2023年北京市海淀区初三数学一模试卷及答案

海淀区九年级其次学期期中练习

数学2023.5

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1.-2的相反数是

A.--B.-C.-2D.2

22

2.据报道，北京市今年开工及建设启动的8条轨道交通线路,总投资约82000000000元.

将82000000000用科学计数法表示为

A.0.82x10"B.8.2xlO10C.8.2xlO9D.82xl09

3.在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形态都相同的可能是

4.一个布袋中有1个红球，3个黄球，4个蓝球，它们除颜色外完全相同.从袋中随机取出一个球，取到

黄球的概率是

5.用配方法把代数式d-4x+5变形，所得结果是

A.(x-2)2+lB.(X-2)2-9

C.(X+2)2-1D.(X+2)2-5

6.如图，CJABCD中，AB=10,BC=6,E、/分别是A。、DC

的中点，若EF=7,则四边形E4CF的周长是

A.20B.22C.29D.31

7.有20名同学参与“英语拼词”竞赛，他们的成果各不相同，按成果取前10名参与复赛.若小新知道了

自己的成果，则由其他19名同学的成果得到的下列统计量中，可推断小新能否进入复赛的是

ABCD

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

1

9.若分式口有意义'则X的取值范围是

10.分解因式：nvC-6mx+9m=.

11.如图，CD是。。的直径，弦于点H,若ND=30。,

CH=lcm,则AB=cm.

12.如图，矩形纸片ABCD中，43=6,BC=>/i6.第一次将纸片折叠,

如交于点。尸设的中点为其次次将纸片折叠使

点B与点。重合，折痕与比)交于点Q；设。2。的中点

为2，第三次将纸片折叠使点3与点&重合，折痕与

交于点。3,….按上述方法折叠，第〃次折叠后的折痕与

BD交于'点、0“，则8。=,B0„=.

AD

三'解答题(本题共30分，每小题5分)

13.计算：>/8-(73-1)°+(-)-2-4sin45°.

4x-8<0,

14.解不等式组：x+i

15.如图，点C、D在线段AB上，E、尸在48同侧，

OE与CF相交于点。，且AC=BO,CO=DO,NA=NB.

求证：AE=BF.

o

16.已知m是方程始—工一2=0的一个实数根,求代数式(病一加)(〃?--F1)的值.

tn

17.如图，一次函数旷="+6与反比例函数y='的图象交于A(2,1),B(-1,n)两点.

X

(1)求上和6的值；

(2)结合图象干脆写出不等式质+人-丝＞0的解集.

X

18.列方程或方程组解应用题：

“五一”节日期间，某超市进行积分兑换活动，详细兑

积分兑换礼品表

换方法见右表.爸爸拿出自己的积分卡，对小华说：“这里

兑换礼品积分

积有8200分，你去给咱家兑换礼品吧”.小华兑换了两种

电茶壶一个7000分

礼品，共10件，还剩下了200分，请问她兑换了哪两种

保温杯一个2000分

礼品，各多少件？

牙膏一支500分

四、解答题(本题共20分，每小题5分)

19.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,ZB=60°,ZA£>C=105°,AD=6,S.AC1AB,求AB的长.

20.如图，AB为。。的直径，AB=4,点C在。O上，CF1OC,jaCF=BF.

(1)证明8尸是。。的切线；

(2)设AC与8尸的延长线交于点M,若MC=6,求/MCF的大小.

21.为了解学生的课余生活状况，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查.问卷中请学生选

择最喜爱的课余生活种类(每人只选一类)，选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类，调查后

将数据绘制成扇形统计图和条形统计图(如图所示).

(1)请依据所给的扇形图和条形图，填写出扇形图中缺失的数据，并把条形图补充完整；

(2)在问卷调查中，小丁和小李分别选择了音乐类和美术类，校学生会要从选择音乐类和美术类的学

生中分别抽取一名学生参与活动，用列表或画树状图的方法求小丁和小李恰好都被选中的概率；

(3)假如该学校有500名学生，请你估计该学校中最喜爱体育运动的学生约有多少名？

扇形统计图条形统计图

22.如图1,已知等边△ABC的边长为1,。、E、尸分别是AB、BC、4c边上的点（均不与点4、B、C

重合），记△OE尸的周长为p.

（1）若。、E、尸分别是AB、BC、4c边上的中点，贝Up=;

（2）若。、E、F分别是AB、BC、AC边上随意点，则p的取值范围是.

