高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题14幂函数与对勾函数(原卷版+解析)

微专题14幂函数与对勾函数【方法技巧与总结】知识点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．知识点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．知识点二、幂函数的图象及性质1、作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．知识点三、对勾函数的图象及性质（1）定义域：；（2）值域：；（3）奇偶性：奇函数，函数图象整体呈两个“对勾”的形状，且函数图象关于原点呈中心对称，即；（4）图象在一、三象限，当时，，（当且仅当取等号），即在时，取最小值；由奇函数性质知：当时，在时，取最大值；（5）单调性：增区间为，减区间是．当时，类同．【题型归纳目录】题型一：幂函数的定义、性质与图像题型二：对勾函数的图象及性质【典型例题】题型一：幂函数的定义、性质与图像例1．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例2．(2023·全国·高一课时练习）已知，则函数的图像不可能是（

）A． B．C． D．例3．(2023·全国·高一单元测试）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（

）A． B．C． D．例4．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（

）A．奇函数 B．偶函数C．在单调递减 D．定义域为例5．（多选题）(2023·全国·高一单元测试）已知幂函数的图象经过点，则（

）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．当时， D．当时，例6．(2023·全国·高一课时练习）幂函数在上单调递减，则的值为______．例7．(2023·全国·高一期中）已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．例8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．例9．(2023·全国·高一课时练习）已知幂函数的定义域为全体实数R.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.例10．(2023·全国·高一课时练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．例11．(2023·广西河池·高一阶段练习）已知幂函数在上单调递增，函数．(1)求实数m的值；(2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围．例12．(2023·全国·高一学业考试）已知幂函数的图象经过点，则______，若，则实数的取值范围是______．题型二：对勾函数的图象及性质例13．(2023·重庆复旦中学高一期中）因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”，该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数．(1)若函数，，求的最值；(2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．例14．(2023·河南洛阳·高一期中）因函数(t>0)的图象形状象对勾，我们称形如“(t>0)”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在(0,]上是减函数，在(,+)上是增函数.（1）已知利用上述性质，求函数的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意[1,3]，总存在[1,3]，使得成立，求实数m的取值范围.例15．(2023·贵州省思南中学高一阶段练习）已知（双勾函数）．（1）利用函数的单调性证明在上的单调性；（2）证明f（x）的奇偶性；（3）画出的简图，并直接写出它单调区间．例16．(2023·山东济南·高一期中）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则________.例17．(2023·河北易县中学高一期中）已知勾函数在和内均为增函数，在和内均为减函数．若勾函数在整数集合内为增函数，则实数的取值范围为___________．【过关测试】一、单选题1．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（

）A． B．C． D．2．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（

）A．－1 B．－1或3 C．3 D．23．(2023·全国·高一）若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是（

）A．为奇函数B．若，则C．为偶函数D．若，则4．(2023·广东·揭阳华侨高中高一期中）已知函数是幂函数，且时，f(x)是增函数，则m的值为（

）A．-1 B．2 C．-1或2 D．35．(2023·全国·高一专题练习）已知，若，则（

）A．－2 B．－1 C． D．26．(2023·全国·高一课时练习）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断7．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题8．(2023·广东揭阳·高一期末）已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（

）A．为偶函数 B．为增函数C．若，则 D．若，则9．(2023·全国·高一课时练习）已知幂函数，则（

）A． B．定义域为C． D．10．(2023·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知，且，则下列式子一定成立的是（

）．A． B． C． D．11．(2023·福建福州·高一期中）方程的解可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程的各个实根所对应的点均在直线的同侧，则实数a可能取值是（

）.A． B．C． D．三、填空题12．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在内是单调递减函数，则实数______．13．(2023·山东济宁·高一期末）已知是奇函数，当时，，则______．14．(2023·全国·高一课时练习）设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.15．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.四、解答题16．(2023·安徽·池州市贵池区乌沙中学高一期中）已知幂函数的图像过点.(1)求的值；(2)证明：函数是增函数.17．(2023·上海市大同中学高一期末）已知幂函数为偶函数，．(1)求的解析式；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；(3)若函数在上是严格增函数，求k的取值范围．18．(2023·云南·祥云祥华中学高一期末）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.(1)求函数的解析式.(2)若，求的取值范围.微专题14幂函数与对勾函数【方法技巧与总结】知识点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．知识点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．知识点二、幂函数的图象及性质1、作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．知识点三、对勾函数的图象及性质（1）定义域：；（2）值域：；（3）奇偶性：奇函数，函数图象整体呈两个“对勾”的形状，且函数图象关于原点呈中心对称，即；（4）图象在一、三象限，当时，，（当且仅当取等号），即在时，取最小值；由奇函数性质知：当时，在时，取最大值；（5）单调性：增区间为，减区间是．当时，类同．【题型归纳目录】题型一：幂函数的定义、性质与图像题型二：对勾函数的图象及性质【典型例题】题型一：幂函数的定义、性质与图像例1．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】函数在上单调递减，其函数值集合为，当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，因函数的值域为，则有，解得，所以实数的取值范围为.故选：D例2．(2023·全国·高一课时练习）已知，则函数的图像不可能是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现.故选：A例3．(2023·全国·高一单元测试）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】设幂函数为，因为幂函数的图象经过点，所以，即，解得，所以，则函数的定义域为，所以排除CD，因为，所以在上为减函数，所以排除B，故选：A例4．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（

