高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示(真题测试)(原卷版+解析)

专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高考真题（文））已知向量，则（）A． B．2C．5 D．502．（2023·全国·高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（）A．-3 B．-2C．2 D．33.（2023·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（

）A．或 B．或C．或 D．或4．(2023·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．(2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知是边长为a的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（

）A． B． C． D．6．(2023·上海奉贤·二模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为（

）A． B． C． D．7．(2023·全国·高考真题（理））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．8.(2023·四川·高考真题（文））已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是（）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·广东广州·三模）已知向量，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．10．(2023·湖北·模拟预测）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（

）A．最大值为 B．最大值为1C．最大值是2 D．最大值是11．(2023·湖北·荆州中学模拟预测）已知向量，，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．存在，使得C．与共线的单位向量只有一个为D．向量与夹角的余弦值范围是12．(2023·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量，则下列命题正确的是（

）A．存在，使得 B．当时，与垂直C．对任意，都有 D．当时，三、填空题13．（2023·全国高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.14.(2023·全国·高考真题（理））已知向量，，．若，则________．15.（2023·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．16.(2023·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．四、解答题17．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、.若，求的值18．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4).O为坐标原点，若动点S满足向量，求的最大值19．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，，，.(1)用，表示；(2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.20．（2023·全国·高三专题练习）已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．(1)若∥，求的值；(2)若⊥（＋2），求实数k的值；(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．21．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4).若Q是线段BC上的动点，求的最值22．(2023·江苏·高考真题）已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高考真题（文））已知向量，则（）A． B．2C．5 D．50答案：A【解析】分析：本题先计算，再根据模的概念求出．【详解】由已知，，所以，故选A2．（2023·全国·高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（）A．-3 B．-2C．2 D．3答案：C【解析】分析：根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，，得，则，．故选C．3.（2023·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（

）A．或 B．或C．或 D．或答案：C【解析】分析：由二次函数对称轴设出点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得．【详解】由题意函数图象的对称轴是，设，因为，所以，解得或，所以或，故选：C．4．(2023·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，写出坐标，设，用数量积的坐标表示计算数量积后由正弦函数性质得范围．【详解】以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，圆方程为，在圆上，设，，，，，所以．故选：B．5．(2023·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知是边长为a的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：建立平面直角坐标系，用坐标表示出、和，计算的最小值即可．【详解】解：以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则，，，设，则，，，所以，所以；所以当，时，取得最小值是．故选：B．6．(2023·上海奉贤·二模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：以为原点建立平面坐标系，设，，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解．【详解】设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示，不妨设，，则，，由可得，即，∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上，同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上．显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大．设圆心为，则，∴，则，∴，设与轴交于点，由对称性可知轴，且，∴，即当与的夹角最大时，故选：C7．(2023·全国·高考真题（理））已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．答案：B【解析】分析：根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．8.(2023·四川·高考真题（文））已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是（）A． B． C． D．答案：B【解析】【详解】试题分析：如图可得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．二、多选题9．(2023·广东广州·三模）已知向量，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．答案：ABC【解析】分析：按照向量数量积的坐标运算、模的坐标运算、夹角公式及平行的坐标公式依次判断即可.【详解】，A正确；，B正确；，则，C正确；，D错误.故选：ABC.10．(2023·湖北·模拟预测）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（

）A．最大值为 B．最大值为1C．最大值是2 D．最大值是答案：BCD【解析】分析：以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，根据三角函数的性质可判断各选项.【详解】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，，，，设，则，，，由，得且，，故A错；时，故B正确；，故C正确；，故D正确．故选：BCD.11．(2023·湖北·荆州中学模拟预测）已知向量，，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．存在，使得C．与共线的单位向量只有一个为D．向量与夹角的余弦值范围是答案：AB【解析】分析：根据向量垂直的坐标表示判断A、B，根据单位向量的定义判断C，根据向量夹角的坐标表示及正弦函数的性质判断D；【详解】解：对于A选项：若，则，，．故A正确；对于B：若，则，即，所以，即，由A可知，，因为，所以，故B正确；对于C选项：与共线的单位向量为，故为或，故C选项错误；对于D选项：设向量与夹角为，则，因为，所以，所以，故，故D错误；故选：AB．12．(2023·湖南·长郡中学模拟预测）已知向量，则下列命题正确的是（

）A．存在，使得 B．当时，与垂直C．对任意，都有 D．当时，答案：BD【解析】分析：A选项，利用向量平行及三角函数恒等变换得到方程，，故A错误；B选项，利用垂直得到方程，求出正切值；C选项，计算出两向量的模长，得到，C错误；利用向量的数量积列出，平方后得到，求出正切值.【详解】对于选项A：若，则，即，所以不存在这样的，故A错误；对于选项B：若，则，即，得，故B正确；对于选项C：，当时，，此时，故C错误；对于选项D：，两边同时平方得，化简得，等式两边同除以得，即，所以，故D正确.故选：BD.三、填空题13．（2023·全国高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.答案：【解析】因为为单位向量，所以所以解得：所以故答案为：14.(2023·全国·高考真题（理））已知向量，，．若，则________．答案：【解析】分析：由两向量共线的坐标关系计算即可．【详解】由题可得,即故答案为15.（2023·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．答案：【解析】分析：根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．16.(2023·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．答案：【解析】分析：根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：则,，设,于是，因为，所以，故的取值范围是.故答案为：．四、解答题17．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、.若，求的值答案：【解析】分析：设出，利用向量的坐标公式求出四边对应的向量，据对边平行得到向量相等，利用向量相等的充要条件列出方程组求出的坐标，从而求出、、的坐标，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可．【详解】解：设，，，，则，，又，，解得，即，所以，，，因为，所以，所以，解得，所以18．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4).O为坐标原点，若动点S满足向量，求的最大值答案：【解析】分析：先利用求出D点坐标，再结合求出S的轨迹是圆，最后利用O到圆心的距离加半径求出最大值即可.【详解】设，，由得，解得，故，设，，则由得，即S的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，故的最大值为O到圆心的距离加半径，即.19．（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，，，.(1)用，表示；(2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.答案：(1)(2)，【解析】分析：（1）根据向量的加法及数乘运算求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解即可.(1)，，又，所以所以(2)过点D作AB的垂线交AB于点，如图，于是在中，由可知，根据题意得各点坐标：，，，，，，所以所以，，,20．（2023·全国·高三专题练习）已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．(1)若∥，求的值；(2)若⊥（＋2），求实数k的值；(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．答案：(1)3；(2)k＝；(3)k＜且k≠－6.【解析】分析：（1）解方程1×k－2×＝0即得解；（2）解方程1×＋2×＝0即得解；（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.(1)解：因为向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，所以＝＝3．(2)解：因为＋2＝，且⊥，所以1×＋2×＝0，解得k＝．(3)解：因为与的夹角是钝角，则＜0且与不共线．即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．21．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4).若Q是线段BC上的动点，求的最值答案：最小值，最大值57.【解析】分析：根据平行四边形，求出D点的坐标，分别求出的解析式，根据解析式求出最值，再综合考虑即可.【详解】依题意作上图，点D的位置有3个，分别为，下面分别求出这3个位置的坐标：设，则有，解得；，解得；，解得；∵点Q在BC上，设，则有，()，，，，，，当时，取最小值=

，最大值=11；，当时，取最小值=，最大值=-11；，当时，取最小值=11，最大值=57；