2022-2023学年山东省临沂市高二（下）期末数学试卷（含答案解析）

第1页（共1页）2022-2023学年山东省临沂市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}2．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，ln（x+1）≤0 B．∃x＞0，ln（x+1）≤0 C．∀x＜0，ln（x+1）≤0 D．∃x≤0，ln（x+1）≤03．（5分）已知（x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，则a1+a2+…+a7＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（5分）函数f（x）的导函数为y＝f′（x），则f′（x）＝0有解是f（x）有极值的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码．假设我们1秒钟用掉1亿个二维码，1万年约为3×1011秒，那么大约可以用（）（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.5）A．201万年 B．10201万年 C．113万年 D．10113万年6．（5分）将六位数“724051”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为（）A．312 B．216 C．180 D．1527．（5分）如图是函数f（x）的导函数的图象，则f（x）的图象大致为（）A． B． C． D．8．（5分）若a＞0，b＞0，且（4a﹣1）（b﹣1）＝4，则（）A．ab的最小值为52 B．ab的最大值为9C．4a+b的最小值为6 D．a+b的最大值为7二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知随机变量X～N（10，52），Y～N（12，32），则（）A．P（X≤15）＝P（Y≤15） B．P（X≤20）＞P（Y≤20） C．P（X≥0）＞P（Y≤9） D．P（X≥25）＞P（Y≥25）（多选）10．（5分）已知随机变量X～B（n，13A．若n＝8，则E（X）=83 B．若n＝9，则E（XC．若D（2X+1）＝8，则n＝9 D．若D（X+2）＝6，则n＝18（多选）11．（5分）已知事件A，B满足P（A）＝0.6，P（B）＝0.3，则下列结论正确的是（）A．若B⊆A，则P（AB）＝0.6 B．若A与B互斥，则P（A∪B）＝0.9 C．若P（B|A）＝0.3，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则P（AB）＝0.8三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若（x﹣a）（1+2x）5的展开式中x3的系数为60，则实数a＝．14．（5分）从3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则P（B|A）＝．15．（5分）核桃与扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”，它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同．现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为4%，乙地种植的核桃空壳率为6%．将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的45%，55%，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率为．16．（5分）若函数f（x）满足f（x）＝f（x+5π3）且f（π6+x）＝f（π6−x），则称f（x）为M函数．已知h（x），g（x）均为M函数，当x∈[π6，π]时，h（x）＝sinx，g（x）＝（e3）x，则方程h（x）＝g（x）在[−2π3，8π3四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某食品加工厂拟购买一批智能机器人生产花生油，以提高生产效率，降低生产成本．已知购买x台机器人的总成本为f（x）=112x2+（1）要使所购买的机器人的平均成本最低，应购买多少台机器人？（2）现将按（1）所求得的数量购买的机器人全部投入生产，并安排m名工人操作这些机器人（每名工人可以同时操作多台机器人）．已知每名工人操作水平无差异，但每台机器人每日生产花生油的质量Q（单位：吨）与操作工人的人数有关，且满足关系式：Q（m）=14m(12−m)，1≤m≤618．（12分）近几年，大健康产业快速兴起，现已成为国民经济新的增长点，受益于人们对健康认识的增强和新媒体的发展，很多健康产业迎来了史无前例的发展与机遇．某按摩椅厂家的一个经销商进行网络直播带货，通过5次试销得到销量y（单位：台）与销售单价x（单位：千元）的数据如下：x66.26.46.66.8y201515105（1）根据以上数据，求y关于x的经验回归方程；（2）若使每次直播带货销量不低于41台，预估销售单价最多是多少？参考公式：①r=i=1n(xi−x)(yi19．（12分）已知函数f（x）＝xex﹣1．（1）判断f（x）的单调性，并求f（x）的极值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣a（a∈R），求g（x）的零点个数．