八年级数学上 幂的运算和整式乘法

-.教学内容：

事的运算和整式乘法

二.学习要点：

1.掌握基的三种运算，并能灵活运用其解决一些数学问题。

2.掌握进行整式乘法的方法。

三.知识讲解：

（一）幕的运算

1.同底数嘉的乘法

同底数幕相乘，底数不变，指数相加。

「nt*n^ni+n

a"（m、n为正整数）

推广：aaa=a（m、n、p为正整数）

2.幕的乘方

嘉的乘方底数不变，指数相乘。

—amn

V/-（m、n为正整数）

（/am\}n'=anmp

推广：P7（m、n、p为正整数）

3.积的乘方

积的乘方是把积中每一个因式分别乘方，然后把所得的嘉相乘。

（町‘（m为正整数）

b，n

推广：（曲C）'"=优,，,c"（m为正整数）

（二）整式的乘法

1.单项式与单项式相乘

单项式与单项式相乘，用它们系数的积作为积的系数，相同字母的幕相乘，对于只在一个

单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

2.单项式乘以多项式

单项式乘以多项式就用这个单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，如

m^a+b+c）=ma+mb+me

3.多项式乘以多项式

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的

积相加。

如.（«+Z?）（/n+n）=am+an+bm+bn

【典型例题】

例1.下列算式是否正确？如果错误指出原因，并加以改正。

⑴/"3=2"(2)x5+x5=X10

⑶"•CJ=”9(4)b•b2•b4=b(,

(5)lOxlO8=1018

分析：要判断以上各算式是否正确，主要是要搞清楚累的乘法与合并同类项的区别，而且

还要分清底数和指数。

33

解答：(1)错。错在将G混同于苏+。3,正确结果为

(2)错。将/+/混同于/•丁,正确结果为2/。

(3)错。同底数嘉相乘的法则运用错误，底数不变，指数相加，误为底数不变，指数相

乘，正确结果为。6。

(4)错。误认为b的指数为0,正确结果为小7。

(5)错。错在计算时把底数10与指数8相加，正确结果为10，

例2.计算：

⑴a3,a4,a'"

(2)3•(-4

⑶(一或一犷•(一4

(4)(a-bXb-a)2(a-b)3

⑸3x3•x9+x2,x'°-lx•xi•x8

⑹(a+by',(a+b)"2•(a+b)3+(a+by，+2•(a+b)"2

此例题中主要应用同底数塞相乘法则。

分析：(1)指数有常数有未知数，但方法是一致的。

(2)(一y)=V注意符号。

(3)第一项指数为1,相加时不要忘。

(4)底数是多项式，并且是互为相反数，可适当变形。

(5)(6)此两题都为混合运算，在计算时，要注意运算顺序和正确运用相应的计算法则，

并要正确区分同底数幕的乘法和整式的加减法的计算法则，在第(6)题的计算过程中要把

("+")看成一个整体计算。

解：⑴a3-a4•am=a3+4+m=a1+m

(2)〜㈠)，=-J?・/*=一/

⑶(W・(r)4=(-»+*=(-»=y8

(4)(a-bXb-a)2(a-b)3

二(Q-b)[a_/?)2(a-4

=(a-b)1+2+3

=("b)6

⑸原式=3x3+9+x2+,°—2X""8

=3X,2+X12-2X12

=2x'2

/7\//»-l+«-2+3/.\/H+2+n-2

(6)原式=("+")+(a+与

m+nm+n

=(a+b)+(a+b)

=2(a+h)"'+n

例3.已知22i=2'x26x2,且I。''•10、"=10”,求％+y的值。

分析：本题把同底数基相乘与解方程联系起来，利用“同底数基相等，幕指数也相等”列

方程，从而解决问题。

例4.计算：

⑴（打⑵（-行

⑶KT（4）（叫2

⑹［（x+y）『［（"y）T

35332324

（7）a•a+a•（-a）+（-a）+（-a）

分析：此例题主要练习舞的乘方法则。

（1）中直接运用球的乘方法则运算。

（2）（3）注意一人与（一%）勿混淆。

（4）指数可含字母。

（5）题可按不同的顺序进行计算，但要正确运用幕的乘方等性质。

（6）题，要把（”+＞）视为一个整体。

（7）要注意按照运算顺序逐级运算。

二3、43x4\2

a]=a=a

解：（1）

-%2\=-x2x7=-x14

(2)

[(-X)2]3=(X2)「=x2x3=X6

(3)

(4)

（5）解法1：

6]2]2

-a2一/『=a•a=々24

原式一

解法2：

2

-a6a6}2=a12•a'2a24

原式

(6)原式=(x+y)6(x+yr=a+»s

(7)原式=。8—。6—=2a8—2。6

例5.计算:

3

⑴Q班(a2an)2bnb

(2)

2

“J—2(m+n)3

(3)

a"5(a"+l.83”,-2)2_(优一方“_2)3.(牙,"+2)

