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文档简介
人教A版(2019)选修第二册5.L1变化率问题
(共19题)
一、选择题(共12题)
1.已知函数y=/(%),当自变量%由%°改变到xo+kzlx(k为常数)时,函数值的改变量Jy
为()
A./(x04-kAx)B./(x0)4-kAx
C./(&)•kAxD./(x0+kAx)—/(x0)
2.已知函数y=/(x)在x=x处的导数为1,则lim()
02Ax
A.0B-IC.1D.2
3.若函数f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数/(x)在区间[a,b]上的图象可能是
4.函数/(x)=2%在区间[&,Xo+/x]上的平均变化率为()
A.xa+AxB.1+AxC.2+AxD.2
2
5.函数/(x)=x在区间[x0,x0+Ax]上的平均变化率为在[々-4/与]上的平均变化率为
k2,则fci与k2的大小关系是()
A.七>k2B.匕<k2C.ki=k2D.无法确定
6.若函数y=f(x)=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a=()
A.-3B.2C.3D.-2
2
7.函数/(x)=x在x0到x0+Ax之间的平均变化率为心,在右一到与之间的平均变化
率为k2,则fci,的的大小关系是()
A.<k2B.k]>k2C.ki=k2D.无法确定
8.一物体做直线运动,其位移5(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s=5t—则该物体
在t=3s时的瞬时速度是()
A.-1m/sB.1m/sc.2m/sD.6m/s
9.y=M在%=1处的导数为()
A.2xB.2c.2+4%D.1
10.设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则lim"i+3-f⑴=()
z3x->03Ax
21i
A.B.6c.D.
332
11.己知/1(1)=1.limf(i+33-f⑴等于()
AX
1
A.1B.-1c.3D.
3
12.已知函数y=2/的图象上的点P(l,2)及邻近点Q(14-Ax,2+Ay),则w的值为()
Ax
A.4B.4xc.4+2(4x)2D.4+221%
二、填空题(共4题)
13.一棵树2021年1月1日高度为4.5m,2022年1月1日高度为4.98m,则这棵树2021
年高度的月平均变化率是—.
14.物体做匀速直线运动,其运动方程是s=vt,则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬
时速度的关系是—.
15.已知曲线y=x2-l上两点4(2,3),B(2+Ax,3+Ay),当Zlx=1时,割线AB的斜率
是;当4尤=0.1时,割线AB的斜率是.
16.若质子的运动方程为s=tsint,其中s的单位为m,t的单位为s,则质子在t=2s时的瞬
时速度为_m/s.
三、解答题(共3题)
17.已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=:,过两条曲线的交点作两条曲线的切线,求两切线与x
轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率,否则只得结论分)
18.已知曲线C:y=x3.
⑴求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程,并判断该切线与曲线C是否还有其他的公
共点,若有,求出公共点;
(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程.
19.已知直线h为曲线y=/+x-2在点(1,0)处的切线,12为该曲线的另一条切线,且lrll2.
(1)求直线12的方程;
(2)求由直线12和x轴围成的三角形的面积.
答案
一、选择题(共12题)
1.【答案】D
【解析】Ay=/(x0+kAx)-/(x0).
2.【答案】B
3.【答案】A
【解析】函数/(%)的导数/,(x)在[a/]上是增函数,由导数的几何意义可知,曲线/(%)在
区间[a,切上各点处切线斜率是逐渐增大的,只有A选项符合.
4.【答案】D
【解析】由题意,可得平均变化率为—理匕=2(X°+4X)-2X。=2.
AxAx
5.【答案】A
【解析】由题意结合函数的解析式可得,
k_f(Xo+4*)-f(Xo)_(而+4炉一片=2久+4久,
k--(-。)-/(q5)_幡-(与-泡2=2_A
2~Ax_4%-0,
则的一上2=24%,容易判断Ax大于零,所以>fc2-
6.【答案】C
【解析】根据平均变化率的定义,可知?=(2。+:)-'+〃)=a=3.
Ax2-1
7.【答案】D
【解析】因为后=—:)-"、。)=2x0+Ax,k2=f(x。)/x/x)=2Ax>
1
XQ+AX-XQU,XO-(XO-AX)u
又Ax可正可负且不为零,
所以kl,k2的大小关系不确定.
故选D.
8.【答案】A
【解析】因为然5(t+M(t+dA(5t-t2)=5_2t-戊,
At
所以该物体在"3s时的瞬时速度为limg=-1m/s.
9.【答案】B
【解析】因为fM=x2,x=l,
所以Ay=/(I+Ax')2—/(l)=(1+Ax')2—1=2-+(4x)2,
所以”=2+4x,
Ax
当4%t0时,—2,
Ax
所以r(i)=2.
10.【答案】A
【解析】根据导数定义,
Hm仆次一/⑴
Ax->02Ax
=三lim△…一f⑴
3AX
=-X2
3
2
=—
3,
11.【答案】c
12.【答案】D
【解析】•=2(I+4X)2-2X12=4+2/x.
AxAx
二、填空题(共4题)
13.【答案】0.04
【解析】若竺=0.04.
12
14.【答案】相等
【解析】物体做匀速运动,所以任何时刻的瞬时速度都是一样的.
15.【答案】5;4.1
16.【答案】sin2+2cos2
【解析】因为s'=(tsint)'=sint+tcost,
所以所求瞬时速度为(sin2+2cos2)m/s.
三、解答题(共3题)
17.【答案】由仁[得{>;:
故两条曲线的交点j标为(1,1),两条曲线切线的斜率分别为
(⑴=limf⑷+"-f⑴=(”x+i)2T=Um(Ax+2)
lim2,
4XTO444x->04%4x->0
,⑴=Hmg('+i)-g(i)=Hm^±±Zi=Hm)=-1.
uAx-^OAxAx-^QAx-^Q\21X+1/
所以两条切线的方程分别为y-l=2(x-l),y-l=-(x-1),
即y=2x-l与y=-x+2,两条切线与x轴的交点坐标分别为(1,0),(2,0),
所以两切线与x轴围成的三角形的面积为|xlx|2-i|=^.
21214
18.【答案】
(1)将x=1代入曲线C的方程得y=l,
所以切点为P(l,l).
y'lx=ilim—
4x-0
(l+dX)3-l
lim
Ax
=lim[3+3Ax+(Ax)2]
4x->0
=3,
所以k=y'\X=1=3.
所以曲线在点P(l,l)处的切线方程为y-l=3(x-l),即3x-y-2=0.
y=3x—2,解得上;或修:二;:
由
y=x3,
因此切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另一公共点(-2,-8).
2
(2)设切点为由(1)可知y'\x=Xo=3x0,则切线方程为y-x1=3x^(x-x0),
因为点(1,1)在该切线上,将(1,1)代入,整理得2焉—3亚+1=0,解得%0=1或々=一/
①当与=1时,切点坐标为(1,1),相应的切线方程为3x-y—2=0.
②当x0=时,切点坐标为(一;,一;),相应的切线方程为、+;=;(》+;),即3x-4y+
2.\2.8/o4-\2/
1=0.
19.【答案】
(1)因为V11=Hm
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