20．（12分）为了解某班学生喜欢下中国象棋是否与性别有关，现对本班50名同学问卷调查分析，得到如下的2×2列联表：喜欢不喜欢合计男2025女15合计（1）补全2×2列联表，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为喜欢下中国象棋与性别有关联？（2）现从该班喜欢下中国象棋的同学中，按性别采用比例分配的分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中喜欢下中国象棋的女同学人数为X，求X的分布列和数学期望．附：χ2=n(ad−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)，其中n＝a+b+α0.1000.0500.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82821．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x．（1）求f（x）的图象在x＝1处的切线方程；（2）证明：∃ξ∈（a，b）（其中a＞0），使得f(b)−f(a)b−a22．（12分）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得﹣1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为23，1（1）记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望E（X）；（2）假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立，记P表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率．①求P3，P4的值；②若Pn＝aPn﹣1+bPn﹣2+cPn﹣3（n≥4），求a，b，c．

2022-2023学年山东省临沂市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}【解答】解：|x﹣1|≤1，解得：0≤x≤2，∴集合B＝{x|0≤x≤2}∴A∩B＝{1，2}．故选：B．2．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，ln（x+1）≤0 B．∃x＞0，ln（x+1）≤0 C．∀x＜0，ln（x+1）≤0 D．∃x≤0，ln（x+1）≤0【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则￢p为∃x＞0，ln（x+1）≤0．故选：B．3．（5分）已知（x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，则a1+a2+…+a7＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵（x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，令x＝0可得：﹣1＝a0，令x＝1可得：a0+a1+a2+…+a7＝0，∴a1+a2+…+a7＝1，故选：C．4．（5分）函数f（x）的导函数为y＝f′（x），则f′（x）＝0有解是f（x）有极值的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数y＝f（x）可导，则“f'（x）＝0有实根”无法得出“f（x）有极值”，只有f'（x）＝0的两侧导数符号发生变化，才有极值，反之，“f（x）有极值”，则“f'（x）＝0有实根”．因此“f'（x）＝0有实根”是“f（x）有极值”的必要不充分条件．故选：C．5．（5分）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码．假设我们1秒钟用掉1亿个二维码，1万年约为3×1011秒，那么大约可以用（）（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.5）A．201万年 B．10201万年 C．113万年 D．10113万年【解答】解：由题意得大约能用10﹣4×2而lg24413×1019=441lg2﹣lg3﹣19≈441×0.3﹣所以24413×10故选：D．6．（5分）将六位数“724051”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为（）A．312 B．216 C．180 D．152【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①个位数字为2或4时，首位数字不能为0，可以有2×4×A②个位数字为0时，其余5个数字全排列即可，有A5则有192+120＝312个偶数．故选：A．7．（5分）如图是函数f（x）的导函数的图象，则f（x）的图象大致为（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，结合导函数图象可知，在区间（0，1）上，f′（x）＞0且先增大再减小，则在区间（0，1）上，f（x）为增函数，其图象先平缓再变陡峭，最后边平缓，只有D选项符合．故选：D．8．（5分）若a＞0，b＞0，且（4a﹣1）（b﹣1）＝4，则（）A．