2021-2022学年西藏林芝某中学高二（上）期中数学试卷（理科）（附答案详解）

2021-2022学年西藏林芝第二高级中学高二（上）期中数学试卷

（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.数列1,3,6,10,...的一个通项公式是（）

22

A.an=n—n+1B.an="7）C.an=D.an=n+1

2.在△ABC中，AB=4,AC=1,4=*则BC=（）

A.B.V6C.V13D.5

3.若a>b,则下列不等式成立的是（）

11

22a匕

a>b-<-c>e>e

A.ablaiD.

4.在△力BC中，已知a=l,b=避，A=30°,则8等于()

A.60°B.60。或120。C.30。或150。D.120°

5.等差数列{an}中,已知。4+。5=15,a7=12,则a?=()

33

33cD

A.-2-2-

6.已知a,b,c是△4BC三边之长，若满足等式(a+b—c)(a+b+c)=ab,则4。等于()

A.120°B,150°C.60°D,90°

7.已知等比数列{斯}的公比为正数，且a3a9=2a3a2=2,则%=()

A.|B.苧C.V2D.2

8.△ABC的三个内角4、B、C的对边分别是a、b、c,若的面积是6叵B=*a=2c,

则b=()

A.2B.4C.6D.8

9.关于x的不等式―/+5尤+6<0的解集为()

A.{x|x<-2或x>3}B.{x|-2<x<3}

C.{x|-1<x<6}D,{x|x<—1或x>6}

10.在等比数列{&J中,an>0,且a「aio=27,log3a2+log3a9等于()

A.9B.6C.3D.2

11.已知％>1,则y=2x■的最小值为（）

A.4V2B.4V2+2C.4V2+1D.2V2+2

12.已知不等式a/一版一c20的解集是［一2，-勺，则不等式c--bx-a<0的解集是()

A.(2,3)B.(-00,2)u(3,+oo)

C.(另)D.(-oo,1)u(|,+oo)

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

x-y之一3

13.已知实数x,y满足2x+yW3,则z=x+2y的最大值为.

,y>1

14.已知不等式产+a%+4<。的解集为空集，则a的取值范围是.

15.设等差数列｛即｝的前n项和为及，若。5=5。3,则知=.

16.设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b=2c,3sinC=5sinB,则角

A=.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

已知等差数列｛即｝中，a2=3,a5=9.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)令%=2即，求数列｛%｝的前n项和%.

18.(本小题12.0分)

在△ABC中.Z.BAC=120°,AB=3,BC=7.

(1)求AC的长；

(2)求△4BC的面积.

19.(本小题12.0分)

记及为等差数列｛册｝的前项和，已知%=-7,S3=-15.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)求Sn,并求土的最小值.

20.(本小题12.0分)

设数列｛斯｝满足%+3a2+32a3+•••+3"-^„=^(n6N*).

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)设“=求数列｛%｝的前n项和治.

21.(本小题12.0分)

在锐角AABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且V^a=2csin4

(I)确定角C的大小；

(11)若0=«，且△4BC的面积为言，求a+b的值.

22(本小题10・0分)

已知a、b均为正实数，且2a+8b-ah=0,求a+b的最小值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：仔细观察数列1,3,6,10,...可以发现:

1=1

3=1+2

6=1+24-3

10=1+2+3+4

••.第71项为1+2+3+4+…+n=

数列1,3,6,10,…的通项公式为由,=当西，

故答案为a.=

仔细观察数列1,3,6,10，…，便可发现其中的规律：第n项应该为1+2+3+4+…+九=^

便可求出数列的通项公式.

本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：•••AB=4,AC=1,A=(

BC=JAB2+AC2-2AB-AC-cos2=J16+1-2xlx4x；=713.

故选：c.

根据已知条件，结合余弦定理，即可求解.

本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：当a=l,匕=一1时，A,B,C均不正确，

因为、=靖为增函数，则ea>e〃，

故选：D.

通过特殊值代入各个选项，从而求出正确答案.

本题考查了不等式的基本性质，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：•••在AABC中，a=1,b=V3,A=30°,

•••由正弦定理号=昌，得到：』=乌，解得sinB=^

sinAsinBsin30sinB2

•・.0°<B<180°,

•••B=60。或B=120°.

故选:B.

△ABC中由条件利用正弦定理求得sinB的值，确定出B的度数.

本题主要考查解三角形，利用正弦定理是解决本题的关键，比较基础.

5.【答案】B

【解析】解：等差数列｛an｝中，设公差等于d,由题意可得2%+7d=15,%+6d=12,两式相

减可得a?=a】+d=3,

故选B.

设公差等于d,由题意可得2%+7d=15,a】+6d=12,两式相减可得a2=a1+d的值.

本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，求出首项和公差d的值，是解题的关

键，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：丫(a+b-c)(a+b+c)=ab

:.c2=a2+b2+ab

a2+b2c2

由余弦定理可得，cosC=-=。2+#«2+y+ab)=_ab_=_l

2ab2ab2ab2

v0°<C<180°

.・・C=120°

故选A

由(a+b-c)(a+b+c)=ab可得c2=a2+b2+ab,由余弦定理可得，cosC=七把士可求

2ab

本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础试题

7.【答案】C

【解析】解：设公比为q>0,由题意可得a"?•aiq8=2(aiq4)2,aIq=2,

解得%=2=q，

故选C.

设公比为q>0,由题意可得aiq2“iq8=2(aiq4)2,%q=2,由此求得的的值.

本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：因为△力BC的面积是6b，B=*a=2c,

所以=；acsinB=gx2cXcX苧，解得c=2V5，可得a=4>8，

由余弦定理可得b=Va2+c2-2accosB=J48+12—2x4\/3x2V3x=6-

故选：C.