）A．奇函数 B．偶函数C．在单调递减 D．定义域为答案：C【解析】设幂函数，由题意得：，故，定义域为，故D错误；定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A，B错误；由于，故在在单调递减，C正确，故选：C例5．（多选题）(2023·全国·高一单元测试）已知幂函数的图象经过点，则（

）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．当时， D．当时，答案：ACD【解析】设幂函数，则，解得，所以，所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，当时，，故C正确，当时，，又，所以，D正确．故选：ACD.例6．(2023·全国·高一课时练习）幂函数在上单调递减，则的值为______．答案：2【解析】因为函数是幂函数，则有，解得或，当时，函数在上单调递增，不符合题意，当时，函数在上单调递减，符合题意.所以的值为故答案为：例7．(2023·全国·高一期中）已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．答案：【解析】幂函数在上是减函数，，解得，，或．当时，为偶函数满足条件，当时，为奇函数不满足条件，则不等式等价为，即，在R上为增函数，，解得：.故答案为：.例8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．答案：＜【解析】因为函数为幂函数，所以，即，解得m＝－1或m＝2．当m＝－1时，；当m＝2时，．因为函数对任意的，，且，满足，所以函数在上单调递增，所以，又，所以函数是奇函数，且为增函数，因为，所以，所以，即．故答案为：＜.例9．(2023·全国·高一课时练习）已知幂函数的定义域为全体实数R.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.【解析】（1）∵是幂函数，∴，∴或2.当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，∴m＝2,∴.（2）即，要使此不等式在上恒成立，令,只需使函数在上的最小值大于0.∵图象的对称轴为，故在上单调递减，∴，由，得，∴实数k的取值范围是.例10．(2023·全国·高一课时练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．【解析】因为幂函数在区间上单调递减，则，得，又∵，∴或1．因为函数是偶函数，将分别代入，当时，，函数为是偶函数，满足条件.当时，，函数为是偶函数，满足条件.的解析式为．例11．(2023·广西河池·高一阶段练习）已知幂函数在上单调递增，函数．(1)求实数m的值；(2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围．【解析】(1)∵为幂函数，∴，解得或，当时，在上单调递增；当时，，在上单调递减，∴；(2)由（1）得，∴时，，∵为上的减函数，∴当时，，∵，∴，∴解得，实数k的取值范围是．例12．(2023·全国·高一学业考试）已知幂函数的图象经过点，则______，若，则实数的取值范围是______．答案：

