高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.6空间向量及其运算和空间位置关系(真题测试)(原卷版+解析)

专题8.6空间向量及其运算和空间位置关系（真题测试）一、单选题1．（2023·黑龙江·建三江分局第一中学高三期中（文））已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（

）A． B． C． D．42．（2023·全国·高三专题练习）直三棱柱中，若，，，则（

）A． B． C． D．3．(2023·上海·高考真题（理））设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为（）A．0 B．1 C．5 D．104．（北京·高考真题（理））在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A． B．且C．且 D．且5．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则（

）A． B． C．1 D．6．（2023·全国·高三专题练习），若三向量共面，则实数（

）A．3 B．2 C．15 D．57．（2023·全国·高三专题练习）正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（

）A． B．C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（

）A．//B．C．//平面D．平面二、多选题9．(2023·湖北·二模）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（

）A． B．C．若，则 D．10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（

）A．对任意点，则有、、、四点共面B．存在点，使得、、、四点共面C．对任意点，则有平面D．存在点，使得平面11．(2023·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，点M，N分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（

）A． B．三棱锥的体积为定值C． D．的最小值为12．（2023·全国·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（

）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面三、填空题13．(2023·全国·高考真题）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________14．（广东·高考真题（理））若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝________．15．（宁夏·高考真题（理））已知向量，且，则____________．16．(2023·全国·高三专题练习（理））在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．四、解答题17．（江苏·高考真题）记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．18．(2023·全国·高三专题练习）如图，已知为空间的9个点，且，，求证：（1）四点共面，四点共面；（2）；（3）.19．（2023·全国·高三专题练习）已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点的坐标；（2）求线段的长度；（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．20．(2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz．（1）写出点E，F的坐标；（2）求证：A1F⊥C1E；（3）若A1，E，F，C1四点共面，求证：．21．（2023·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（理））如下图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点分别是的中点，求：(1)的值；(2)线段EG的长；(3)异面直线与所成角的大小.22．（2023·江苏·矿大附中高三阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．(1)求证：平面；(2)若线段上总存在一点，使得，求的最大值．专题8.6空间向量及其运算和空间位置关系（真题测试）一、单选题1．（2023·黑龙江·建三江分局第一中学高三期中（文））已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（

）A． B． C． D．4答案：C【解析】分析：结合向量夹角，先求解，再求解.【详解】．故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）直三棱柱中，若，，，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根据空间向量的线性运算直接可得解.【详解】由已知得，故选：A.3．(2023·上海·高考真题（理））设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为（）A．0 B．1 C．5 D．10答案：B【解析】【详解】考点：向量的加法及其几何意义．分析：根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点．解：根据所给的四个向量的和是一个零向量，当A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点确定以后，在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量，故选B．4．（北京·高考真题（理））在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A． B．且C．且 D．且答案：D【解析】【详解】分析：试题分析：结合其空间立体图形易知，，，所以且，故选D．5．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则（

）A． B． C．1 D．答案：A【解析】分析：根据已知条件，由，利用向量数量积的定义及运算律即可求解.【详解】解：因为三棱锥中，，，，所以，故选：A.6．（2023·全国·高三专题练习），若三向量共面，则实数（

）A．3 B．2 C．15 D．5答案：D【解析】分析：利用向量共面的坐标运算进行求解即可.【详解】∵，∴与不共线，又∵三向量共面，则存在实数m，n使即，解得．故选：D．7．（2023·全国·高三专题练习）正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，所以，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，又，所以，，所以的取值范围为．故选：D．8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（

）A．//B．C．//平面D．平面答案：B【解析】分析：建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，是底面的中心，分别是的中点，则，，，对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；对于B，因，则，即，B正确；对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.故选：B二、多选题9．(2023·湖北·二模）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（

）A． B．C．若，则 D．答案：BD【解析】分析：理解新定义，对选项逐一判断【详解】对于A，若为负数，可知，故A错误，对于B，由定义知B正确，对于C，若，则，共线，故C错误，对于D，由定义知，故D正确．故选：BD10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（

