人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练期末难点特训(三)与平行四边形有关的压轴题(原卷版+解析)

八下期末难点特训（三）与平行四边形有关的压轴题1．（1）问题背景：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝DF，M为AF的中点，求证：①∠BAE＝∠DAF；②AE＝2DM．（2）变式关联：如图2，点E在正方形ABCD内，点F在直线BC的上方，BE＝DF，BE⊥DF，M为AF的中点，求证：①CE⊥CF；②AE＝2DM．（3）拓展应用：如图3，正方形ABCD的边长为2，E在线段BC上，F在线段BD上，BE＝DF，直接写出的最小值．2．已知：正方形中，点在对角线上，连接，作交于点．(1)如图（1），求证：；(2)如图（2），作交于点，连接，求证：；(3)如图（3），延长交于点，若，，则_________．3．已知，在菱形中，，，、分别为、上一点．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，为中点，，线段交于，交于，，若，．①求与之间的函数关系式；②若，则______．4．（1）问题背景：如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作交AB的延长线于F求证：；（2）尝试探究：如图2，在（1）的条件下，连接DB、EF交于M，请探究DM、BM与BF之间的数量关系，并证明你的结论．（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，DB和CE交于点N，连接CM并延长交AB于点P，已知，，直接写出PB的长________．5．正方形的边长为4．(1)如图1，点在上，连接，作于点，于点．①求证：；②如图2，对角线，交于点，连接，若，求的长；(2)如图3，点在的延长线上，，点在的延长线上，，点在上，连接，在的右侧作，，连接．点从点沿方向运动，当点运动到中点时，设的中点为，当点运动到点时，设的中点为，直接写出的长为________．6．如图，已知四边形ABCD，∠A＝∠C＝90°，BD是四边形ABCD的对角线，O是BD的中点，BF是∠ABE的角平分线交AD于点F，DE是∠ADC的角平分线交BC于点E，连接FO并延长交DE于点G．(1)求∠ABC+∠ADC的度数；(2)求证：FO＝OG；(3)当BC＝CD，∠BDA＝∠MDC＝22.5°时，求证：DM＝2AB7．如图，已知在和中，．(1)如图1，若，，，，，连接，求线段的长；(2)如图2，若，，E、F分别为边上的动点，与相交于点M，，连接，点N是的中点，证明：；(3)在（2）的条件下，G是的中点，，连接，H是所在平面内一点，连接，和关于直线成轴对称图形，连接，求的最小值．8．在□ABCD中，对角线，且，E为CD边上一动点，连接BE交AC于点F，M为线段BE上一动点，连接AM．(1)如图1，若，，M为BF的中点，求AM的长；(2)如图2，若M在线段BF上，，作交BE于点N，连接AN，求证：；(3)如图3，若M在线段EF上，将△ABM沿着AM翻折至同一平面内，得到，点B的对应点为点．当，时，请直接写出的值．9．在菱形中，点、分别为、边上的点，连接、、．(1)如图1，与交于点，若，，，求的长；(2)如图2，若，，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折至同一平面内，得到，连接与交于点，记、、的面积分别为、、，当为中点时，请直接写出的值．10．在菱形ABCD中，，E为对角线BD上一动点，连接AE．(1)如图1，点F为DE的中点，连接AF，若，求的度数；(2)如图2，是等边三角形，连接DM，H为DM的中点，连接AH，猜想线段AH与AE之间的数量关系，并证明．(3)在（2）的条件下，N为AD的中点，连接AM，以AM为边作等边，连接PN，若，直接写出PN的最小值．11．问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．（1）求证：四边形是正方形；（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．12．矩形中，将矩形沿、翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，、、三点在同一直线上．(1)如图，求的度数；(2)如图，当时，连接，交、于点、，若，，求的长度；(3)如图，当，时，连接，，求的长．13．如图，正方形中，，点E在边上运动（不与点C、D重合）．过点B作的平行线交的延长线于点F，过点D作的垂线分别交于，于点M、N．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求线段的长；(3)点E在边上运动过程中，的大小是否改变？若不变，求出该值，若改变请说明理由．14．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．15．已知：在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线BD上一点，且．将三角板的直角顶点与点P重合，一条直角边与直线BC交于点E，另一条直角边与射线BA交于点F（点F不与点B重合），将三角板绕点P旋转．(1)如图，当点E、F在线段BC、AB上时，求证：PE＝PF；(2)当∠FPB＝60°时，求△BEP的面积；(3)当△BEP为等腰三角形时，直接写出线段BF的长．