⑷

分析：（1）此题主要应用积的乘方法则。

（2）题、（3）题，是同底数嘉的乘法，积的乘方和靠的乘方三个性质的交替运用，计算

时要分清运算顺序，可根据本题特点，灵活选择解题顺序。

（3）、（4）题要注意符号问题。

（4）题要注意合并同类项法则。

解：⑴Q孙2丫=23邛2）3=8壮6

»“3"

(a2aH)2^'=[a2+n)~bn+'

(2)

Q6/?+12〃3”+3

(3)氏+〃)11-2(加+〃)]

=33(/n+z?)~3(-2)"(m+

=27(/7?+H)6•4(m+〃)"

=108(m+n)12

⑷小51向•产-2)2_@T0吁2)3•1产+2)

a3n~3b6m~4+a3n~3b6m~4

例6.计算（一“）（。/°，〃为自然数）

分析：考虑到n是一个字母，它可以为偶数也可以为奇数，根据有理数的乘法法则，要对

n分为偶数和奇数的情况进行讨论，才能作出正确的计算。

解答：（1）当n为偶数时，（一"）”=（-1）"优=a"

（2）当n为奇数时，（一。）“=（T）"a"=一优

例7,计算：已知10'"=2,10"=3,求io3m+2n。

分析：这一道题直接计算较为复杂，根据其特点逆向运用幕的运算法则较为简便。

103m+2“=103m.=的”丫.付丫

用牛口：'/\/

=23x32=8x9=72

例8.计算：

⑴（-9八（一|）x（l+J

22OO32005

（2）8X4X（-O.25）

分析：（1）将指数3、6、3化为同指数3,然后逆用积的乘方性质。（2）将不同底数8、4、

-025化成相同的底数，然后重新组合逆用积的乘方性质。

解答：（1）

43

XX

--

=(-6)3=9-2126

②82X42003X(^0.25)20°5

2005

=(23『x42003X

2005

4x4x

4x(-1)2005

4x(-1)=-4

例9.已知"=3",0=4",c=5",试比较a、b、c的大小。

分析：比较a、b、c直接计算太繁，a、b、c又不同底，经观察我们可以从a、b、c的指

数变形入手。累的大小比较（底数、指数都为正整数）常通过1化不同底为同底，或化不同指

数为相同指数两种方法进行。

a=355=35X"=(35)"=243"

解答:

0=4"=44X11=(44)"=256"

C=533=53*U=(53)"=125”

V125<243<256,：.c<a<b

例10.求N=2"x58是几位正整数。

分析：题中N值较大，直接求解很困难，所以应考虑运用累的有关性质先化简，写成科

学记数法的形式，即可确定N的位数。

解答：V212x58=24x28x58=24x(2x5)8=16xlO8=1.6xl09

'N=2/x58是一个io位正整数

例11.已知2x+5y-3=0,求4*・32＞的值。

分析：已知条件是2x与5y的关系，而所求代数式的指数是x及y,故要求'32'的

值，需将它的指数转化为（2尤+5力的形式，这根据哥的运算性质即可得。

解答.***2x+5y-3=0,/.2x4-5y=3

：.4X•32'=Q2）*•（25）y=22r«25y=22x+5y=2?=8

例12.下列计算中错误的是（）

A-5m•（-IO///4）2=-500w9

B-3x'n+n•（4x'n-n）=-12x2m

C3a°。7c2-2/可_9a203c『=7594607c2

D（-1.25xIO®）x（TxQ）x（3x109）=-1.5xIO23

分析：从单项式乘以单项式的法则及运算的步骤来判断以上的运算是否正确。

解答：D

例例当'一片时,求代数式乂丁-6y+9）-y（y2-8y-15）+2y（3-y）的值。

分析：先化简，合并同类项，再求值，使得在求值时代数式达到最简化。

解答.y{y2一6y+9）-y^y2-8y-15）+2y（3-y）

=y3-6y2+9y-y3+Sy2+15y+6y-2y2

=30y

」=30x］」）=—5

当.6时，原式I67

/+衣+@（%2_3%+2）中不含/和一项，求b的值。

例14.已知

3232

分析：不含方、X项就是说按多项式乘法法则展开，再合并同类项后，式子中广、X项

32

的系数为0,故本题可先将多项式按多项式乘法法则展开，合并同类项，然后令工、厂项的

系数为0,得到关于a、b的方程组，从而通过解方程组求出a、b的值。

x+ux+Z7)(x~-3x+2)

解答:

=x4-3x3+2x2+ax3-3ax2+2ax+bx2-3bx+2h

=/+g_3)/+(2_3〃+力了+QQ_3b)x+2b

a—3=0

<

根据题意得：[2-3a+b=0

a=3

<

解得：l"=7

例15.设a+Z?+c=abc,试证明：

a[\—b2)(]一c?)+力(1_42)(]一c?)+电一42)(]_〃)=4abe

分析：解答证明题时，先观察等式，看等式的左、右两边哪一边形式复杂，就从哪一边开

始朝另一边证明。本题显然应从等式的左边开始计算。

解答：

,.,a(l-/72)(l-c2)+Z?(l-«2)(l-c2)+c(l-a2)(l-/?2)

