忘）C.（0,-V2）D.（2应，20）

【答案】A

【解析】

题干解析：

先根据点A的坐标求出正方形的边长，再根据旋转可得点C，在第一象限的平分线上，然后求

解即可.

解：•••点A的坐标为（2,0）,

正方形OABC的边长为2,

,正方形OABC绕点O顺时针旋转45°,得到正方形OA，B，C,

•••点C，在第一象限的平分线上，

.•・点。的横坐标为2xV2,

2

纵坐标为为2x1=0,

2

•••点C，的坐标为（、/5,0）.故选A.

例3.

如图，在平面直角坐标系中，将AABO绕点A顺时针旋转到AABiCi的位置，点B、O分别落

在点Bi、Ci处，点Bi在x轴上，再将AABiCi绕点&顺时针旋转到AA1B1C2的位置，点C2在

x轴上，将AAiBiCz绕点C2顺时针旋转到AA2B2c2的位置，点A2在x轴上，依次进行下

A.5B.12C.10070D.10080

【答案】D

【解析】

题干解析：

B2016B2,

由图象可知点在第一象限，求出B4,B6的坐标，探究规律后即可解决问题.

解：由图象可知点B2016在第一象限，

5

•••OA=-,OB=4,ZAOB=90°,

3

...AB=yJOB'+OA2=产+(|)2=_,

.•.B2(10,4),B4(20,4),B6(30,4),

.­.B2016(10080,4).

・••点B2016纵坐标为10080.故选D.

中心对称与中心对称图形

避

知识讲解

1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这

两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于

中心的对称点.

要点诠释:

(1)有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同;

(2)位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180。能够与另一个图形重

合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的).

2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重

合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

要点诠释：

(1)中心对称图形指的是一个图形；

(2)线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.

3.中心对称与中心对称图形的区别与联系:

中心对称中心对称图形

区①指两个全等图形之间的相互位置关系.①指一个图形本身成中心对称.

别②对称中心不定.②对称中心是图形自身或内部的点.

如果将中心对称的两个图形看成一个整体如果把中心对称图形对称的部分看成

联

(一个图形)，那么这个图形就是中心对是两个图形，那么它们又关于中心对

系

称图形.称.

例题精讲

中心对称与中心对称图形

例1.

下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

【答案】D

【解析】

题干解析：

略

例2.

中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥，下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心

对称图形是（）

【答案】B

【解析】

题干解析：

本题考查中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找

对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重

八口•

例3.

下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）个.

①线段；②等边三角形；③矩形；④平行四边形；⑤五角星；⑥圆.

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】A

【解析】

题干解析：

根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各小题分析判断即可得解.

解：①线段，既是中心对称图形又是轴对称图形；

②等边三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形；

③矩形，既是中心对称图形又是轴对称图形；

④平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形；

⑤五角星，不是中心对称图形，是轴对称图形；

⑥圆，既是中心对称图形又是轴对称图形；

综上所述，既是中心对称图形又是轴对称图形的有①③⑥共3个.故选A.

例4.

下列图形中：①圆；②等腰三角形；③正方形；④正五边形，既是轴对称图形又是中心对称

图形的有个.

【答案】

2

【解析】

题干解析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.解：①既是轴对称图形又

是中心对称图形，符合题意；②是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题

意；③既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；④是轴对称图形，不是中

心对称图形，不符合题意；故既是轴对称图形又是中心对称图形的是①③共2

个.故答案为：2.

’中心对称作图

避知识讲解

确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法：

⑴利用中心对称的性质：对称点所连线段被对称中心所平分，所以连接任意一对对称点，取这

条线段的中点，则该点即为对称中心.

⑵利用中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，所以连接任意两对对称点，则这两

条线段的交点即为对称中心.

例题精讲

中心对称作图

例1.

如图，已知AABC与AABC成中心对称图形，求出它的对称中心O.

'B

【答案】

解：连接BB，，找BB，中点。或者连接BB，、CC,交点为对称中心0.如图所

示：

【解析】

题干解析:连接对应点BB，、CC,根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对

称中心。点.

例2.

如图，在AABC中，点D是AB边上的中点，已知AC=4,BC=6,

（1）画出ABCD关于点D的中心对称图形;

（2）根据图形说明线段CD长的取值范围.

【答案】

解：（1）所画图形如下所示:△ADE就是所作的图形.(2)

由(1)知：AADE2ABDC,(3)则CD=DE,AE=BC,.-.AE-AC<2CD<

AE+AC,即BCACV2CDVBC+AC,.-.2<2CD<10,解得：1<CDV5.

【解析】

题干解析：（1）根据中心对称图形的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即

可；（2）根据三角形的三边关系求解即可.

'坐标系中的中心对称

知识讲解

关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.

例题精讲

坐标系中的中心对称

例1.

如图，在平面直角坐标系中，若△430与A44G关于E点成中心对称，则对称中心E

点的坐标是（）.

A.。，一1）B.（°.°）C.（2，一1）D.（-1，3）

【答案】A

【解析】

题干解析：

解：连接刁4、CG,则交点就是对称中心后点.