16．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．(1)如图①，当点D在线段BC上时，求证：．(2)如图②和③，当点D在线段BC的延长线上或反向延长线上时，其它条件不变，请判断CF、BC、CD三条线段之间的关系，并证明之；(3)如图③，若连接正方形ADEF对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．18．在菱形ABCD中，∠BAD=60°．（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB=4，求线段EC的长；（2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ，MQ，求证：DM=2DQ．八下期末难点特训（三）与平行四边形有关的压轴题1．（1）问题背景：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝DF，M为AF的中点，求证：①∠BAE＝∠DAF；②AE＝2DM．（2）变式关联：如图2，点E在正方形ABCD内，点F在直线BC的上方，BE＝DF，BE⊥DF，M为AF的中点，求证：①CE⊥CF；②AE＝2DM．（3）拓展应用：如图3，正方形ABCD的边长为2，E在线段BC上，F在线段BD上，BE＝DF，直接写出的最小值．答案：（1）①见解析；②见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）分析：（1）问题情景：①证明△ABE≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BAE=∠DAF；②由全等三角形的性质得出AE=AF，由直角三角形的性质可得出结论；（2）变式关联：①延长BE交DF于G，BG交CD于H，证明△CBE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出∠BCE=∠DCF，则可得出结论；②延长DM到N，使DM=MN，连接AN，证明△AMN≌△FMD(SAS)，由全等三角形的性质得出AN=DF，证明△ABE≌△DAN(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=DN=2DM；（3）拓展应用：过点D作DP⊥DF，且使PD=AB，连接PF，PA，过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q，证明△ABE≌△PDF(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=PF，AF+AE=AF+PF≥AP，即当A，F，P三点共线时，AE+AF的最小值为AP，求出则可得出答案．【详解】解：（1）问题情景：①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠BAE=∠DAF；②证明：∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∵M为AF的中点，∴DM=AF，∴AE=AF=2DM；（2）变式关联：①证明：延长BE交DF于G，BG交CD于H，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，CD=CB，∵BE⊥DF，∴∠BGD=∠BCD=90°，∵∠BHD=∠CBE+∠BCD，∠BHD=∠BGD+∠CDF，∴∠CBE+∠BCD=∠BGD+∠CDF，∴∠CBE=∠CDF，又∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)，∴∠BCE=∠DCF，∵∠BCD=90°，∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=∠ECD+∠BCE=90°，∴CE⊥CF；②延长DM到N，使DM=MN，连接AN，∵M为AF的中点，∴AM=MF，∵MD=MN，∠AMN=∠FMD，∴△AMN≌△FMD(SAS)，∴AN=DF，∵△CBE≌△CDF，∴BE=DF=AN，∠NAM=∠DFM，∴ANDF，∴∠DAN+∠ADF=180°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°，AB=DA，∵∠BGD=90°，∴∠ABE+∠ADF=180°，∴∠ABE=∠DAN，∴△ABE≌△DAN(SAS)，∴AE=DN=2DM；（3）拓展应用：过点D作DP⊥DF，且使PD=AB，连接PF，PA，过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q，∴△ABE≌△PDF(SAS)，∴AE=PF，∵∠ADB=45°，∴∠PDQ=45°，DQ=PQ，∴AF+AE=AF+PF≥AP，即当A，F，P三点共线时，AE+AF的最小值为AP，∵AD=AB=DP=2，∴PQ=DQ=，∴，∴的最小值为8+4．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．已知：正方形中，点在对角线上，连接，作交于点．(1)如图（1），求证：；(2)如图（2），作交于点，连接，求证：；(3)如图（3），延长交于点，若，，则_________．