人教A版（2019）选修第二册 变化率问题（含解析）

人教A版(2019)选修第二册5.L1变化率问题

(共19题)

一、选择题(共12题)

1.已知函数y=/(%),当自变量％由％°改变到xo+kzlx(k为常数)时，函数值的改变量Jy

为()

A./(x04-kAx)B./(x0)4-kAx

C./(&)•kAxD./(x0+kAx)—/(x0)

2.已知函数y=/(x)在x=x处的导数为1，则lim()

02Ax

A.0B-IC.1D.2

3.若函数f(x)的导函数在区间［a,b］上是增函数,则函数/(x)在区间［a,b］上的图象可能是

4.函数/(x)=2%在区间［&,Xo+/x］上的平均变化率为()

A.xa+AxB.1+AxC.2+AxD.2

2

5.函数/(x)=x在区间［x0,x0+Ax］上的平均变化率为在［々-4/与］上的平均变化率为

k2,则fci与k2的大小关系是()

A.七>k2B.匕<k2C.ki=k2D.无法确定

6.若函数y=f(x)=ax+b在区间［1,2］上的平均变化率为3,则a=()

A.-3B.2C.3D.-2

2

7.函数/(x)=x在x0到x0+Ax之间的平均变化率为心,在右一到与之间的平均变化

率为k2,则fci，的的大小关系是()

A.<k2B.k]>k2C.ki=k2D.无法确定

8.一物体做直线运动，其位移5(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s=5t—则该物体

在t=3s时的瞬时速度是()

A.-1m/sB.1m/sc.2m/sD.6m/s

9.y=M在％=1处的导数为()

A.2xB.2c.2+4%D.1

10.设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则lim"i+3-f⑴=()

z3x->03Ax

21i

A.B.6c.D.

332

11.己知/1(1)=1.limf(i+33-f⑴等于()

AX

1

A.1B.-1c.3D.

3

12.已知函数y=2/的图象上的点P(l,2)及邻近点Q(14-Ax,2+Ay),则w的值为()

Ax

A.4B.4xc.4+2(4x)2D.4+221%

二、填空题(共4题)

13.一棵树2021年1月1日高度为4.5m,2022年1月1日高度为4.98m,则这棵树2021

年高度的月平均变化率是—.

14.物体做匀速直线运动，其运动方程是s=vt，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬

时速度的关系是—.

15.已知曲线y=x2-l上两点4(2,3),B(2+Ax,3+Ay),当Zlx=1时，割线AB的斜率

是；当4尤=0.1时，割线AB的斜率是.

16.若质子的运动方程为s=tsint,其中s的单位为m,t的单位为s,则质子在t=2s时的瞬

时速度为_m/s.

三、解答题(共3题)

17.已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=：,过两条曲线的交点作两条曲线的切线，求两切线与x

轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率，否则只得结论分)

18.已知曲线C:y=x3.

⑴求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程，并判断该切线与曲线C是否还有其他的公

共点，若有，求出公共点；

(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程.

19.已知直线h为曲线y=/+x-2在点(1,0)处的切线，12为该曲线的另一条切线，且lrll2.

(1)求直线12的方程；

(2)求由直线12和x轴围成的三角形的面积.

答案

一、选择题（共12题）

1.【答案】D

【解析】Ay=/（x0+kAx）-/（x0）.

2.【答案】B

3.【答案】A

【解析】函数/（%）的导数/,（x）在［a/］上是增函数，由导数的几何意义可知，曲线/（%）在

区间［a,切上各点处切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合.

4.【答案】D

【解析】由题意，可得平均变化率为—理匕=2（X°+4X）-2X。=2.

AxAx

5.【答案】A

【解析】由题意结合函数的解析式可得，

k_f（Xo+4*）-f（Xo）_（而+4炉一片=2久+4久，

k--（-。）-/（q5）_幡-（与-泡2=2_A

2~Ax_4%-0，

则的一上2=24%，容易判断Ax大于零，所以>fc2-

6.【答案】C

【解析】根据平均变化率的定义，可知?=（2。+：）-'+〃）=a=3.

Ax2-1

7.【答案】D

【解析】因为后=—：）-"、。）=2x0+Ax,k2=f（x。）/x/x）=2Ax>

1

XQ+AX-XQU,XO-（XO-AX）u

又Ax可正可负且不为零，

所以kl,k2的大小关系不确定.

故选D.

8.【答案】A

【解析】因为然5(t+M(t+dA(5t-t2)=5_2t-戊,

At

所以该物体在"3s时的瞬时速度为limg=-1m/s.

9.【答案】B

【解析】因为fM=x2,x=l,

所以Ay=/(I+Ax')2—/(l)=(1+Ax')2—1=2-+(4x)2,

所以”=2+4x,

Ax

当4%t0时，—2,

Ax

所以r(i)=2.

10.【答案】A

【解析】根据导数定义，

Hm仆次一/⑴

Ax->02Ax

=三lim△…一f⑴

3AX

=-X2

3

2

=—

3,

11.【答案】c

12.【答案】D

【解析】•=2(I+4X)2-2X12=4+2/x.

AxAx

二、填空题(共4题)

13.【答案】0.04

【解析】若竺=0.04.

12

14.【答案】相等

【解析】物体做匀速运动，所以任何时刻的瞬时速度都是一样的.

15.【答案】5；4.1

16.【答案】sin2+2cos2

【解析】因为s'=(tsint)'=sint+tcost,

所以所求瞬时速度为(sin2+2cos2)m/s.

三、解答题(共3题)

17.【答案】由仁［得｛＞；：

故两条曲线的交点j标为(1,1),两条曲线切线的斜率分别为

(⑴=limf⑷+"-f⑴=(”x+i)2T=Um(Ax+2)

lim2,

4XTO444x->04%4x->0

，⑴=Hmg('+i)-g(i)=Hm^±±Zi=Hm)=-1.

uAx-^OAxAx-^QAx-^Q\21X+1/

所以两条切线的方程分别为y-l=2(x-l),y-l=-(x-1),

即y=2x-l与y=-x+2,两条切线与x轴的交点坐标分别为(1,0),(2,0),

所以两切线与x轴围成的三角形的面积为|xlx|2-i|=^.

21214

18.【答案】

(1)将x=1代入曲线C的方程得y=l,

所以切点为P(l,l).

y'lx=ilim—

4x-0

(l+dX)3-l

lim

Ax

=lim[3+3Ax+(Ax)2]

4x->0

=3,

所以k=y'\X=1=3.

所以曲线在点P(l,l)处的切线方程为y-l=3(x-l),即3x-y-2=0.

y=3x—2,解得上;或修：二;:

由

y=x3,

因此切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(-2,-8).

2

(2)设切点为由(1)可知y'\x=Xo=3x0,则切线方程为y-x1=3x^(x-x0),

因为点(1,1)在该切线上，将(1,1)代入，整理得2焉—3亚+1=0,解得％0=1或々=一/

①当与=1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x-y—2=0.

②当x0=时，切点坐标为(一；，一；)，相应的切线方程为、+；=；(》+；)，即3x-4y+

2.\2.8/o4-\2/

1=0.

19.【答案】

(1)因为V11=Hm