【解析】由题意可得，，所以，所以幂函数．可知函数在上单调递增，由，得，解得：．故答案为：；.题型二：对勾函数的图象及性质例13．(2023·重庆复旦中学高一期中）因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”，该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数．(1)若函数，，求的最值；(2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)由题意知，函数在单调递减，∴，；(2)，令，∵，∴，则，由对勾函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递増，∴在上是减函数，在上是增函数，，，．综上可得，的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为；(3)由（2）知时，若存在，使得成立，只需在上值域包含，则分成以下四种情况：；；，解集均为空集，所以m不存在．例14．(2023·河南洛阳·高一期中）因函数(t>0)的图象形状象对勾，我们称形如“(t>0)”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在(0,]上是减函数，在(,+)上是增函数.（1）已知利用上述性质，求函数的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意[1,3]，总存在[1,3]，使得成立，求实数m的取值范围.【解析】（1）令∵1，∴1.则由对勾函数的性质，可得在[1，2]上单调递减，在(2，5]上单调递增，∴在[1，]上是减函数，在(，3]上是增函数.，综上可得，的单调递减区间为[1，]，单调递增区间为(，3]，值域为[0，].（2）由（1）知时，若存在，3]，使得g()<成立，只需g(x)=在，3]上有解即可，即m>(x+)最小值，令u(x)=x+，u(x)在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数u(x)最小值=u（2）=4，∴m>4.即实数m的取值范围为(4，+.例15．(2023·贵州省思南中学高一阶段练习）已知（双勾函数）．（1）利用函数的单调性证明在上的单调性；（2）证明f（x）的奇偶性；（3）画出的简图，并直接写出它单调区间．【解析】（1）设，则，则，当时，，则，则，即，此时函数为减函数，当时，，则，则，即，此时函数为增函数．（2），则函数为奇函数．（3）由（1）知结合函数奇偶性和单调性作出函数的图象如图：由图象和性质知的单调递增区间为，，单调递减区间为，．例16．(2023·山东济南·高一期中）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则________.答案：或【解析】由对勾函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递增.①当，即时，在上单调递增，，解得；②当，即时，在上单调递减，，解得(舍去)；③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，或.当时，，解得或(舍去)，则，经验证，符合题意.当时，，解得或，即(舍去)或(舍去).综上，的值为或.故答案为：或.例17．(2023·河北易县中学高一期中）已知勾函数在和内均为增函数，在和内均为减函数．若勾函数在整数集合内为增函数，则实数的取值范围为___________．答案：【解析】根据题意在，内为增函数；要使在整数集合内为增函数，则即解得，∴实数的取值范围为，故答案为.【过关测试】一、单选题1．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．不等式化为，函数在和上单调递减，故或或，解得或．故应选：D．2．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（

）A．－1 B．－1或3 C．3 D．2答案：C【解析】由题意知：，即，解得或，∴当时，，则在上单调递减，不合题意;当时，，则在上单调递增，符合题意,∴,故选：C3．(2023·全国·高一）若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是（

）A．为奇函数B．若，则C．为偶函数D．若，则答案：D【解析】设，将代入得：，解得：，所以，定义域为，故不是奇函数也不是偶函数，AC错误；因为，所以，，B错误；，，由于，则，故，D正确.故选：D4．(2023·广东·揭阳华侨高中高一期中）已知函数是幂函数，且时，f(x)是增函数，则m的值为（

）A．-1 B．2 C．-1或2 D．3答案：B【解析】因函数是幂函数，且f(x)是上的增函数，于是得，解得，所以m的值为2.故选：B5．(2023·全国·高一专题练习）已知，若，则（

）A．－2 B．－1 C． D．2答案：A【解析】设，由，当且时，即时，等式显然成立，当时，则有，因为，所以，当时，则有，即，因为函数是实数集上的增函数，由，而与矛盾，所以不成立，当时，则有，即，因为函数是实数集上的增函数，由，而与矛盾，所以不成立，综上所述：，故选：A6．(2023·全国·高一课时练习）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断答案：A【解析】由函数是幂函数，可得，解得或．当时，；当时，．因为函数在上是单调递增函数，故．又，所以，所以，则．故选：A．7．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】设，，则，即为奇函数，容易判断在R上单调递增（增+增），又可化为，，所以a>1－2a，∴a>．故选：A.二、多选题8．(2023·广东揭阳·高一期末）已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（

）A．为偶函数 B．为增函数C．若，则 D．若，则答案：BCD【解析】将点代入函数得：，则，所以，∴的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确；函数在定义域上为增函数，所以B正确；当时，，即，所以C正确；若时，==.即成立，所以D正确.故选：BCD.9．(2023·全国·高一课时练习）已知幂函数，则（

）A． B．定义域为C． D．答案：AC【解析】为幂函数，，得，A对；函数的定义域为，B错误；由于在上为增函数，，C对；，，D错误，故选：AC.10．(2023·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知，且，则下列式子一定成立的是（

）．A． B． C． D．答案：CD【解析】对A，令，此时满足，但，故A错；对B，令，，此时满足，但，故B错；对C，因为，由不等式性质可得，故C正确；对D，是上的单调递增函数，时，成立，即，故D正确.故选：CD11．(2023·福建福州·高一期中）方程的解可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程的各个实根所对应的点均在直线的同侧，则实数a可能取值是（

）.A． B．C． D．答案：AD【解析】显然不是方程的根，故方程可等价于,所以原方程的实根是与曲线的交点的横坐标,曲线可看作是由曲线向上或向下平移个单位而得到,若交点均在直线的同侧,因与的交点为,所以结合图象可得:或恒成立,所以在上恒成立,或在上恒成立,所以,或,即实数的取值范围是.故选：AD.三、填空题12．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在内是单