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文档简介
2021-2022学年西藏林芝第二高级中学高二(上)期中数学试卷
(理科)
一、单选题(本大题共12小题,共60.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.数列1,3,6,10,...的一个通项公式是()
22
A.an=n—n+1B.an="7)C.an=D.an=n+1
2.在△ABC中,AB=4,AC=1,4=*则BC=()
A.B.V6C.V13D.5
3.若a>b,则下列不等式成立的是()
11
22a匕
a>b-<-c>e>e
A.ablaiD.
4.在△力BC中,已知a=l,b=避,A=30°,则8等于()
A.60°B.60。或120。C.30。或150。D.120°
5.等差数列{an}中,已知。4+。5=15,a7=12,则a?=()
33
33cD
A.-2-2-
6.已知a,b,c是△4BC三边之长,若满足等式(a+b—c)(a+b+c)=ab,则4。等于()
A.120°B,150°C.60°D,90°
7.已知等比数列{斯}的公比为正数,且a3a9=2a3a2=2,则%=()
A.|B.苧C.V2D.2
8.△ABC的三个内角4、B、C的对边分别是a、b、c,若的面积是6叵B=*a=2c,
则b=()
A.2B.4C.6D.8
9.关于x的不等式―/+5尤+6<0的解集为()
A.{x|x<-2或x>3}B.{x|-2<x<3}
C.{x|-1<x<6}D,{x|x<—1或x>6}
10.在等比数列{&J中,an>0,且a「aio=27,log3a2+log3a9等于()
A.9B.6C.3D.2
11.已知%>1,则y=2x■的最小值为()
A.4V2B.4V2+2C.4V2+1D.2V2+2
12.已知不等式a/一版一c20的解集是[一2,-勺,则不等式c--bx-a<0的解集是()
A.(2,3)B.(-00,2)u(3,+oo)
C.(另)D.(-oo,1)u(|,+oo)
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
x-y之一3
13.已知实数x,y满足2x+yW3,则z=x+2y的最大值为.
,y>1
14.已知不等式产+a%+4<。的解集为空集,则a的取值范围是.
15.设等差数列{即}的前n项和为及,若。5=5。3,则知=.
16.设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b=2c,3sinC=5sinB,则角
A=.
三、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题12.0分)
已知等差数列{即}中,a2=3,a5=9.
(1)求{an}的通项公式;
(2)令%=2即,求数列{%}的前n项和%.
18.(本小题12.0分)
在△ABC中.Z.BAC=120°,AB=3,BC=7.
(1)求AC的长;
(2)求△4BC的面积.
19.(本小题12.0分)
记及为等差数列{册}的前项和,已知%=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求土的最小值.
20.(本小题12.0分)
设数列{斯}满足%+3a2+32a3+•••+3"-^„=^(n6N*).
(1)求数列{aj的通项公式;
(2)设“=求数列{%}的前n项和治.
21.(本小题12.0分)
在锐角AABC中,角4,B,C的对边分别为a,b,c,且V^a=2csin4
(I)确定角C的大小;
(11)若0=«,且△4BC的面积为言,求a+b的值.
22(本小题10・0分)
已知a、b均为正实数,且2a+8b-ah=0,求a+b的最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:仔细观察数列1,3,6,10,...可以发现:
1=1
3=1+2
6=1+24-3
10=1+2+3+4
••.第71项为1+2+3+4+…+n=
数列1,3,6,10,…的通项公式为由,=当西,
故答案为a.=
仔细观察数列1,3,6,10,…,便可发现其中的规律:第n项应该为1+2+3+4+…+九=^
便可求出数列的通项公式.
本题考查了数列的基本知识,考查了学生的计算能力和观察能力,属于基础题.
2.【答案】C
【解析】解:•••AB=4,AC=1,A=(
BC=JAB2+AC2-2AB-AC-cos2=J16+1-2xlx4x;=713.
故选:c.
根据已知条件,结合余弦定理,即可求解.
本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题.
3.【答案】D
【解析】解:当a=l,匕=一1时,A,B,C均不正确,
因为、=靖为增函数,则ea>e〃,
故选:D.