）A．对任意点，则有、、、四点共面B．存在点，使得、、、四点共面C．对任意点，则有平面D．存在点，使得平面答案：BD【解析】分析：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】因为底面，四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、、、，设，其中，则，，，设，则，解得，故存在点，使得、、、四点共面，B对；，，，设，所以，，解得，不合乎题意，A错；，，若平面，平面，则，解得，C错；设平面的法向量为，，，则，取，则，，若平面，则，解得，故当点与点重合时，平面，D对.故选：BD.11．(2023·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，点M，N分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（

）A． B．三棱锥的体积为定值C． D．的最小值为答案：ABC【解析】分析：证明平面，可判断A；由平面，可得点到平面的距离为定值，又为定值，可判断B；计算的取值范围可判断C；结合C可判断D.【详解】选项A，连接，由正方体可知，且平面，而，又，所以平面，而平面，所以，即，故A正确；选项B，连接，，，，，，由点，分别为线段，的中点，得，平面，平面，故平面，即点到平面的距离为定值，又，，故为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；选项C，连接，，由点为线段上的动点，设，，故，，所以，当时，取最小值为，当时，取最大值为，故，即，，故C正确；选项D，，当时，的最小值为，故D错误.故选：ABC.12．（2023·全国·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（

）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面答案：BD【解析】分析：对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．【详解】易知，点在矩形内部（含边界）．对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．故选：BD．三、填空题13．(2023·全国·高考真题）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________答案：【解析】【详解】如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为的坐标为，所以,所以.14．（广东·高考真题（理））若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝________．答案：【解析】分析：利用空间向量的坐标运算和数量积表示求解.【详解】解：，解得故答案为：15．（宁夏·高考真题（理））已知向量，且，则____________．答案：3【解析】分析：利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可.【详解】因为，所以，可得，因为，解得，故答案为3.16．(2023·全国·高三专题练习（理））在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．答案：【解析】分析：如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，然后利用空间向量表示出的关系，从而可求得结果【详解】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，（）则，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为t>0所以实数t的取值范围是，故答案为：四、解答题17．（江苏·高考真题）记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．答案：【解析】分析：【详解】建构如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则相关点的坐标分别为：､､､，则.由，得，而；又.由，化简得，解得.18．(2023·全国·高三专题练习）如图，已知为空间的9个点，且，，求证：（1）四点共面，四点共面；（2）；（3）.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）利用共面向量定理证明四点共面；（2）利用向量加减及数运算找到的关系，证明；（3）利用向量加减及数运算可得.【详解】证明：（1），∴A、B、C、D四点共面．，∴E、F、G、H四点共面．（2）.（3）.19．（2023·全国·高三专题练习）已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点的坐标；（2）求线段的长度；（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．答案：（1）；（2）；（3）不垂直，理由见解析.【解析】分析：（1）根据长方体的长，宽，高，结合中点坐标公式，即可得出点的坐标；（2）根据空间中两点的距离公式求解即可；（3）由空间中向量的数量积公式，证明即可.【详解】（1）由于为坐标原点，所以由得：点N是AB的中点，点M是的中点，；（2）由两点距离公式得：，；（3）直线与直线不垂直理由：由（1）中各点坐标得：与不垂直，所以直线与直线不垂直20．(2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz．（1）写出点E，F的坐标；（2）求证：A1F⊥C1E；（3）若A1，E，F，C1四点共面，求证：．答案：（1）E(a，x，0)，F(a－x，a，0)；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】分析：(1)在空间直角坐标中结合正方体结构特征，能求出E,F的坐标；(2)求出，利用向量法能证明A1F⊥C1E；(3)由A1，E，F，C1四点共面，得到,从而E,F,分别AB,BC的中点，由此能证明.【详解】（1）在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点且，其中以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz，所以E(a，x，0)，F(a－x，a，0)．（2）证明：∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，∴＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴⊥，∴A1F⊥C1E．（3）证明：∵A1，E，F，C1四点共面，共面．选与为在平