答案：(1)见解析(2)见解析(3)分析：（1）过点E作EH⊥BC于H，EG⊥AB于G，由“ASA”可证△ECH=△EFG，可得CE=EF；（2）过点E作EH⊥BC于H，交AD于Q，EG⊥AB于G，交CD于P，由正方形的性质和矩形的性质可证△CEF是等腰直角三角形，从而得到，再证得四边形AGPD是矩形，四边形DQHC是矩形，四边形DQEP是矩形，从而得到DQ=QM=GF=AG，由“SAS”可证△ABM≌△BCF，可得BM=CF，可得结论；（3）过点E作GE⊥AB于点G，EQ⊥AD于点Q，可得△EGB是等腰直角三角形，进而得到BG=EG=7，再根据四边形AGEQ是矩形，可得AQ=EG=7，从而得到QN=1，再由勾股定理列出方程可求EF的长．（1）证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，EG⊥AB于G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，∵EG⊥AB，EH⊥BC，∠ABC=90°，∴四边形FGBH是正方形，∴GE=EH，∠GEH=90°，∴∠CEF=∠GEH=90°，∴∠CEH=∠GEF=90°-∠HEF，在△ECH和△EFG中，∵∠CEH=∠GEF，EH=EG，∠EHC=∠EGF=90°，∴△ECH≌△EFG（ASA），∴CE=EF；（2）证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，交AD于Q，EG⊥AB于G，交CD于P，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴PG⊥CD，QH⊥AD，∵CE=EF，CE⊥EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴，∵PG⊥AB，QH⊥AD，∴∠A=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∴四边形AGPD是矩形，四边形DQHC是矩形，四边形DQEP是矩形，∴DQ=CH，DP=AG，∵∠ADB=∠CDB=45°，EQ⊥AD，EP⊥CD，∴EP=EQ，∴四边形DPEQ是正方形，∴DQ=DP=PE=QE=CH=AG，∵△ECH≌△EFG，∴GF=CH=DQ，∵ME⊥BD，∠ADB=45°，∴△DEM是等腰直角三角形，∵EQ⊥AD，∴DQ=QM，∴DQ=QM=GF=AG，∴DM=AF，∵AD=AB，∴AM=BF，又∵AB=BC，∠A=∠CBF=90°，∴△ABM≌△BCF（SAS），∴BM=CF，∴；（3）解：如图，过点E作GE⊥AB于点G，EQ⊥AD于点Q，由（2）得：AG=GF=QE，∵EG⊥AB，∠ABD=45°，∴△EGB是等腰直角三角形，∵，∴BG=EG=7，∵EQ⊥AD，EG⊥AB，∠A=90°，∴四边形AGEQ是矩形，∴AQ=EG=7，∵AN=6，∴QN=1，∵，，，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．已知，在菱形中，，，、分别为、上一点．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，为中点，，线段交于，交于，，若，．①求与之间的函数关系式；②若，则______．答案：(1)证明见解析(2)①；②分析：（1）连接DB，由菱形的性质得出∠ABD=∠BDC=60°，证出△ABD为等边三角形，AB=BD，证明△ABE≌△DBF（ASA），由全等三角形的性质可得出结论；（2）①过点B作交EG于点I，证明四边形BMEG为平行四边形，由平行四边形的性质得出BG=EM=6-y，得出AM=y-3，同理DN=1+x，由（1）得AM=DN，得出y-3=x+1，则可得出答案；②过点D作DM⊥AB于点M，过点F作FN⊥AB于点N，由题意求出x=1，y=5，得出BH=1，CG=5，由直角三角形的性质求出AM=3，由勾股定理求出答案即可．（1）证明：如图1，连接DB，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，∴∠ABD=∠BDC=60°，

∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD，∵∠EBF=60°，∴∠ABE=∠DBF，在△ABE和△DBF中，∴△ABE≌△DBF（ASA），∴AE=DF；（2）解：①如图2，过点B作交EG于点I，∵，∴四边形BMEG为平行四边形，而

∴BG=EM=6-y，∵是AD的中点，∴∴AM=y-3，同理DN=1+x，∵，∴∠EOF=∠EIN=60°，

∵，∴∠MBN=∠EIN=60°，由（1）得，AM=DN，∴y-3=x+1，∴y=x+4；②如图3，过点D作DM⊥AB于点M，过点F作FN⊥AB于点N，由①知y=x+4，又∵x+y=6，∴x=1，y=5，∴BH=1，CG=5，∵DM⊥AB，，∴DM⊥CD，∴四边形MDFN为矩形，∴DM=NF，DF=MN=1，∵∠A=60°，AD=6，