小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了探讨，小亮先提出了自己的想法：将AABC以AC边

为轴翻折一次得△A8C，再将△ABC以AC为轴翻折一次得△AB。，如图2所示.则由轴对称的

性质可知，DF+FEi+ER=p,依据两点之间线段最短，可得p2.老师听了后说：“你的想法

很好，但DD2的长度会因点D的位置改变而改变，所以还得不出我们想要的结果小明接过老师的话

说：“那我们接着再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案.

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23.已知关于x的方程X?-Q"-3)x+〃?-4=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根大于4且小于8,求〃?的取值范围；

（3）设抛物线＞=/一（加一3»+机-4与卜轴交于点加，若抛物线与x轴的一个交点关于直线）=—x的

对称点恰好是点M,求"?的值.

01X

（备图）

24.已知平面直角坐标系xQy中，抛物线卜=奴2一(”+1)工与直线y=H的一个公共点为A(4,8).

(1)求此抛物线和直线的解析式；

(2)若点P在线段0A上，过点P作y轴的平行线交(1)中抛物线于点Q,求线段PQ长度的最大值;

(3)记(1)中抛物线的顶点为点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标

及梯形AOMN的面积.

(备图1)(备图2)

25.在RtZ^ABC中，N4CB=90。，tan/B4c=L点。在边4c上(不与4,C重合)，连结BD,F为BD

2

中点.

(1)若过点。作。于E,连结CF、EF、CE,如图1.设CF=kEF,则％=；

(2)若将图1中的△AOE绕点4旋转，使得。、E、8三点共线，点尸仍为BZ)中点，如图2所示.

求证：BE-DE=2CF；

(3)若BC=6,点。在边AC的三等分点处，将线段绕点4旋转，点尸始终为中点，求线段

C尸长度的最大值.

图1图2备图

海淀区九年级其次学期期中练习

数学

参考答案及评分标准2023.5

说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

题号12345678

答案DBCBACCA

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

题号9101112

23'i

答案xw4m(x-3)273222«-3

注：第12题答对一个给2分，答对两个给4分

三'解答题（本题共30分，每小题5分）

13.解：原式=2五-1+4-2a..............................................4分

=3...............................................5分

14.解：解不等式4x—8<0,得x<2,..............................................2分

解不等式*Li〈二，得2X+2-6<3X,

32

EPx>-4,..............................................4分

所以，这个不等式组的解集是Tvxv2...................................................5分

15.证明：在△COQ中，

•ICO=DO,

：.ZODC=ZOCD...............................................1分

,:AC=BD,

・・・AD=BC...............................................2分

在和△BC/中，

‘ZA=ZB,

・・・1AD=BC,

NEDA=NFCB,

：./\ADE^/\BCF...............................................4分

/.AE=BF...............................................5分

16.解：・・・〃z是方程V-x-2=0的一个根,

*.加2—"7-2=0.

〃子一m=2,—2=m...............................................2分

原式=(m2-AH)(———-+1)..............................................3分

m

=2x(-+l)..............................................4分

m

=2x2=4...............................................5分

17.解：(1)•/反比例函数y='的图象过点A(2,1),

X

:.m=2...............................................1分

・・,点B(-1,〃)在反比例函数y=±的图象上，

x

/.n=-2.

・••点8的坐标为(-1,-2)...............................................2分

直线y=Ax+b过点A(2,1),B(-1,-2),

2攵+。=1,

-k+b=-2.

攵=1,

解得3分

b=-l.

(2)—l<x<0或x>2.（写对1个给1分）5分

18.解:因为积分卡中只有8200分，要兑换10件礼品,所以不能选择兑换电茶壶.

设小华兑换了x个保温杯和y支牙膏,1分

x+y=10,

依题意，得3分

2000x4-500y=8200-200.

x=2,

解得4分

y=8.

答:小华兑换了2个保温杯和8支牙膏.5分

四、解答题(本题共20分，每小题5分)

19.解：过点。作DELLAC于点则N4EO=NDEC=90。..........................1分

•・・AC.LAB,Ap

：.ZBAC=90°.7\

7"。,/\

，ZACB=30°./\

•・,AD//BC,-----------------------

JZDAC=ZACB=30°..........................2分

・・・在RtZVLDE中，DE=-AD=3,AE=>jAD2-DE2=3^,ZADE=60°.........3分

2

ZADC=105°,

JZEDC=45°.