ab的最小值为52 B．ab的最大值为9C．4a+b的最小值为6 D．a+b的最大值为7【解答】解：由于a＞0，b＞0，且（4a﹣1）（b﹣1）＝4，故4ab﹣4a﹣b+1＝4，整理得4ab−3=4a+b≥4ab，当且仅当b＝4a即4ab−4ab故(2ab+1)(2ab−3)≥0，即ab≥32所以4a+b≥4ab∴4a+b的最小值为6．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知随机变量X～N（10，52），Y～N（12，32），则（）A．P（X≤15）＝P（Y≤15） B．P（X≤20）＞P（Y≤20） C．P（X≥0）＞P（Y≤9） D．P（X≥25）＞P（Y≥25）【解答】解：因为X～N（10，52），Y～N（12，32），所以P（5≤X≤15）＝P（9≤Y≤15）≈0.6827，P（0≤X≤20）＝P（6≤Y≤18）≈0.9545，P（﹣5≤X≤25）＝P（3≤Y≤21）≈0.9973，选项A，P（X≤15）＝0.5+P（10≤X≤15）≈0.5+0.6827P（Y≤15）＝0.5+P（12≤X≤15）≈0.5+0.6827所以P（X≤15）＝P（Y≤15），即选项A正确；选项B，P（X≤20）＝0.5+P（10≤X≤20）≈0.5+0.9545P（Y≤20）＞P（Y≤18）＝0.5+P（12≤X≤18）≈0.5+0.9545所以P（X≤20）＜P（Y≤20），即选项B错误；选项C，P（X≥0）＝P（X≤20）＝0.97725，P（Y≤9）＝0.5﹣P（9≤Y≤12）≈0.5−0.6827所以P（X≥0）＞P（Y≤9），即选项C正确；选项D，P（X≥25）＝0.5﹣P（10≤X≤25）≈0.5−0.9973P（Y≥25）＜P（Y≥21）＝0.5﹣P（12≤X≤21）≈0.5−0.9973所以P（X≥25）＞P（Y≥25），即选项D正确．故选：ACD．（多选）10．（5分）已知随机变量X～B（n，13A．若n＝8，则E（X）=83 B．若n＝9，则E（XC．若D（2X+1）＝8，则n＝9 D．若D（X+2）＝6，则n＝18【解答】解：对A选项，∵X～B（n，13∴当n＝8时，E（X）=8×13=8对B选项，∵X～B（n，13∴当n＝9时，E（X）=9×1∴E（X+1）＝E（X）+1＝4，∴B选项错误；对C选项，∵X～B（n，13∴D（X）=n×1∴D（2X+1）＝4D（X）=8n∴n＝9，∴C选项正确；对D选项，∵X～B（n，13∴D（X）=n×1∴D（X+2）＝D（X）=2n∴n＝27，∴D选项错误．故选：AC．（多选）11．（5分）已知事件A，B满足P（A）＝0.6，P（B）＝0.3，则下列结论正确的是（）A．若B⊆A，则P（AB）＝0.6 B．若A与B互斥，则P（A∪B）＝0.9 C．若P（B|A）＝0.3，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则P（AB）＝0.8【解答】解：对于A，若B⊆A，则P（AB）＝P（B）＝0.3，故A错误；对于B，A与B互斥，则P（AB）＝0，故P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.9，故B正确；对于C，P（B）＝P（B|A）＝0.3，则A与B相互独立，故C正确；对于D，A与B相互独立，则A与B也相互独立，故P（AB）＝P（A）[1﹣P（B）]＝0.6×0.7＝0.42，故D故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若（x﹣a）（1+2x）5的展开式中x3的系数为60，则实数a＝−14【解答】解：根据（x﹣a）（1+2x）5＝（x﹣a）（C50+C51•（2x）+C52•（2x）2+C53•（2x）3+的展开式中x3的系数为C52⋅22−a•可得实数a=−1故答案为：−114．（5分）从3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则P（B|A）＝13【解答】解：事件A：取到的两个数之和为偶数，所包含的基本事件有：（3，5）、（3，7）、（3，9），（5，7）、（5，9），（6，9），（4，6），（4，8），（6，8），∴p（A）=9事件B：取到的两个数均为偶数，所包含的基本事件有（4，6），（4，8），（6，8），∴P（AB）=3由条件概率公式，可得P（B|A）=P(AB)故答案为：1315．（5分）核桃与扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”，它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同．现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为4%，乙地种植的核桃空壳率为6%．将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的45%，55%，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率为0.051．【解答】解：设事件所取核桃产地为甲地为事件A1，事件所取核桃产地为乙地为事件A2，所取核桃为空壳为事件B，则P（A1）＝45%，P（A2）＝55%，P（B|A1）＝4%，P（B|A2）＝6%，P（B）＝P（BA1）+P（BA2）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝45%×4%+55%×6%＝0.051．