∴AM=AD=3，∴，∵AB=6，∴NH=AB-AM-MN-BH=6-3-1-1=1，∴，故答案为：．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．4．（1）问题背景：如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作交AB的延长线于F求证：；（2）尝试探究：如图2，在（1）的条件下，连接DB、EF交于M，请探究DM、BM与BF之间的数量关系，并证明你的结论．（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，DB和CE交于点N，连接CM并延长交AB于点P，已知，，直接写出PB的长________．答案：（1）证明见解析；（2）DM＝BM＋BF；（3）分析：（1）由“ASA”可证△CDE≌△CBF，可得CE＝CF；（2）由“AAS”可证△DME≌△HMF，可得DM＝MH，可得结论；（3）由直角三角形的性质可得AF＝AE，可求AB的长，由勾股定理可求PF的长，即可求解．【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠CBF＝180°−∠ABC＝90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∴∠DCB＝∠ECF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，在△CDE和△CBF中，∴△CDE≌△CBF（ASA），∴CE＝CF；（2）DM＝BM＋BF，理由如下：如图，过点F作FH⊥AF，交DB的延长线于H，∵△CDE≌△CBF，∴DE＝BF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴∠FBH＝45°，∵FH⊥AB，∴∠FBH＝∠H＝45°，∴BF＝FH＝DE，∴BH＝BF，∵∠EDM＝∠H＝45°，∠EMD＝∠HMF，DE＝FH，∴△DME≌△HMF（AAS），∴DM＝MH，EM＝MF，∴DM＝MB＋BH＝MB＋BF；（3）连接EP，∵∠DME＝15°，∠ABD＝45°，∴∠AFE＝30°，∴AF＝AE，∴AB＋BF＝（AB−DE），∴AB＋3−，∴AB＝，∴AE＝，AF＝6，∵EC＝CF，∠ECF＝90°，EM＝MF，∴CP是EF的垂直平分线，∴EP＝PF，∵PE2＝AE2＋AP2，∴PF2＝24＋（6−PF）2，∴PF＝4，∴PB＝，故答案为：．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．5．正方形的边长为4．(1)如图1，点在上，连接，作于点，于点．①求证：；②如图2，对角线，交于点，连接，若，求的长；(2)如图3，点在的延长线上，，点在的延长线上，，点在上，连接，在的右侧作，，连接．点从点沿方向运动，当点运动到中点时，设的中点为，当点运动到点时，设的中点为，直接写出的长为________．答案：(1)①见解析；②(2)分析：（1）①证明△ADF≌△DCG，即可求证；②连接OG，由①得：△ADF≌△DCG，可得AF=DG，可证得△AOF≌△DOG，从而得到OG=OF，∠DOG=∠AOF，进而得到△FOG为等腰直角三角形，可得到，再由，求出，从而得到，进而得到FG=，即可求解；（2）取CK的中点Y，连接MY，CQ，可得，从而得到点M的运动轨迹为线段YM，然后分别计算出当点运动到中点时，当点运动到点时，YM1，YM2的长，即可求解．（1）①证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ADC=90°，∴∠ADF+∠CDG=90°，∵，，∴∠AFD=∠CGD=90°，∴∠ADF+∠DAF=90°，∴∠DAF=∠CDG，∴△ADF≌△DCG，∴DF=CG；②解：如图，连接OG，在正方形ABCD中，OA=OD，∠BAO=∠ADO=45°，∠AOD=∠BAD=90°，∴∠DAF+∠EAF=90°，∠EAF+∠OAF=∠ODG+∠ADF=45°，由①得：△ADF≌△DCG，∴AF=DG，∵AF⊥DE，∴∠AFD=90°，∴∠ADF+∠DAF=90°，∴∠ADF=∠EAF，∴∠OAF=∠ODG，

在△AOF和△DOG中，∵AF=DG，∠OAF=∠ODG，OA=OD，∴△AOF≌△DOG，∴OG=OF，∠DOG=∠AOF，∴∠FOG=∠AOF+∠AOG=∠DOG+∠AOG=∠AOD=90°，∴△FOG为等腰直角三角形，∴，∴，在中，AD=4，AE=3，∠DAE=90°，∴，∵AF⊥DE，∴，∴，

∴，∴FG=DF-DG=，∴；（2）解：如图，取CK的中点Y，连接MY，CQ，∵点M为KQ的中点，∴，YM∥CQ，∴点M的运动轨迹为线段YM，如图，当点运动到中点，即BP=CP=2时，过点Q作QJ⊥CN于点J，在正方形ABCD中，∠ABC=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，∵AP⊥PQ，∴∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPJ=90°，∴∠BAP=∠QPJ，∵∠PJQ=∠ABP=90°，AP=PQ，∴△ABP≌△PJQ，∴QJ=BP=2，PJ=AB=4，∴CJ=2，∴，∴，如图，当点运动到点，即BP=BC+CN=8时，过点Q作QL⊥CN交CN延长线于点L，同理：△ABP≌△PLQ，∴QL=BP=8，PL=AB=4，∴CL=8，∴，∴，∴的长为．故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识是解题的关键．6．如图，已知四边形ABCD，∠A＝∠C＝90°，BD是四边形ABCD的对角线，O是BD的中点，BF是∠ABE的角平分线交AD于点F，DE是∠ADC的角平分线交BC于点E，连接FO并延长交DE于点G．