【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第09讲向量应用(原卷版+解析)

第09讲向量应用【学习目标】1、学会运用向量方法解决平面几何和物理中的问题．2、把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题．【考点目录】考点一：用向量证明线段垂直考点二：用向量解决夹角问题考点三：用向量解决线段的长度问题考点四：向量在几何中的应用考点五：向量在物理中的应用【基础知识】知识点一：向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）．（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）．（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．知识点诠释：用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．知识点二：向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．常见解析几何问题及应对方法：（1）平行问题：常用向量平行的性质．（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．（4）夹角问题：利用公式．知识点三：向量在物理中的应用（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．【考点剖析】考点一：用向量证明线段垂直例1．(2023·全国·高一期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.(1)用表示；(2)如果，用向量的方法证明：.例2．(2023·湖南·高一课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.考点二：用向量解决夹角问题例3．(2023·全国·高一课时练习）在长方形中，，，为线段的中点，为线段上一点（不含端点），利用向量知识判断当点在什么位置时，．例4．(2023·全国·高一课前预习）正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值.考点三：用向量解决线段的长度问题例5．(2023·山东枣庄·高一期中）如图，在中，，，，点在线段上，且．(1)求的长；(2)求．例6．(2023·全国·高一专题练习）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.考点四：向量在几何中的应用例7．(2023·山西·平遥县第二中学校高一阶段练习）用向量法证明以为顶点的四边形是一个矩形.例8．(2023·河南南阳·高一期中）已知四边形ABCD的四个顶点分别为，，，．(1)求向量与夹角的余弦值；(2)证明：四边形ABCD是等腰梯形．考点五：向量在物理中的应用例9．(2023·湖南·高一课时练习）如图，两根绳子把物体W吊在水平杆子AB上．已知物体W的重力G大小为10N，，，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）．例10．(2023·全国·高一单元测试）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．(1)当多大时，船能垂直到达对岸？(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？例11．(2023·全国·高一课时练习）质量的木块，在平行于斜面向上的拉力的作用下，沿倾斜角的光滑斜面向上滑行的距离.（1）分别求物体所受各力对物体所做的功；（2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？【真题演练】1．(2023·全国·高考真题（理））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．2．(2023·天津·高考真题（文））在平行四边形ABCD中,AD=1,,E为CD的中点.若,则AB的长为_____.3．(2023·全国·高一课时练习）已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，，，则的形状为______.4．(2023·天津市第九十五中学益中学校高一阶段练习）如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若，则_________.5．(2023·全国·高一课时练习）设空间中有四个互异的点A､B､C､D，若，则的形状是___________.6．(2023·全国·高一期末）加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为500，则该学生的体重（单位：）约为______．（精确到整数，参考数据：取重力加速度大小为g，）7．(2023·上海·高考真题（理））根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；(2)机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）.8．(2023·全国·高考真题（文））在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cosθ＝，θ∈（0°，90°）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos（θ－45°）＝【过关检测】一、单选题1．(2023·上海市新场中学高一期末）已知非零向量和满足，且，则为(

)A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形2．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（

）A． B．61 C．75 D．603．(2023·全国·高一课时练习）在四边形ABCD中，若，则该四边形为（

）A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形4．(2023·全国·高一单元测试）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（

）A．， B．，C．， D．，5．(2023·全国·高一课时练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（

）A． B． C． D．6．(2023·陕西渭南·高一期末）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（

）A．1000J B． C．2000J D．500J7．(2023·辽宁·沈阳二十中高一期末）如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．(2023·辽宁锦州·高一期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·福建省福州格致中学高一期末）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（

）A．若为的垂心，，则B．若为锐角的外心，且，则C．若，则点的轨迹经过的重心D．若，则点的轨迹经过的内心10．(2023·全国·高一课时练习）（多选）已知，向量与的夹角为30°，则以向量，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（

）A．10 B． C．2 D．2211．(2023·全国·高一课时练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（

）A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为C．当时， D．当时，12．(2023·江苏·金沙中学高一期末）直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（