通过特殊值代入各个选项,从而求出正确答案.
本题考查了不等式的基本性质,属于基础题.
4.【答案】B
【解析】解:•••在AABC中,a=1,b=V3,A=30°,
•••由正弦定理号=昌,得到:』=乌,解得sinB=^
sinAsinBsin30sinB2
•・.0°<B<180°,
•••B=60。或B=120°.
故选:B.
△ABC中由条件利用正弦定理求得sinB的值,确定出B的度数.
本题主要考查解三角形,利用正弦定理是解决本题的关键,比较基础.
5.【答案】B
【解析】解:等差数列{an}中,设公差等于d,由题意可得2%+7d=15,%+6d=12,两式相
减可得a?=a】+d=3,
故选B.
设公差等于d,由题意可得2%+7d=15,a】+6d=12,两式相减可得a2=a1+d的值.
本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的通项公式,求出首项和公差d的值,是解题的关
键,属于基础题.
6.【答案】A
【解析】解:丫(a+b-c)(a+b+c)=ab
:.c2=a2+b2+ab
a2+b2c2
由余弦定理可得,cosC=-=。2+#«2+y+ab)=_ab_=_l
2ab2ab2ab2
v0°<C<180°
.・・C=120°
故选A
由(a+b-c)(a+b+c)=ab可得c2=a2+b2+ab,由余弦定理可得,cosC=七把士可求
2ab
本题主要考查了余弦定理的应用,属于基础试题
7.【答案】C
【解析】解:设公比为q>0,由题意可得a"?•aiq8=2(aiq4)2,aIq=2,
解得%=2=q,
故选C.
设公比为q>0,由题意可得aiq2“iq8=2(aiq4)2,%q=2,由此求得的的值.
本题主要考查等比数列的通项公式的应用,属于基础题.
8.【答案】C
【解析】解:因为△力BC的面积是6b,B=*a=2c,
所以=;acsinB=gx2cXcX苧,解得c=2V5,可得a=4>8,
由余弦定理可得b=Va2+c2-2accosB=J48+12—2x4\/3x2V3x=6-
故选:C.
由已知利用三角形的面积公式可求c的值,进而可求a的值,根据余弦定理可求b的值.
本题主要考查了三角形的面积公式,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化
思想,属于基础题.
9.【答案】D
【解析】解:不等式一产+5刀+6<0整理可得:x2-5x-6>0,可得x>6或x<-l,
故选:D.
不等式整理,直接求出不等式的解集.
本题考查二次不等式的解集的求法,属于基础题.
10.【答案】C
【解析】解:•在等比数列{an}中,an>0,且。「%()=27,
・•.由等比数列的性质可得。2・1•a10=27,
log3a2+log3a9=log3a2a9=log327=3,
故选:C.
由等比数列的性质可。2•=%•a10=27,整体代入log3a2+log3a9=log3a2,a9,计算可得.
本题考查等比数列的通项公式,涉及等比数列的性质和对数的运算,属基础题.
11.【答案】B
【解析】解:因为x>l,
则y=2x+二=2(x-1)++2>2l(2x-2)--^+2=2+4vL当且仅当2x-2=
月,即X=1+或时取等号,
LX—L
此时函数取得最小值2+4VL
故选:B.
y=2x+々=2(x-1)+/=+2,然后结合基本不等式即可求解.
Jx-1'/2x—2
本题主要考查了利用基本不等式求解最值,属于基础题.
12.【答案】A
【解析】解:由不等式以2一取一c20的解集是[―发一勺,
得关于x的方程。/一版一。=0的解是一:、
ra<0fa<0
1./Iib__5
•••■~2+(~3)-aQP{«-6.
1/1、cc1
「]X(—§)=-
由不等式c/—&x—a<0,得:/——1>0»
15
X2
-6_6-即/一5%+6<0,解得xG(2,3).
故A
由不等式a/—bx—c20的解集是得关于*的方程。/一以—=0的解是一3、
进一步求出c/-bx-a<0的解集.
本题考查一元二次不等式解法及应用,考查数学运算能力,属于基础题.