(1)求∠ABC+∠ADC的度数；(2)求证：FO＝OG；(3)当BC＝CD，∠BDA＝∠MDC＝22.5°时，求证：DM＝2AB答案：(1)180°(2)见解析(3)见解析分析：（1）在四边形ABCD中，内角和为360°，因为∠A＝∠C＝90°，所以∠ABC+∠ADC＝180°；（2）由（1）可知，∠ABF+∠CBF+∠ADE+∠CDE＝180°，根据BF、DE分别是∠ABE、∠ADC的角平分线，得到∠ABF+∠ADE＝90°，由∠ABF+∠AFB＝90°，得∠ADE＝∠AFB，求出BF∥ED，所以∠BFG＝∠FGD，得证≌，由此得出结论；（3）证法一：过D点作CD的垂线，延长BA相交于点N，过B点作BK垂直DN，易证，所以BK＝CD，可证，所以，由，可证，所以；证法二：延长DM，延长DC，过B点作MD的垂线，垂足为N，交DC的延长线于点L，可得，所以，再由得，所以，易证，则，所以．【详解】（1）解：∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°．（2）证明：由（1）可知，∠ABF+∠CBF+∠ADE+∠CDE＝180°，∵BF、DE分别是∠ABE、∠ADC的角平分线∴∠ABF＝∠CBF；∠ADE＝∠CDE，∴2∠ABF+2∠ADE＝180°，∴∠ABF+∠ADE＝90°，又∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ADE＝∠AFB，∴BF∥ED，∴∠BFG＝∠FGD．在和中，∴，∴；（3）证法一：过D点作CD的垂线，延长BA相交于点N，过B点作BK垂直DN，∴四边形BCDK是矩形，∵BC=CD，∴四边形BCDK是正方形，∴，∴BK＝CD，∵∠BDA＝∠MDC＝22.5°，∠BDK＝45°，∴∠ADN＝22.5°=∠BDA，在△BAD和△NAD中∴（ASA）∴，∵，在△BKN和△MCD中∴（ASA）∴；解法二：延长DM，延长DC，过B点作MD的垂线，垂足为N，交DC的延长线于点L．∵BC=CD，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∵∠BDA＝∠MDC＝22.5°，∴∠BDM＝22.5°，在△BAD和△BND中，（ASA），，在△LND和△BND中，（ASA），，，∴，在△LCB和△MCD中，（ASA），．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，第（2）问作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．如图，已知在和中，．(1)如图1，若，，，，，连接，求线段的长；(2)如图2，若，，E、F分别为边上的动点，与相交于点M，，连接，点N是的中点，证明：；(3)在（2）的条件下，G是的中点，，连接，H是所在平面内一点，连接，和关于直线成轴对称图形，连接，求的最小值．答案：(1)(2)证明见解析(3)分析：（1）先证明，，再证明，得到，，则，求出，即可利用勾股定理求出；（2）如图所示，延长到Q使得，延长到使得，连接，先求出，再由已知条件得到，即可证明都是等边三角形，得到，由全等三角形的性质得到，即可证明，推出是等边三角形，则，证明得到，再证明是的中位线，得到，即可证明；（3）如图所示，连接，，根据轴对称的性质得到，则，由三角形三边的关系得到，则当三点共线时，最小，最小值为，过点G作交延长线于T，求出，，，即可求出，则．【详解】（1）解：如图所示，连接，∵，，，∴，，∴，又∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴；（2）证明：如图所示，延长到Q使得，延长到使得，连接，∵，∴，∵，，∴，∴都是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，即，∴，∴，∵N是的中点，，∴是的中位线，∴，∴，即，∴；（3）解：如图所示，连接，，∵和关于直线成轴对称图形，∴，∵G是的中点，∴，∴，∴当三点共线时，最小，最小值为，过点G作交延长线于T，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称图形的性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．8．在□ABCD中，对角线，且，E为CD边上一动点，连接BE交AC于点F，M为线段BE上一动点，连接AM．(1)如图1，若，，M为BF的中点，求AM的长；(2)如图2，若M在线段BF上，，作交BE于点N，连接AN，求证：；(3)如图3，若M在线段EF上，将△ABM沿着AM翻折至同一平面内，得到，点B的对应点为点．当，时，请直接写出的值．答案：(1)5；(2)证明过程见解析；(3)．分析：（1）先根据已知条件求出AF的长度，再用勾股定理求出BF的长度，最后根据直角三角形斜边中线定理求出AM的长度即可；（2）过点A作AG⊥AM，交BE于点G，连接CG，先证出△ABM和△ACG全等，再证出BG⊥CG，再证出△ACG和△ANG全等，得到AC=AN，即可得到结论；（3）根据已知条件使用勾股定理、等腰直角三角形的性质和直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，用含有字母的代数式表示出NF、AN、MN、AB、AM的长度，然后表示出BM、EM的长度，最后求出答案即可．（1）∵，，∴，∵，∴在中由勾股定理得：，∵M为的中点，∴．（2）作交于点，连接，∵，，∴，，∴．∵，∴为等腰直角三角形，∴．在和中，∵，∴≌（），∴．∵，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴．在和中，∵，∴≌（），∴，∴．（3）．