高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)07利用不等式的性质求范围(原卷版+解析)

常考题型07利用不等式的性质求范围不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔b<a.(2)传递性：a>b，b>c→a>c.(3)可加性：a>b⇒a+c>b+c.(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.(5)加法法则：a>b，c>d→a+c>b+d.(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒aⁿ>bⁿ(n∈N，n≥2).(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈N1.一般方法(1)借助不等式的性质，转化为同向不等式相加进行解答；(2)整体使用所给条件，切不可随意拆分所给条件；(3)结合不等式的传递性进行求解.2.由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d求f(x，y)的取值范围可利用待定系数法解决，即设f(x，y)=mf(x，y)+ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得f(x，y)的取值范围.3.两点注意：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围。已知，满足的解集为集合，则下列命题为真命题的是（

）A．， B．，C．， D．，思路分析：思路分析：利用整体思想，设，利用待定系数法解出与，然后根据不等式的基本性质得出的取值范围并判断所给选项的正误。【变式练习】1．,,,,设,则下列判断中正确的是(

)A． B． C． D．2．已知实数满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．一、单选题1．已知，，则的范围是（

）A． B． C． D．2．已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．已知实数，满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．若实数x，y满足，则的取值范围（

）A． B． C． D．5．，，，，设，则下列判断中正确的是（

）A． B． C． D．6．已知满足则的取值范围是A． B．C． D．7．已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（

）A．8 B．10 C．11 D．12二、多选题9．已知实数，满足，，则可能取的值为（

）A． B． C． D．10．已知，，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．11．已知实数x，y满足，则（

）A． B． C． D．12．已知a，b，，若，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．c的最大值为1 D．a的最小值为-1三、填空题13．若，，，则t的取值范围为______．14．已知，且，则的取值范围是___________.15．若实数满足，，则的取值范围为________．16．设，若时均有，则________．四、解答题17．实数，满足，.(1)求实数的取值范围；(2)求的取值范围．18．（1）已知，求的取值范围；（2）若，求证：；19．（1）比较与的大小；（2）已知，且，①求证：．②求的取值范围．20．若实数、、满足，则称比接近.（1）若比1接近3，求的取值范围；（2）已知函数定义域，对于任意的，等于与中接近0的那个值，写出函数的解析式，若关于的方程有两个不同的实数根，求的取值范围；（3）已知，，且，求证：比接近0.常考题型07利用不等式的性质求范围不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔b<a.(2)传递性：a>b，b>c→a>c.(3)可加性：a>b⇒a+c>b+c.(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.(5)加法法则：a>b，c>d→a+c>b+d.(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒aⁿ>bⁿ(n∈N，n≥2).(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈N1.一般方法(1)借助不等式的性质，转化为同向不等式相加进行解答；(2)整体使用所给条件，切不可随意拆分所给条件；(3)结合不等式的传递性进行求解.2.由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d求f(x，y)的取值范围可利用待定系数法解决，即设f(x，y)=mf(x，y)+ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得f(x，y)的取值范围.3.两点注意：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围。已知，满足的解集为集合，则下列命题为真命题的是（

）A．， B．，C．， D．，思路分析：思路分析：利用整体思想，设，利用待定系数法解出与，然后根据不等式的基本性质得出的取值范围并判断所给选项的正误。【解析】令，则，解得，，故，又，故，又，所以.故选：C.答案：C【变式练习】1．,,,,设,则下列判断中正确的是(

)A． B． C． D．答案：B【解析】试题分析：a、b、c、d∈R＋，2．已知实数满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】解：令，，则，则，，，又，，∴，故选：B．3．已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】令，∴，即，∴，故.故选：D一、单选题1．已知，，则的范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，故，，得故选：B2．已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】设，所以，解得：，因为，所以，故选：A.3．已知实数，满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以.故选：B4．若实数x，y满足，则的取值范围（

）A． B． C． D．答案：A【解析】解：设，则，解得，故，又因，所以，所以.故选：A.5．，，，，设，则下列判断中正确的是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】解：，，，，，；，.故选：D6．已知满足则的取值范围是A． B．C． D．答案：A【解析】设比较的系数，得从而解得即，由题得，两式相加，得.故选A.7．已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】设，，解得，，，，，由不等式的性质可得，即，因此，的取值范围是，故选D.8．已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（

）A．8 B．10 C．11 D．12答案：B【解析】因为，所以，当时，则，即，可得可取；当时，则，可得可取；当时，则，解得，或，进而解得为；当时，则，可得为；所以方程的解的个数为，故选：B.二、多选题9．已知实数，满足，，则可能取的值为（

）A． B． C． D．答案：BC【解析】由题意，实数，满足，，令，即，可得，解得，所以，则，，所以.故选：BC.10．已知，，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】，故A正确；故B不正确；设，则，故C正确、D错误；故选：AC11．已知实数x，y满足，则（

）A． B． C． D．答案：ABD【解析】对于A：因为，所以，则，即，故A正确；对于B：又，，所以，即，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：ABD12．已知a，b，，若，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．c的最大值为1 D．a的最小值为-1答案：ABC【解析】由，得，，设，则.，，解得，即，，故AB正确；，即.，即.由a，知，.∴，解得，同理可得，故C正确，D错误.故选：ABC.三、填空题13．若，，，则t的取值范围为______．答案：【解析】设，则，解得．因为，，所以，即．故答案为：.14．已知，且，则的取值范围是___________.答案：【解析】由可得：，令，整理可得：，所以，解得：，所以，将两边同时乘以，可得，①将两边同时乘以，可得，②两式相加可得：，即，因为，所以，所以的取值范围是，故答案为：.15．若实数满足，，则的取值范围为________．答案：【解析】设，解得，所以．又，，，所以.故答案为：．16．设，若时均有，则________．答案：【解析】，当时，，不满足题意；当时，时，，，不满足题意；当时，设，，函数均过定点，函数与轴的交点为，如图当直线绕旋转时，只有当与都交于x轴时才能满足，故过点，即，解得或（舍去）.故答案为：.四、解答题17．实数，满足，.(1)求实数的取值范围；(2)求的取值范围．答案：(1)；(2).分析：（1）解：由，两式相加得，，∴，即实数a的取值范围为．（2）解：设，则，解得，∴，∵，．∴，，∴，即的取值范围为．18．（1）已知，求的取值范围；（2）若，求证：；答案：（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）令，∴，可得，则，而，∴.（2），又，∴，则，得证.19．（1）比较与的大小；（2）已知，且，①求证：．②求的取值范围．答案：（1）当时，，当时，，当时，；（2）①证明详见解析；②.【解析】解：（1），当时，，故，当时，，故，当时，，故；（2）①证明：且，，，，两边取倒数得，又，，从而得证．②且，，所以，，因为，所以，即，所以，即，综上，.20．若实数、、满足，则称比接近.（1）若比1接近3，求的取值范围；（2）已知函数定义域，对于任意的，等于与中接近0的那个值，写出函数的解析式，若关于