）A．的取值范围是B．点经过的外心C．点所在轨迹的长度为2D．的取值范围是三、填空题13．(2023·山东东营·高一期中）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为__________14．(2023·全国·高一课时练习）已知力，且和三个力的合力为，则__________．15．(2023·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.16．(2023·江苏省江浦高级中学高一期末）在平行四边形中，，垂足为P，若，则_________．四、解答题17．(2023·全国·高一课前预习）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过小时，该船的实际航程是多少?18．(2023·全国·高一课时练习）已知正方形ABCD的边长为1．E是AB上的一个动点，求的值及的最大值．19．(2023·全国·高一课时练习）如图，设分别是梯形的对角线的中点.(1)试用向量的方法证明：；(2)若，求的值.20．(2023·全国·高一课时练习）已知某人在静水中游泳的速度为，河水的流速度为，现此人在河中游泳．(1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？参考数据：．21．(2023·四川成都·高一期末（文））已知平面四边形中，，向量的夹角为.(1)求证：；(2)点是线段中点，求的值.22．(2023·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点.(1)求向量与向量的夹角；(2)若O是线段上任意一点，求的最小值.第09讲向量应用【学习目标】1、学会运用向量方法解决平面几何和物理中的问题．2、把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题．【考点目录】考点一：用向量证明线段垂直考点二：用向量解决夹角问题考点三：用向量解决线段的长度问题考点四：向量在几何中的应用考点五：向量在物理中的应用【基础知识】知识点一：向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）．（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）．（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．知识点诠释：用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．知识点二：向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．常见解析几何问题及应对方法：（1）平行问题：常用向量平行的性质．（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．（4）夹角问题：利用公式．知识点三：向量在物理中的应用（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．【考点剖析】考点一：用向量证明线段垂直例1．(2023·全国·高一期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.(1)用表示；(2)如果，用向量的方法证明：.【解析】（1）因为点是的中点，所以.因为，,所以.所以，.（2）由（1）可得：，.因为，所以，所以.例2．(2023·湖南·高一课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.【解析】因为，所以，即，故.考点二：用向量解决夹角问题例3．(2023·全国·高一课时练习）在长方形中，，，为线段的中点，为线段上一点（不含端点），利用向量知识判断当点在什么位置时，．【解析】设，，取为基底，且，，，为向量与的夹角．∵为线段上一点，∴可设，∴，而．∴，，，∴，所以或，又，所以，∴当为线段的一个三等分点（靠近点）时，．例4．(2023·全国·高一课前预习）正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值.【解析】以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：，故.考点三：用向量解决线段的长度问题例5．(2023·山东枣庄·高一期中）如图，在中，，，，点在线段上，且．(1)求的长；(2)求．【解析】（1）设，，则．．故．（2）因为．所以例6．(2023·全国·高一专题练习）证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知：平行四边形ABCD．求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.【解析】证明:不妨设，，则，，，，得①同理②，①②得：所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.得证.考点四：向量在几何中的应用例7．(2023·山西·平遥县第二中学校高一阶段练习）用向量法证明以为顶点的四边形是一个矩形.【解析】证明：因为，故，不为零向量，且不与平行，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.又，所以，故以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形.例8．(2023·河南南阳·高一期中）已知四边形ABCD的四个顶点分别为，，，．(1)求向量与夹角的余弦值；(2)证明：四边形ABCD是等腰梯形．【解析】(1)因为，，所以．(2)因为，所以，即，而，，故不存在使，即不平行，又，，故，综上，四边形ABCD是等腰梯形．考点五：向量在物理中的应用例9．(2023·湖南·高一课时练习）如图，两根绳子把物体W吊在水平杆子AB上．已知物体W的重力G大小为10N，，，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）．【解析】如图所示，设,分别表示点A和B处所受力，10N的重力用表示.则由.

因为所以所以,.所以A处所受力的大小为N,B处所受力的大小为N.例10．(2023·全国·高一单元测试）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．(1)当多大时，船能垂直到达对岸？(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？【解析】（1）船垂直到达对岸，即且与垂直，即，所以，即，所以，解得；（2）设船航行到对岸所需的时间为，则，所以当时，船的航行时间最短为，而当船垂直到达对岸时，由（1）知，所需时间，，故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短．例11．(2023·全国·高一课时练习）质量的木块，在平行于斜面向上的拉力的作用下，沿倾斜角的光滑斜面向上滑行的距离.（1）分别求物体所受各力对物体所做的功；（2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？【解析】（1）木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如图所示.拉力与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为；支持力与位移方向垂直，不做功，所以；重力对物体所做的功为.（2）物体所受各力对物体做功的代数和为.【真题演练】1．(2023·全国·高考真题（理））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．答案：B【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．2．(2023·天津·高考真题（文））在平行四边形ABCD中,AD=1,,E为CD的中点.若,则AB的长为_____.答案：【解析】设AB的长为，因为，，所以==+1+=1，解得，所以AB的长为.【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.3．(2023·全国·高一课时练习）已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，，，则的形状为______.答案：等腰直角三角形【解析】由已知，得，，∴，∴，，又，∴是等腰直角三角形.故答案为：等腰直角三角形.4．(2023·天津市第九十五中学益中学校高一阶段练习）如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若，则_________.答案：14【解析】以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系则A（0，0），B（3，0），C（3，4），D（0，4），因为点E为BC的中点，且，所以E（3，2），F（2，4），故，所以故答案为：.5．(2023·全国·高一课时练习）设空间中有四个互异的点A､B､C､D，若，则的形状是___________.答案：等腰三角形【解析】因为，所以，则，即，所以的形状是等腰三角形，故答案为：等腰三角形6．(2023·全国·高一期末）加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为500，则该学生的体重（单位：）约为______．（精确到整数，参考数据：取重力加速度大小为g，）答案：87【解析】设两只胳膊的拉力分别为，，，，故故，解得，则学生的体重约为．故答案为：.7．(2023·上海·高考真题（理））根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；(2)机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）.【解析】（1）如图，设点，所以，因为与x轴正方向的夹角为45°，所以，，故指令为.（2）设，机器人最快在点处截住小球，由题意知，即，整理得，即，所以或（舍去），即机器人最快可在点处截住小球.设与的夹角为，易知，，，所以，所以.因为由的方向旋转到的方向是顺时针旋转，所以指令为.8．(2023·全国·高考真题（文））在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cosθ＝，θ∈（0°，90°）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos（θ－45°）＝【解析】设th后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，,∵，∴,即，依题意得，解得，从而12h后该城市开始受到台风的侵袭．【过关检测】一、单选题1．(2023·上海市新场中学高一期末）已知非零向量和满足，且，则为(