解析：作于点，设，∵，，∴根据折叠知，又AN⊥BE，∴，，∴，在Rt△AFN中根据勾股定理得，∴，同理，，同理，．∵，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、全等三角形的判定和性质；考查的内容比较多，按照阶梯难度逐级上升，熟练掌握那些定理并能画出辅助线是解决本题的关键．9．在菱形中，点、分别为、边上的点，连接、、．(1)如图1，与交于点，若，，，求的长；(2)如图2，若，，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折至同一平面内，得到，连接与交于点，记、、的面积分别为、、，当为中点时，请直接写出的值．答案：(1)4(2)证明见解析(3)分析：（1）根据等腰三角形三线合一可知，，可得，根据勾股定理即可求出AG的长；（2）在上截取，连接，则，因为，所以，则可证≌（），所以，又因为BC=CD，所以；（3）延长交于点，连接，则△BOI≌△FOC，所以BI=CF，又因为BI∥CF，所以四边形ACFI是平行形，，由，，设，则，，代入计算可得．(1)解：∵在菱形中，平分，，∴，．∵，∴在中，，，∴．(2)证明：在上截取，连接．∵在菱形中，，∴，即．∵，∴．∴为等边三角形．∴．∴．∵，∴．∴．在和中，∵，∴≌（）．∴．∵，∴，即．(3)．解析：延长交于点，连接．∵AB∥CD，∴∠ABF=∠BFC，∵点O是BF的中点，∴BO=FO，∵∠BOI=∠FOC，∴△BOI≌△FOC，∴BI=FC，∴四边形ACFI是平行形，∴，∵，，∴．∴．∴．∵沿翻折至同一平面内得到，∴，∴∴．【点睛】本题考查了菱形，熟练运用菱形的性质，结合三角形的相关知识（等腰三角形、等边三角形、全等三角形等）是解题的关键．10．在菱形ABCD中，，E为对角线BD上一动点，连接AE．(1)如图1，点F为DE的中点，连接AF，若，求的度数；(2)如图2，是等边三角形，连接DM，H为DM的中点，连接AH，猜想线段AH与AE之间的数量关系，并证明．(3)在（2）的条件下，N为AD的中点，连接AM，以AM为边作等边，连接PN，若，直接写出PN的最小值．答案：(1)30°；(2)AE＝2AH，证明见解析；(3)分析：（1）根据菱形的性质以及等腰三角形的性质可得∠ABD＝∠ADB＝30°，∠EAD＝∠BAD−∠BAE＝90°，根据直角三角形斜边上的中线得AF＝DF，即可得∠FAD＝∠ADB＝30°；（2）延长DA至F点，使得AF＝DA，连接AM，CE，FM，证明△AMB≌△CEB（SAS），根据全等三角形的性质得AM＝CE，∠MAB＝∠ECB，可得出∠FAM＝∠ECA，再证△FAM≌△ACE（SAS），可得MF＝AE，根据三角形中位线定理即可得出结论；（3）连接NC、PC、NP，证明△AMB≌△APC（SAS），可得PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°，根据等边三角形的性质得CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°，则∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°，在点E运动过程中，当NP⊥PC时，PN长度最短，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．（1）解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB＝30°，∠BAD＝120°，∵BE＝AE，∴∠ABE＝∠BAE＝30°，∴∠EAD＝∠BAD−∠BAE＝90°，∵点F为DE的中点，∴AF＝DF＝DE，∴∠FAD＝∠ADB＝30°；（2）AE＝2AH，证明：延长DA至F点，使得AF＝DA，连接AM，CE，FM，∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵△BEM是等边三角形，∴∠ABM十∠ABE＝∠ABE＋∠EBC＝60°，MB＝BE，∴∠ABM＝∠EBC，∴△AMB≌△CEB（SAS），∴AM＝CE，∠MAB＝∠ECB，∵AD＝DC，且∠ADC＝∠ABC＝60°，∴△ADC为等边三角形，∴AD＝AC，∵AD＝AF，∴AF＝AC，∵∠FAB＝180°−∠BAD＝60°，∴∠FAB＝∠ACB＝60°，∴∠FAM＝∠FAB−∠MAB＝∠ACB−∠ECB＝∠ECA，∴△FAM≌△ACE（SAS），∴MF＝AE，∵FA＝AD，H为DM的中点，∴AH＝MF，∴AE＝MF＝2AH；（3）连接NC、PC、NP，∵△AMP为等边三角形，∴∠MAP＝60°，AM＝AP，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴△ABC为等边三角形，△ADC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝CD，∠ACD＝60°，∴∠MAB＝∠MAP−∠BAP＝∠BAC−∠BAP＝∠PAC，∴△AMB≌△APC（SAS），∴PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°，∵AC＝CD，N为AD的中点，∴CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°，∴∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°，在点E运动过程中，当NP⊥PC时，PN长度最短，∵AD＝，∴DN＝AD＝，∴NC＝DN＝3，∵∠PCN＝60°，NP⊥PC，∴∠PNC＝30°，∴PC＝NC＝，∴PN＝PC＝，即PN的最小值为．