由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而可求a的值，根据余弦定理可求b的值.

本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化

思想，属于基础题.

9.【答案】D

【解析】解：不等式一产+5刀+6<0整理可得：x2-5x-6>0,可得x>6或x<-l,

故选：D.

不等式整理，直接求出不等式的解集.

本题考查二次不等式的解集的求法，属于基础题.

10.【答案】C

【解析】解：•在等比数列｛an｝中，an>0,且。「%()=27,

・•.由等比数列的性质可得。2・1•a10=27,

log3a2+log3a9=log3a2a9=log327=3,

故选：C.

由等比数列的性质可。2•=%•a10=27,整体代入log3a2+log3a9=log3a2,a9,计算可得.

本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质和对数的运算，属基础题.

11.【答案】B

【解析】解：因为x>l,

则y=2x+二=2(x-1)++2>2l(2x-2)--^+2=2+4vL当且仅当2x-2=

月，即X=1+或时取等号，

LX—L

此时函数取得最小值2+4VL

故选：B.

y=2x+々=2(x-1)+/=+2,然后结合基本不等式即可求解.

Jx-1'/2x—2

本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题.

12.【答案】A

【解析】解：由不等式以2一取一c20的解集是［―发一勺，

得关于x的方程。/一版一。=0的解是一：、

ra<0fa<0

1./Iib__5

•••■~2+(­~3)-aQP{«-6.

1/1、cc1

「］X(—§)=-

由不等式c/—&x—a<0,得:/——1>0»

15

X2

-6_6-即/一5%+6<0,解得xG(2,3).

故A

由不等式a/—bx—c20的解集是得关于*的方程。/一以—=0的解是一3、

进一步求出c/-bx-a<0的解集.

本题考查一元二次不等式解法及应用，考查数学运算能力，属于基础题.

13.【答案】6

x—y>—3

2x+yW3表

1y>1

示的可行域，如图所示：

其中4(1,1),B(0,3),C(一2,1),

数形结合易知，当直线y=-：x+；z经过

点8(0,3)时，z取得最大值，

zmax=0+2x3=6.

2x+y=3

故答案为：6.

先作出不等式组表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义，数形结合求最大值即可.

本题考查了线性规划问题，作出可行域是关键，找了最优解是难点，属于基础题.

14.【答案】[—4,4]

【解析】

【分析】

利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可求出.

本题考查解一元二次不等式问题，属于基础题.

【解答】

解：•••不等式/+g+4<0的解集为空集，

•••△=a2-16<0,解得-4<a<4.

二a的取值范围是[-4,4].

故答案为

15.【答案】9

【解析】解：•.•｛的｝为等差数列,

59=%+a2H---Fa9=9a5,S5=aT+a2++a5=5a3,

.包_%_9

9

■,S5-5a3-

故答案为9

根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9%,S5=5a3,根据。5=5。3,进而可得则要的值.

本题主要考查了等差数列中等差中项的性质.属基础题.

16.【答案】第

【解析】解:利用正弦定理3s出C=5sinB,整理得3c=5b,

由于Q+b=2c,

所以a=2c—当=告

b2+c2-a2

所以cosA=

由于0V4<7T,

故人=手

故答案为：

直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果.

本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，

属于基础题.

17.【答案】解：(1)设等差数列｛%｝的公差为d,

由的=。2+3d,得9=3+3d,解得d=2,又g=%+d,得3=%+2,解得臼=1,

所以an=1+2(n—1)=2n—1；

n

(2)由(1)可知bn=22t,

1352n-12n+

则S”=br+b2+b3+■■■+/?n=2+2+2+-+2=2(；］>=2^-2_

【解析】(1)设等差数列｛加｝的公差为d,由as=。2+3d可计算出d值，进一步根据a?=%+d可

求出火的值，从而可得｛a"的通项公式；

(2)由(1)可知%=22"-1,从而利用等比数列前n项和公式即可求出％.

本题考查等差数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解能力，

属于基础题.

18.【答案】解：(1)在△4BC中，•••NB4C=120。，AB=3,BC=7,

由余弦定理可得BO?=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC,

即49=9+AC2-6AC-cosl20。，求得AC=5(把负值舍去).

(2)△ABC的面积为/-AB-AC-sin^BAC=；x3x5x?=挈.

【解析】(1)在△ABC中，由条件利用余弦定理求得4c的值.

(2)根据△4BC的面积为:-AB-AC-sin^BAC,计算求得结果.

本题主要考查余弦定理的应用，求三角形的面积，属于基础题.

19.【答案】解:(1)♦.•等差数列｛%｝中，%=-7,S3=-15,

:.%=-7,3al4-3d=-15,

解得的=-7,d=2,

***ccn=-7+2(n—1)=2.71—9；

(2)•・•斯=-7,d=2,an=2n—9f

n19

Sn=2&+an)=2(2n-16n)

=n2-8n=(n—4)2—16,

・•・当n=4时，前n项的和S”取得最小值，为-16.

【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题.

(1)根据由=-7,S3=-15,可得的=-7,3al+3d=—15,求出等差数列｛斯｝的公差，然后求

出an即可;

(2)由%=-7,d=2,an=2n-9,得％=在%+=5-4/-16,由此可求出％的最小

值.

20.【答案】解：(1):由+3a2+32。3+…+3时1即=今①

二当n>2时，%+3a2+32a3H-----F■.②

①-②，得=%

所以an=J?(n>2),

在①中，令n=l,得的=^也满足上式.

1

•,an=莎

(2)「瓦兰,

n

:.bn=n•3.

；•S”=3+2x32+3X33+…+n•3".③

234n+1

3Sn=3+2x3+3x3+-+n-3.(4)

(4)-(3),得2Sn=n-3n+1-(3+32+33+-+3n),

即2S"