高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)16指数与对数运算的常考点方法总结(原卷版+解析)

常考题型16指数与对数运算的常考点方法总结必备知识必备知识1.幂的有关概念(1)正分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。(2)负分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。2.有理数指数幂的性质(1)(a>0，r，s∈Q)；(2)(a>0，r，s∈Q)；(3)(a>0，b>0，r∈Q)。3.对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么(1)；(2)；(3)(n∈R)；(4)(m≠0)。4.对数的性质(1)(a>0且a≠1，N>0)；(2)(a>0且a≠1)。3.对数的重要公式(1)换底公式：(b>0且b≠1，a>0且a≠1，N>0)；(2)，推广：。方法指导方法指导1.指数幂的运算遵循的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数；(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；2.对数式化简或求值的两种思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并；(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算；题型探究一题型探究一探究一：分数指数幂与根式的互化下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：根据分数指数幂的运算性质对各选项逐一计算即可求解。【变式练习】1．已知，则化为（

）A． B． C．m D．12．若有意义，则实数的取值范围是A． B．C． D．探究二：指数幂的化简、求值若，则等于（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：利用立方和公式化简所求代数式，由可得出，由此可求得结果【变式练习】1．已知，，则的值为（

）A．2 B． C． D．2．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为()A． B．C．1 D．探究三：指数式和对数式的互化设，则（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解。【变式练习】1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与2．将转化为对数形式，正确的是（

）A．； B．；C．； D．．探究四：对数的运算若，且，则（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：根据给定条件，将指数式化成对数式，再借助换底公式及对数运算法则计算即得。【变式练习】1．设，，则A． B．C． D．2．已知，则的值为（

）A．1 B．4 C．1或4 D．或4题型突破训练题型突破训练一、单选题1．设则的大小关系是A． B． C． D．2．若，则()A． B．1 C． D．3．设，且，则（

）A． B． C． D．4．设，且，则（

）A． B．10 C．20 D．1005．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．696．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b7．已知，，，则（

）．A． B． C． D．8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053C．1073 D．1093二、多选题9．已知，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．10．在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（）A．B．C．D．11．下列运算法则正确的是（

）A．B．C．（且）D．12．设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题13．计算得________．14．已知m=2，n=3，则[÷]3的值是______．15．已知，，试用、表示________．16．计算：________.四、解答题17．（1）化简：；（2）计算：．18．化简求值：（1）；（2）．19．（1）化简：（a＞0，b＞0）；（2）先化简，再求值．已知，，求的值．20．设，，均为正数，且.（1）试求，，之间的关系.（2）求使成立，且与最近的正整数（即求与的差的绝对值最小的整数）.（3）比较，，的大小.常考题型16指数与对数运算的常考点方法总结必备知识必备知识1.幂的有关概念(1)正分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。(2)负分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。2.有理数指数幂的性质(1)(a>0，r，s∈Q)；(2)(a>0，r，s∈Q)；(3)(a>0，b>0，r∈Q)。3.对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么(1)；(2)；(3)(n∈R)；(4)(m≠0)。4.对数的性质(1)(a>0且a≠1，N>0)；(2)(a>0且a≠1)。3.对数的重要公式(1)换底公式：(b>0且b≠1，a>0且a≠1，N>0)；(2)，推广：。方法指导方法指导1.指数幂的运算遵循的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数；(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；2.对数式化简或求值的两种思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并；(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算；题型探究一题型探究一探究一：分数指数幂与根式的互化下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：根据分数指数幂的运算性质对各选项逐一计算即可求解。答案：B【详解】解：对A：，故选项A错误；对B：，故选项B正确；对C：，不能化简为，故选项C错误；对D：因为，所以，故选项D错误.故选：B.【变式练习】1．已知，则化为（

）A． B． C．m D．1答案：C【详解】，.故选：C．2．若有意义，则实数的取值范围是A． B．C． D．答案：C【详解】要使有意义，需使，解得，表示为区间形式即.故选C.探究二：指数幂的化简、求值若，则等于（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：利用立方和公式化简所求代数式，由可得出，由此可求得结果答案：C【详解】，，因此，.故选：C.【变式练习】1．已知，，则的值为（

）A．2 B． C． D．答案：B【详解】．故选：B2．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为()A． B．C．1 D．答案：B【详解】x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.∴x8＝9.∴x＝＝.故选B.探究三：指数式和对数式的互化设，则（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解。答案：B【详解】由可得，所以，所以有，故选：B.【变式练习】1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与答案：C【详解】，故正确；，故正确；，，故不正确；，故正确．故选：C．2．将转化为对数形式，正确的是（

）A．； B．；C．； D．．答案：C【详解】根据对数的定义和．故选：C．探究四：对数的运算若，且，则（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：根据给定条件，将指数式化成对数式，再借助换底公式及对数运算法则计算即得。答案：D【详解】因为，于是得，，又因为，则有，即，因此，，而，解得，所以.故选：D【变式练习】1．设，，则A． B．C． D．答案：B【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．详解：.,即又即故选B.2．已知，则的值为（

）A．1 B．4 C．1或4 D．或4答案：B【详解】依题意有，，设，，即，解得或．当时，，此时不满足，舍去，所以．故选B．题型突破训练题型突破训练一、单选题1．设则的大小关系是A． B． C． D．答案：C【详解】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.2．若，则()A． B．1 C． D．答案：C【详解】依题意，.故选C.3．设，且，则（

）A． B． C． D．答案：B【详解】因为，所以，所以，又，.故选：B.4．设，且，则（

）A． B．10 C．20 D．100答案：A【详解】由，可得，，由换底公式得，，所以，又因为，可得．故选：A.5．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69答案：C【详解】，所以，则，所以，，解得.故选：C.6．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b答案：A【详解】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.7．已知，，，则（

）．A． B． C． D．答案：C【详解】试题分析：因为所以选C．8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033 B．1053C．1073 D．1093答案：D【详解】试题分析：设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.二、多选题9．已知，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．答案：AD【详解】解：，，因此A正确；，因此B不正确；，，解得，因此C不正确；，因此D正确．故选：AD．10．在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（）A．B．C．D．答案：ABD【详解】对于A，，左边，右边，故A错误；对于B，，当时，，故B错误；对于C，由分式指数幂可得，则，故C正确；对于D，，故D错误.∴不正确的是A、B、D.故选：ABD.11．下列运算法则正确的是（

）A．B．C．（且）D．答案：CD【详解】对于A选项，若，则无意义，A选项错误；对于B选项，若，，则无意义，B选项错误；对于C选项，由换底公式可得（且），C选项正确；对于D选项，当，、时，，D选项正确.故选：CD.12．设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．答案：ACD【详解】解：设，则，，，所以，即，所以，所以，故D正确；由，所以，故A正确，B错误；因为，，又，所以，即，故C正确；故选：ACD三、填空题13．计算得________．答案：【详解】.故答案为：14．已知m=2，n=3，则[÷]3的值是______．答案：【详解】m=2，n=3，则原式==m•n-3=2×3-3=，故答案为．15．已知，，试用、表示________．答案：【详解】，，即，解得，．故答案为：.16．计算：________.答案：4【详解】，故答案为：四、解答题17．（1）化简：；（2）计算：．答案：（1）；（2）【详解】（1）原式．（2）原式．18．化简求值：（1）；（2）．答案：（1）37；（2）8.【详解】原式=,（2）原式=1