【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．11．问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．（1）求证：四边形是正方形；（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．答案：问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8分析：问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解；（2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形；类比迁移：由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解．【详解】解：问题解决：（1）证明：如图1，∵四边形是矩形，．．．．又．∴矩形是正方形．（2）是等腰三角形．理由如下：，．又，即是等腰三角形．类比迁移：如图2，延长到点，使得，连接．∵四边形是菱形，．．．又．是等边三角形，，．【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．12．矩形中，将矩形沿、翻折，点的对应点为点，点的对应点为点，、、三点在同一直线上．(1)如图，求的度数；(2)如图，当时，连接，交、于点、，若，，求的长度；(3)如图，当，时，连接，，求的长．答案：(1)45°(2)5(3)4分析：（1）由折叠的性质得，则；（2）连接，，，，由折叠的性质知垂直平分，垂直平分，则，，再求出，利用勾股定理可得答案；（3）设，则，，，过点作垂直交的延长线于，证明四边形是矩形，求出EH，在中，利用勾股定理列方程求解可得答案．【详解】（1）解：由折叠的性质可知：，，四边形是矩形，，，，；（2）如图，连接，，，，若，则四边形是正方形，由题意可知点与点重合，由折叠的性质可知：点与点关于对称，点与点关于对称，垂直平分，垂直平分，，，为正方形的对角线，，，，在中，由勾股定理得：．（3）设，由题意可知：，，，，，是等腰直角三角形，在矩形中，，，，，，，由折叠的性质可知：，，，，，，，如图，过点作垂直交的延长线于，则，四边形是矩形，，，，在中，由勾股定理得：，即，整理得：，解得或舍去，．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了翻折的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键，同时注意方程思想的运用．13．如图，正方形中，，点E在边上运动（不与点C、D重合）．过点B作的平行线交的延长线于点F，过点D作的垂线分别交于，于点M、N．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求线段的长；(3)点E在边上运动过程中，的大小是否改变？若不变，求出该值，若改变请说明理由．答案：(1)见解析(2)(3)点E在边上运动过程中，的大小不改变，且分析：（1）根据正方形的性质，得出，再根据，即可证明四边形是平行四边形；（2）根据正方形的性质，结合勾股定理，求出，再根据平行四边形的面积求出EF的长即可；（3）在DN上截取DG=BN，连接CG，根据“SAS”证明，得出CG=NC，，说明△GCN为等腰直角三角形，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴，即，∵，∴四边形是平行四边形．（2）解：∵四边形ABCD为正方形，∴，，∵，∴在Rt△ADE中根据勾股定理得：，∵，∴．（3）解：点E在边上运动过程中，的大小不改变；在DN上截取DG=BN，连接CG，如图所示：∵DN⊥AE，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵在△DGC和△BNC中，∴（SAS），∴CG=NC，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．14．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．答案：（1）AE＝DF；（2）见解析；（3）CN的长度为3分析：（1）证明∠BAE=∠ADF，则△ABE≌△DAF（AAS），即可求解；（2）由正方形的性质得出∠CBG=∠MEF，证明△BCG≌△EMF（ASA），即可求解；（3）证明△EHF≌△MGN（ASA），则NG=HF，而AE=2，BF=4，故NG=HF=4-2=2，进而求解．【详解】解：（1）∵∠DAO+∠BAE=90°，∠DAO+∠ADF=90°，∴∠BAE=∠ADF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AE=DF，故答案为：AE=DF；（2）如图1，过点E作EM⊥BC于点M，则四边形ABME为矩形，则AB=EM，在正方形ABCD中，AB=BC，∴EM=BC，∵EM⊥BC，∴∠MEF+∠EFM=90°，∵BG⊥EF，∴∠CBG+∠EFM=90°，∴∠CBG=∠MEF，在△BCG和△EMF中，，