)A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形答案：A【解析】即方向上的单位向量，即方向上的单位向量，∴向量与的平分线共线，又由可知的平分线与对边垂直，则△ABC是等腰三角形，即，，∴，∵，∴，∴△ABC为等边三角形．故选：A．2．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（

）A． B．61 C．75 D．60答案：D【解析】如图，，，作平行四边形，则是菱形，，，所以，因此该学生体重为（kg）.故选：D．3．(2023·全国·高一课时练习）在四边形ABCD中，若，则该四边形为（

）A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形答案：B【解析】由得，所以，∥，所以四边形ABCD为平行四边形，又，所以．所以四边形ABCD为矩形故选：B4．(2023·全国·高一单元测试）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（

）A．， B．，C．， D．，答案：C【解析】如图所示：设两根绳子的拉力分别为，.作，使，.在中，，所以，所以，，所以，故两根绳子拉力的大小分别为，.故选：C.5．(2023·全国·高一课时练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由题意知，则，因为，，即，所以.故A，C，D错误.故选：B.6．(2023·陕西渭南·高一期末）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（

）A．1000J B． C．2000J D．500J答案：A【解析】因为且与小车的位移方向的夹角为，又力作用于小车，使小车发生了40米的位移，则力做的功为．故选：A．7．(2023·辽宁·沈阳二十中高一期末）如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点作轴，过点作轴，因为且，则，所以，设，则，所以，所以的最小值为.故答案为：B.8．(2023·辽宁锦州·高一期末）已知，，，，点D在边上且，则长度为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】中，点D在边上且，则又，，，则，即长度为故选：D二、多选题9．(2023·福建省福州格致中学高一期末）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（

）A．若为的垂心，，则B．若为锐角的外心，且，则C．若，则点的轨迹经过的重心D．若，则点的轨迹经过的内心答案：ABC【解析】对于A选项，因为，，又因为为的垂心，所以，所以，故正确；对于B选项，因为且，所以，整理得：，即，设为中点，则，所以三点共线，又因为，所以垂直平分，故，正确；对于C选项，由正弦定理得，所以，设中点为，则，所以，所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确；对于D选项，因为，设中点为，则，所以，所以，所以，即，所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误.故选：ABC10．(2023·全国·高一课时练习）（多选）已知，向量与的夹角为30°，则以向量，为邻边的平行四边形的一条对角线的长度可能是（

）A．10 B． C．2 D．22答案：BC【解析】设．则,过点作于点，则，所以，可得，过点作于点，则,又由，所以，即.故选：BC.11．(2023·全国·高一课时练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.下列结论中正确的是（

）A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为C．当时， D．当时，答案：AD【解析】对于A，根据题意，得，所以，解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确；对于B，由题意知的取值范围是，故B错误；对于C，因为，所以当时，，所以，故C错误；对于D，因为，所以当时，，所以，故D正确.故选：AD.12．(2023·江苏·金沙中学高一期末）直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（

）A．的取值范围是B．点经过的外心C．点所在轨迹的长度为2D．的取值范围是答案：ABD【解析】由，又斜边，则，则，A正确；若为中点，则，故，又，所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；由上，则，又，则，当且仅当等号成立，所以，D正确.故选：ABD三、填空题13．(2023·山东东营·高一期中）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为__________答案：【解析】一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力，因为，与水平夹角均为，，由向量加法的平行四边形法则可知的方向是竖直向上的，且，所以物体的重力大小为故答案为:14．(2023·全国·高一课时练习）已知力，且和三个力的合力为，则__________．答案：【解析】设，则，即，解得，所以.故答案为：.15．(20