J在RtACDE中，CE=DE=3....................................................................4分

AC=AE+C£：=36+3.

：.在RtZSABC中，AB=ACtanNAC3=(3月+3)xJ=3+百...........................................5分

3

20.证明：连接OF.

(1),:CF上OC,

JZFCO=90°.

■:OC=OB,

：.NBCO=/CBO.

,/FC二FB,

：./FCB=/FBC.

分

・・・ZBCO+ZFCB=ZCBO+ZFBC.

即ZFBO=ZFCO=90°.

：.OBLBF.

。8是。。的半径，

・•・8/是。。的切线............................................2

分

(2)ZFBO=ZFCO=90°,

：.ZMCF+ZACO=90°,ZM+ZA=90°.

,:OA=OC,

：.ZACO=ZA.

：./FCM=/M...........................................................3

分

易证△ACHs/vi3M

.ACAB

••

AB=4,MC=6,

：.AC=2..............................................................................4

分

AM=8,BM=」AM?-AB2=46.

・八，二"A/BM>/3

..cosZMCF=cosM=------=——.

AM2

：.ZMCF=30°.5

分

21.(1)

..............................................2分

（2）易知选择音乐类的有4人，选择美术类的有3人.记选择音乐类的4人分别是A，4,A,小丁；选择

美术类的3人分别是综氏小李.可画出树状图如下:

小丁

/1\

B2小李B,B2小李BI8,小李B2小李

由树状图可知共有12中选取方法，小丁和小李都被选中的状况仅有1种，所以小丁和小李恰好都

被选中的概率是..............................................4

12

分

或列表:

4A&小丁

4A，B]4，4，B,小丁，

A,B

约24，鸟4,B2小丁，B2

小李A，小李A2,小李小李小丁，小李

由表可知共有12中选取方法，小丁和小李都被选中的状况仅有1种，所以小丁和小李恰好都被选

中的概率是..............................................4

12

分

（3）由（1）可知问卷中最喜爱体育运动的的学生占40%,得

500x40%=200

所以该年级中最喜爱体育运动的学生约有200名..................................5分

22.解：（1）p=..............................................2

分

3

(2)产”3................................................5

分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23.证明：（1）A=〃-4ac=（m-3）2-4（，"-4）=m2-10/M+25=（7M-5）2,o,

所以方程总有两个实数根...............................................2

分

解：（2）由（1）△=（"?-5）2,依据求根公式可知，

即：玉=1,x2=-4,

由题意，有4＜加一4＜8,即8＜巾＜12................................................5分

（3）易知，抛物线y=x2-（〃?-3）x+〃?-4与y轴交点为M（0,〃?-4），由（2）可知抛物线与x轴的

交点为（1,0）和（m-4,0）,它们关于直线y=—x的对称点分别为（0,—1）和（0,4—相），

由题意，可得：

-1=/n-4或4—〃z=〃z-4,即加=3或祖=4..............................7分

24.解：（1）由题意，可得8=16“一4（a+l）及8=4%,解得a=l,Z=2,

所以，抛物线的解析式为y=/-2x,直线的解析式为y=2x..................2分

（2）设点P的坐标为（f,2f）（0WrW4）,可得点。的坐标为Q--2f）,则

PQ=2f-（/-2。=4/一/=-（-2）2+4

所以，当f=2时，PQ的长度取得最大值为4.........................4分

（3）易知点例的坐标为（1,-1）.过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N,如图所示，四边形AOMN

为梯形,直线MN可看成是由直线OA向下平移6个单位得到，所以直线MN的方程为y=2x-0.因

为点M在直线y=2x-b上，解得。=3,即直线MN的方程为y=2x-3,将其代入y=x?-2x,可得

2x-3=x2-lx

明显四边形MAWG是平行四边形.可得点G(1,2),H(3,6).

113

S^OMG=-X(1-0)XMG=-X[2-(-\)]=-

113

S△加=钎(4-3)XAW=5X(6-3)=5

=(3—1)XNH=2X3=6

所以，梯形AOMN的面积S梯形0AMN=S&OMG+SAMNHG+S^ANH=9.................................7分

25.解：(1)k=\；....................................................................................2分

(2)如图2,过点C作CE的垂线交8。于点G,设8。与AC的交点为Q.

由题意，tanNBAC二L

2

.BCDE\

**AC-AE_2,