∴△BCG≌△EMF（ASA），∴EF=BG；（3）如图2，连接MN，∵M、N关于EF对称，∴MN⊥EF，过点E作EH⊥BC于点H，过点M作MG⊥CD于点G，则EH⊥MG，由（2）同理可得：△EHF≌△MGN（ASA），∴NG=HF，∵AE=2，BF=4，∴NG=HF=4-2=2，又∵GC=MB=1，∴NC=NG+CG=2+1=3．【点睛】本题为四边形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．15．已知：在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线BD上一点，且．将三角板的直角顶点与点P重合，一条直角边与直线BC交于点E，另一条直角边与射线BA交于点F（点F不与点B重合），将三角板绕点P旋转．(1)如图，当点E、F在线段BC、AB上时，求证：PE＝PF；(2)当∠FPB＝60°时，求△BEP的面积；(3)当△BEP为等腰三角形时，直接写出线段BF的长．答案：(1)见解析(2)(3)的长为4、或分析：（1）如图1，过点作，，垂足分别为点、．由正方形的性质可证，即可证明；（2）如图2，过点作于点，当时，，在中和中，中，设ME＝a，则EP＝2a，．表示出，．最后再求△BEP的面积；（3）分两大类情况讨论：Ⅰ：当点在射线上时，只有，Ⅱ：当点在射线上时，又可再分三小类情况，①当时；②当时；③当时，进而求得结果．（1）如图1，过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，垂足分别为点G、H．∵四边形ABCD为正方形，∴BD平分∠ABC，∠ABC＝90°∴PH＝PG．∴四边形GBHP为正方形．∴∠GPH＝90°，∵，∴，即．在和中，，∴．∴．（2）如图2，过点E作EM⊥BD于点M，当∠FPB＝60°时，∠EPB＝30°，在中，设ME＝a，则EP＝2a，．在中，∠DBC＝45°，∴EM＝BM＝a，∴，解得：．∴．（3）当点在线段上时，①如图3，当，∴，∴，∵，∴．②当时，则，∴为等腰直角三角形，与重合，舍去．③如图4，当时，同理可证，∵，∴，∴，∴．Ⅱ：当点在延长线上时，∵，∴只有，如图5，同理可证：，∴．∵，∴，∴．综上所述，的长为4、或．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形面积计算、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及分类讨论的数学思想的运用，综合运用这些性质、判定进行推理是解题的关键．16．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．(1)如图①，当点D在线段BC上时，求证：．(2)如图②和③，当点D在线段BC的延长线上或反向延长线上时，其它条件不变，请判断CF、BC、CD三条线段之间的关系，并证明之；(3)如图③，若连接正方形ADEF对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．答案：(1)证明见解析；(2)当点D在线段BC的延长线上时，；当点D在线段BC的反向延长线上时，，证明见解析；(3)△AOC是等腰三角形，理由见解析．分析：（1）证明△BAD≌△CAF（SAS），得到BD＝CF，再利用，即可得到；（2）分情况讨论：当点D在线段BC的延长线上时，，证明△BAD≌△CAF（SAS），得到BD＝CF，再利用，证明；当点D在线段BC的反向延长线上时，，证明△BAD≌△CAF（SAS），得到BD＝CF，再利用即可证明；（3）证明△FCD为直角三角形，进一步可得，再根据OA＝AE，AE＝DF，即可证明OC＝OA．【详解】（1）证明：如图①：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠CAF+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∵，∴．（2）解：如图②：当点D在线段BC的延长线上时，．理由如下：∵∠BAC＝∠DAF=90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAF+∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∵，∴；如图③：当点D在线段BC的反向延长线上时，．理由如下：∵∠CAF+∠BAF＝∠BAC＝90°，∠BAD+∠BAF＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∵，∴．（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，由（2）可知：△BAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠ABD＝135°，∴∠FCD＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°=90°，∴△FCD为直角三角形，∵正方形ADEF中，O为DF的中点，∴∵在正方形ADEF中，OA＝AE，AE＝DF，∴OC＝OA，∴△AOC是等腰三角形．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定．解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，结合图形分析．17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，