高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.3椭圆(知识点讲解)(原卷版+解析)

专题9.3椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；②若，则集合P为线段；③若，则集合P为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程1.椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称顶点长轴顶点,短轴顶点长轴顶点,轴顶点焦点焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或．（2）弦中点问题，适用“点差法”.（3）椭圆中点弦的斜率公式若M(x0，y0)是椭圆的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝，即kAB＝.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2023·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）A．13 B．12 C．9 D．6例2.（2023·全国）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（）A．1 B．－1 C． D．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．9【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．题型二：椭圆的标准方程例4.(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．例5.（2023·全国高考真题（文））已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（）A. B. C. D.例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（

）A． B．C． D．【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为．(3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组．(4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．题型三：椭圆的几何性质例7.(2023·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的蒙日圆方程为，，分别为椭圆的左、右焦点.离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（

）A． B． C． D．例9.(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（）A． B． C． D．例10.(2023·四川成都·高三期末（理））已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a，b，c；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.(2023·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．例12.(2023·北京八中高三阶段练习）已知为椭圆上任意一点，为左､右焦点，为中点.如图所示：若，离心率.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线经过且斜率为与椭圆交于两点，求弦长的值.例13.(2023·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．(1)求椭圆的离心率；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有：1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率．3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三.若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或，求距离．题型五：椭圆与圆的相关问题例14.（2023·天津·高考真题（文））设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为B.已知（为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．例16.（2023·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)圆的切线与C相交于A，B两点，P为切点，求的值．【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.专题9.3椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；②若，则集合P为线段；③若，则集合P为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程1.椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称顶点长轴顶点,短轴顶点长轴顶点,轴顶点焦点焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或．（2）弦中点问题，适用“点差法”.（3）椭圆中点弦的斜率公式若M(x0，y0)是椭圆的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝，即kAB＝.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2023·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）A．13 B．12 C．9 D．6答案：C分析：本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．例2.（2023·全国）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（）A．1 B．－1 C． D．答案：A分析：设椭圆的左焦点为，得到，得出，结合图象，得到当且仅当，，三点共线时，取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为，则，可得，所以，如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，此时取得最小值，又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．故选：A．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．9答案：A分析：由已知可得，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为，所以，又记，则，②2-①整理得：，所以故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．题型二：椭圆的标准方程例4.(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．答案：B分析：根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.例5.（2023·全国高考真题（文））已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（）A. B. C. D.答案：B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（

）A． B．C． D．答案：AC分析：设椭圆上顶点为B，由题满足，即，可得，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为，设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，则需，，即，，，则，所以选项AC满足.故选：AC.【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为．(3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组．(4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．题型三：椭圆的几何性质例7.(2023·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．答案：A分析：设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：，设，则，则，故，又，则，所以，即，所以椭圆的离心率.故选：A.例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的蒙日圆方程为，，分别为椭圆的左、右焦点.离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（

）A． B． C． D．答案：B分析：利用椭圆的离心率可得，分析可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆的离心率，所以.因为，所以，所以椭圆的蒙日圆的半径为.因为，所以为蒙日圆的直径，所以，所以.因为，当时，等号成立，所以面积的最大值为：.由面积的最大值为36，得，得，进而有，，故椭圆的长轴长为.故选：B例9.(2023·全国·高考真题（文））已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（）A． B． C． D．答案：C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知，因为，所以，即，所以椭圆的离心率为，故选C.例10.(2023·四川成都·高三期末（理））已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．答案：分析：根据题意可得，且，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．故半径,即，且.又离心率，因为，结合题意有，设，则，易得对勾函数在上单调递增，故在上单调递增，故，即故答案为：【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a，b，c；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.(2023·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．答案：分析：设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，利用点差法可得答案.【详解】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，设中点坐标为，则，所以，两式相减可得，，即，由于在椭圆内部，由得，所以时，即直线与椭圆相切，此时由解得或，所以，所求得轨迹方程为．故答案为：．例12.(2023·北京八中高三阶段练习）已知为椭圆上任意一点，为左､右焦点，为中点.如图所示：若，离心率.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线经过且斜率为与椭圆交于两点，求弦长的值.答案：(1)(2)分析：（1）由题意可得结合求得a，继而求得b，即可得椭圆方程；（2）写出直线l的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长.（1）由题意知，为中点，O为的中点，故,又，故，即，所以，又因为，故，所以，故椭圆的标准方程为；（2）由直线经过且斜率为可知直线方程为，即，联立，消去y可得，解得，则两点不妨取为，故.例13.(2023·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．(1)求椭圆的离心率；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．答案：(1)(2)分析：（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：，离心率为.（2）解：由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，由，①，，由可得，②由可得，③联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有：1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率．3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三.若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或，求距离．题型五：椭圆与圆的相关问题例14.（2023·天津·高考真题（文））设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为B.已知（为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.答案：（I）；（II）.分析：（I）根据题意得到，结合椭圆中的关系，得到，化简得出，从而求得其离心率；（II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得，从而得到椭圆