观察图形知，£（3,一1）.故选A.

例2.

若点工（〃，2）与3（-3,m）关于原点对称,则”也等于（）.

A.-1B.-5C.1D.5

【答案】D

【解析】

题干解析：

解：•.•点力（〃，2）与5（-3,加）关于原点对称，

•.•n=3，m=-2，

.n-m=3-（-2）=5故选口.

例3.

p（e，2）o（ab}

点。在第二象限，点关于原点对称的点在（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

题干解析：

P（ac2,-）

解：•・•点a在第二象限，

<0,a,

.-.a<0,b<0,

...点Q（a»）在第三象限.

.•.点。（。，匕）关于原点对称的点（一。，一匕）在第一象限.故选A.

坐标与图形变化一旋转性质的应用

避知识讲解

坐标与图形变化：

对应点到对称轴的距离相等且对应点与旋转中心在一条直线上

例题精讲

匚二1坐标与图形变化一旋转性质的应用

例1.

如图，菱形Q4BC的顶点O在坐标原点，顶点工在X轴上，Z5=120°,04=2,将

菱形Q4BC绕原点顺时针旋转105°至。4'MC'的位置，则点3'的坐标为（）

A.（母，-及）B.（—五"，&■）C.（2，一2）口.（石，-6）

【答案】A

【解析】

题干解析：

解：连接OB',过点3'作RE'x轴于E,

根据题意得：ZBOB'=105°,

四边形Q4BC是菱形，

ZAOB=-ZAOC=-ZABC=-xl200=60°

,.QA=AB=2,222,

.•.△Q4B是等边三角形，

...03=04=2,

.,ZAOB'=/BOB'-ZAOB=105°-60°=45。，OB'=OB=2,

设OE=B，E=x,则根据勾股定理可得：

OE2+B'E2=OB'2,即/+*2=2?,

...x=&*,即OE=JI,

点9的坐标为：（3\一"）.故选A.

例2.

如图，在平面直角坐标系中，AAB'C由AABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为()

x

A.(0,1)B.(1,-1)

C.(0,-1)D.(1,0)

【答案】B

【解析】

题干解析：

连接AA，，CC,线段AA，、CC的垂直平分线的交点就是点P.

解：连接AA，、CC,如图所示:

作线段AA，的垂直平分线MN,作线段CC的垂直平分线EF,

直线MN和直线EF的交点为P,点P就是旋转中心.

丫直线MN为:x=l,设直线（?。为y=kx+b,

f_\k=-

由题意得：rk+b=Q,解得：3,

2左+6=1,1

Ib=一

[3

.♦•直线CC为y=-x+

33

••・直线EF1CC,经过CC中点（L1）,

22

直线EF为y=-3x+2,

X=]X——1

由4得：4,.-.p（1,4）.

y--3x+2

故选：B.

图案设计

避

知识讲解

熟练掌握旋转的概念与性质，主要有：根据旋转的概念与性质设计图案.

例题精讲

例1.

下面四个图案中，不能由基本图案旋转得到的是（）

【答案】D

【解析】

题干解析：

寻找基本图形，旋转中心，旋转角，旋转次数，逐一判断.

A、可由一个基本“花瓣”绕其中心经过7次旋转，每次旋转45°得到;

B、可由一个基本“菱形”绕其中心经过5次旋转，每次旋转6°°得到；

C、可由一个基本图形绕其中心旋转180°得到；

D、不能由基本图案旋转得到.故选

例2.

下列图案中，可以由一个“基本图形''连续旋转45。得到的是（）

OB.IC.*

【答案】D

【解析】

题干解析：

每个图形都是旋转对称图形，计算出最小的旋转角，即可作出判断.

A、至少旋转3,故选项错误;

”=72。

B、至少旋转5,故选项错误;

丝金。

C、至少旋转6,故选项错误;

*5。

D、至少旋转8，故选项正确.故选D.

当堂练习

单选题

练习1.

下列四个图形中哪些图中的一个矩形是由另一个矩形按顺时针方向旋转90。后所形成的？

练习2.

点口小'》在第二象限，点0（2）关于原点对称的点在（）,

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

练习3.

下列各图中，能由“基本图案”通过旋转变换得到的图形是（）

练习4.

如图，下列四个图形都可以分别看作是一个“基本图案”经过旋转所形成，则它们的旋转角相同

的图形为（）

A.(1)(2)B.(1)(4)c.(2)(3)D.(3)(4)

练习5.

如图，将图（1）中的正方形图案绕中心旋转180。后，得到的图案是（）

练习6.

如图，把八48。经过一定的变换得到△A'B'C',如果八480上点尸的坐标为

（“'丁），那么这个点在△Z'8'C'中的对应点P的坐标为（

)

A.(-工，v-2)B(-x,y+2)Q(-x+2,-v)D(-x+2,y+2)

练习7.

中国古代建筑中的窗格图案美观大方，寓意吉祥,下列绘出的图案中既是轴对称图形又是中心

对称图形是（

A.

练习8.

如图，