所以该核桃是空壳的概率是0.051．故答案为：0.051．16．（5分）若函数f（x）满足f（x）＝f（x+5π3）且f（π6+x）＝f（π6−x），则称f（x）为M函数．已知h（x），g（x）均为M函数，当x∈[π6，π]时，h（x）＝sinx，g（x）＝（e3）x，则方程h（x）＝g（x）在[−2π3，8π3]上所有根的和为8【解答】解：因为M函数满足f（x）＝f（x+5π3）且f（π6+x）＝f∴M函数的周期为5π3，对称轴为x=∴h（x），g（x）的周期都为5π3，对称轴都为x=由正弦函数的性质可知h（x）＝sinx在[π6，π2]上单调递增，在[π2且h（π6）=12，h（π2）＝1，h（2π3）=由指数函数的性质可知g（x）＝（e3）x在x∈[π6，且g（π6）=(e3)π6，g（π2）=(e3)π2，又∵ln(e3)π6−ln12=π6lne3+ln∴(e3)π6＞12，即g（π2）＜1＝h（π又∵ln(e3)2π3−ln32=2π3lne3+ln2−12ln3=2π∴(e3)2π3＜32，即g（2π3）＜h（2π作出y＝h（x）与y＝g（x）在[π6，π又∵h（x），g（x）的周期都为5π3，对称轴都为x=作出f（x）与g（x）在[−2π3，∴方程h（x）＝g（x）在[2π3，8π3]上8个根的和为4×（π6故答案为：8π．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某食品加工厂拟购买一批智能机器人生产花生油，以提高生产效率，降低生产成本．已知购买x台机器人的总成本为f（x）=112x2+（1）要使所购买的机器人的平均成本最低，应购买多少台机器人？（2）现将按（1）所求得的数量购买的机器人全部投入生产，并安排m名工人操作这些机器人（每名工人可以同时操作多台机器人）．已知每名工人操作水平无差异，但每台机器人每日生产花生油的质量Q（单位：吨）与操作工人的人数有关，且满足关系式：Q（m）=14m(12−m)，1≤m≤6【解答】解：（1）因为购买x台机器人的总成本为f（x）=112x2+所以每台机器人的平均成本为：112x2+x+3x=112x+3x+所以应购买6台机器人；（2）当1≤m≤6时，6台机器人每日生产花生油的质量为6×14m（12﹣m）=32m所以当m＝6时，6台机器人每日生产花生油的质量的最大值为32×6当m＞6时，6台机器人每日生产花生油的质量为6×9＝54（吨）；所以当m＝6时，每台机器人日生产量达到最大值，此时人数最少．18．（12分）近几年，大健康产业快速兴起，现已成为国民经济新的增长点，受益于人们对健康认识的增强和新媒体的发展，很多健康产业迎来了史无前例的发展与机遇．某按摩椅厂家的一个经销商进行网络直播带货，通过5次试销得到销量y（单位：台）与销售单价x（单位：千元）的数据如下：x66.26.46.66.8y201515105（1）根据以上数据，求y关于x的经验回归方程；（2）若使每次直播带货销量不低于41台，预估销售单价最多是多少？参考公式：①r=i=1n(xi−x)(yi【解答】解：（1）x=6+6.2+6.4+6.6+6.85i=15xiyi＝409，∴b̂â∴y关于x的经验回归方程为ŷ（2）由ŷ=−17.5x+125，取ŷ≥41，得﹣17.5解得：x≤4.8．∴若使每次直播带货销量不低于41台，预估销售单价最多是4.8（千元）．19．（12分）已知函数f（x）＝xex﹣1．（1）判断f（x）的单调性，并求f（x）的极值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣a（a∈R），求g（x）的零点个数．【解答】解：（1）∵f′（x）＝ex﹣1（x+1），x∈R，∴当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）仅有极小值为f（﹣1）=−1（2）当x→﹣∞时，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→+∞，且f（0）＝0，同时结合（1），可得f（x）的图象为：又g（x）＝f（x）﹣a的零点个数，即为y＝f（x）与y＝a的交点个数，∴数形结合可得：当a∈（﹣∞，−1e2）时，g当a∈（−1e2，0）时，g当a∈[0，+∞）∪{−1e2}时，g20．（12分）为了解某班学生喜欢下中国象棋是否与性别有关，现对本班50名同学问卷调查分析，得到如下的2×2列联表：喜欢不喜欢合计男2025女15合计（1）补全2×2列联表，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为喜欢下中国象棋与性别有关联？（2）现从该班喜欢下中国象棋的同学中，按性别采用比例分配的分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中喜欢下中国象棋的女同学人数为X，求X的分布列和数学期望．附：χ2=n(ad−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)，其中n＝a+b+α0.1000.0500.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【解答】解：（1）根据题意可得补全后的列联表如下：喜欢不喜欢合计男20525女101525合计302050∴χ2=50×(20×15−10×5∴不能认为喜欢下中国象棋与性别有关联；（2）由（1）及分层抽样的概念可得：所抽取的6人中，男同学4人，女同学2人，∴这2人中喜欢下中国象