13.【答案】6
x—y>—3
2x+yW3表
1y>1
示的可行域,如图所示:
其中4(1,1),B(0,3),C(一2,1),
数形结合易知,当直线y=-:x+;z经过
点8(0,3)时,z取得最大值,
zmax=0+2x3=6.
2x+y=3
故答案为:6.
先作出不等式组表示的平面区域,再根据目标函数的几何意义,数形结合求最大值即可.
本题考查了线性规划问题,作出可行域是关键,找了最优解是难点,属于基础题.
14.【答案】[—4,4]
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可求出.
本题考查解一元二次不等式问题,属于基础题.
【解答】
解:•••不等式/+g+4<0的解集为空集,
•••△=a2-16<0,解得-4<a<4.
二a的取值范围是[-4,4].
故答案为
15.【答案】9
【解析】解:•.•{的}为等差数列,
59=%+a2H---Fa9=9a5,S5=aT+a2++a5=5a3,
.包_%_9
9
■,S5-5a3-
故答案为9
根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9%,S5=5a3,根据。5=5。3,进而可得则要的值.
本题主要考查了等差数列中等差中项的性质.属基础题.
16.【答案】第
【解析】解:利用正弦定理3s出C=5sinB,整理得3c=5b,
由于Q+b=2c,
所以a=2c—当=告
b2+c2-a2
所以cosA=
由于0V4<7T,
故人=手
故答案为:
直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果.
本题考查的知识要点:余弦定理和正弦定理的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,
属于基础题.
17.【答案】解:(1)设等差数列{%}的公差为d,
由的=。2+3d,得9=3+3d,解得d=2,又g=%+d,得3=%+2,解得臼=1,
所以an=1+2(n—1)=2n—1;
n
(2)由(1)可知bn=22t,
1352n-12n+
则S”=br+b2+b3+■■■+/?n=2+2+2+-+2=2(;]>=2^-2_
【解析】(1)设等差数列{加}的公差为d,由as=。2+3d可计算出d值,进一步根据a?=%+d可
求出火的值,从而可得{a"的通项公式;
(2)由(1)可知%=22"-1,从而利用等比数列前n项和公式即可求出%.
本题考查等差数列的通项公式,等比数列的前n项和公式,考查学生的逻辑推理和运算求解能力,
属于基础题.
18.【答案】解:(1)在△4BC中,•••NB4C=120。,AB=3,BC=7,
由余弦定理可得BO?=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC,
即49=9+AC2-6AC-cosl20。,求得AC=5(把负值舍去).
(2)△ABC的面积为/-AB-AC-sin^BAC=;x3x5x?=挈.
【解析】(1)在△ABC中,由条件利用余弦定理求得4c的值.
(2)根据△4BC的面积为:-AB-AC-sin^BAC,计算求得结果.
本题主要考查余弦定理的应用,求三角形的面积,属于基础题.
19.【答案】解:(1)♦.•等差数列{%}中,%=-7,S3=-15,
:.%=-7,3al4-3d=-15,
解得的=-7,d=2,
***ccn=-7+2(n—1)=2.71—9;
(2)•・•斯=-7,d=2,an=2n—9f
n19
Sn=2&+an)=2(2n-16n)
=n2-8n=(n—4)2—16,
・•・当n=4时,前n项的和S”取得最小值,为-16.
【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前n项和公式,属于基础题.
(1)根据由=-7,S3=-15,可得的=-7,3al+3d=—15,求出等差数列{斯}的公差,然后求
出an即可;
(2)由%=-7,d=2,an=2n-9,得%=在%+=5-4/-16,由此可求出%的最小
值.
20.【答案】解:(1):由+3a2+32。3+…+3时1即=今①
二当n>2时,%+3a2+32a3H-----F■.②
①-②,得=%
所以an=J?(n>2),
在①中,令n=l,得的=^也满足上式.
1
•,an=莎
(2)「瓦兰,
n
:.bn=n•3.
;•S”=3+2x32+3X33+…+n•3".③
234n+1
3Sn=3+2x3+3x3+-+n-3.(4)
(4)-(3),得2Sn=n-3n+1-(3+32+33+-+3n),
即2S"
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