=a(l-c2-b1+b2c2^+b(l-c2-a2+a2c2)+c(l-a2-b2+a2Z72)

=a—CLC~-cib~+cib~c~+b—bc~-ci~b+ci~bc~+c—ci~c—be+ci~b~c

=a+b+c-ac2-ab2+bc(a+b+c)-a2b-be2+ac(a+b+c)-a2c-

b2c+ab[a+b+c)

-a+b+c-ac2-ab2+abc+b2c+bc2-a2b-be2+a2c+abc+ac~-

a'c—b'c+a'b+ab2+ahc

—4abe

a(l-/J?)(1—c?)+Z?0—〃)(1—c?)+《1-/)(1_/?2)=4abe

【模拟试题】（答题时间：70分钟）

选择题。

1.下列等式正确的是（）

A5a2・7as=35a5B.5a5+7a5=35a5

21

（-3*.（一30=9/-an—am=-anni

cD.452

计算（一孙的结果是（

2.X,J*)

A.xR。B.x'y

C.WD.x6y

f-"-a2y^•（10a2y2）

3.k107的计算结果为（）

----48y5

A.100-B.

185

—a8/---ay

C.100-D.10

4计算（OS*】。户Qi叫2的结果是（）

A.2xl013B.0.5xlO14

C.8xl021D.2x1021

5.下面计算中，错误的是（）

-4a（2a2+%-1）=-Sa3-12/+4。

A.

B.

一

7）4/1+1）=72/+9-3/

C.

2a2-"

•（-9a）=-l&J+6CJ+4。

D.39

6,计算2m~~机Qm-5n）-n（5m-〃）的结果是（）

A.-n2B.n2

C.-10m/?+7i2D.10m/i+n2

3m+6（4m2--—\-4

7.计算I237的结果是（）

A.24m2-4B.24m?+6m+4

C.24M+6mD.24m2

8.计算（一3孙2）,（2/fz+1）的结果是（）

A-3xy4+3x2y3+3Ay2

B-6xy4-k3x2y3z-3xy2

Q—6xy4—y^z—3xy~

D-6孙4+3元2y

9适合2》a一1）一》（2》-5）=12的*的值为（）

A.2B.1C.4D.0

10.一个二项式与一个三项式相乘，在合并同类项之前，积的项数是（）

A.二项B.三项

C.五项D.六项

11.下列计算，结果错误的是（）

A（〃+h）（x+y）=QX+ay++by

B（a-Z?Xx-y）=cix-ay+bx-by

C（a-b\xy）=axay-bx-by

D（a+Z?）（x-y）=ax-ay+bx-by

12.计算I2八3/得（）

5151

X2d--X---X2---X---

A.66B.66

1111

X2H--X---X2d--XH—

C.66D.66

13.计算'一（"+1）（”一5）的结果是（）

A.-4x_5B.4x+5

c.X2-4x+5D.X1+4x-5

14.当x=2时,代数式（冗+12）（/_2）+（%+7）卜+8）_（%+5）（%-10）的值是（）

A.146B.145C.144D.143

15若（x+叼与'5,的积不含有*的一次项，则m的值为（）

A.5B,5C.5D.-5

二.填空题。

16.计算：（一7/力（74+4力=。

y2一；孙_1

-3x3

17.计算：

18.方程6x（7-x）=36—2x（3x-15）的解是。

19.已知梯形的上底长为（a+2b）,下底长为（2。+3力），高为S+匕），则梯形的面积为

___________O

20.一个正方形的边长增加了3cm,它的面积就增加39c机2,则这个正方形的边长是

三.解答题。

21.计算：

(1)5/y3.(-3x2y)

(4)(-2-)2•(-3孙2)3

⑸•(ab)•(-lab)

22

(6)5/y•(-3y)+(-xy)•(-6xy)

⑺(一1・(_4*+0

一(Q+6)”•(a-b)4•—(Q+b)4(a-b)s

(8)8'9

22.计算：

(1)(-4y)-(2/+3y-l)

仁孙2_2xy].xy

(2)13)2

(3)(—2ab”•(3a?b-2ab-4t>3)

3町6xy-9缶

(4)L'3yJ

-2a2.{—ab+b2\-5a(a'b-ab2^

(5)12)

23.计算：

⑴(y+4，y-5)

(2)(5m+2)(4〃2_3)

24.先化简，再求值：

(1)4.7+1)+2(2/—1)+4(心)其中.1。

⑵(3x+l)(2x-3)-(6x-5)(x-4),其中％=_2。

25.小明家果园里有一块长方形的橘子林，横向栽了5x棵，纵向栽了8x棵，请你计算一下,

小明家一共有橘子树多少棵？

26.有一种打印纸长acm、宽bcm,打印某文档时设置的上下边距均为2.5cm,左右边距

均为2.8cm,那么一张这样的打印纸的实际打印面积是多大？