2024高考总复习优化设计一轮用书数学配北师版(适用于老高考新教材)课时规范练21　三角恒等变换

课时规范练21三角恒等变换基础巩固组1.(2021天津和平高三模拟)已知sinα+π2=55,α∈-π2,0,则sin2α=()A.45 B.-4C.455 D.2.(2021广东广州高三月考)2sinπ12sin5π12cosπ6A.32 B.3C.14 D.3.(2021江苏南京高三期中)化简:sin2π3+α-sin2π6-α=()A.cos2α+4π3 B.sin2α+π6C.-cos2α-π3 D.sinπ6-2α4.已知sinα-π4=3210(0<α<π),则sin(π-A.-2721 B.C.1641205 D5.(2021湖南高三模拟)已知角α,β∈(0,π),tan(α+β)=12,cosβ=7210,则角2α+β=A.9π4 B.3π4 C.56.(2021山西临汾高三模拟)已知α满足sinα+π4=26,则tan2α+1A.98 B.-98 C.3 D.7.已知π4≤α≤π,π≤β≤3π2,sin2α=45,cos(α+β)=-A.cosα=-1010B.sinα-cosα=-5C.β-α=3πD.cosαcosβ=-28.(2021安徽安庆高三检测)1+cos100°sin20°cos209.(2021北京海淀高三检测)已知α为锐角,且sinα·(3-tan10°)=1,则α=.

10.(2021江西南昌二中高三检测)化简:1+sinα1+sinα+cosα+121-cosα11.(2021福建莆田高三月考)已知sinβsinα=cos(α+β),求证:tanβ综合提升组12.函数f(x)=sin2x-4sin3xcosx(x∈R)的最小正周期为()A.π8 B.πC.π2 D.13.(2021四川宜宾高三期中)已知角α,β满足cos2α+52cosα=sinπ3+β·sinπ3-β+sin2β,且α∈0,π,则α等于()A.π6 B.πC.π3 D.14.设sinβ+π6+sinβ=3+12,则sinβ-π3=()A.32或12 B.1C.-12或32 15.(2021河南信阳高三月考)(tan30°+tan70°)sin10°=.

16.已知函数f(x)=cos2x-cos2x-π3.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在-π6,π3创新应用组17.(2021辽宁大连高三期中)若▲表示一个整数,该整数使得等式▲cos40°+3sin40°A.-1 B.1 C.2 D.318.(2021江苏无锡高三月考)已知α,β∈(0,π),cosα=-31010,若sin(2α+β)=12sinβ,则α+β=A.54π B.2C.76π D.7

课时规范练21三角恒等变换1.B解析:因为sinα+π2=55,所以cosα=55.因为α∈-π2,0,所以sinα=-1-cos2α=-1-(55)

2=-255,所以sin2α=2sinαcosα=2.B解析:2sinπ12sin5π12cosπ6=2×32sinπ12cosπ2−5π12=3sin3.B解析:由题意可知,sin2π3+α-sin2π6-α=sin2π3+α-cos2π3+α=-cos2π3+α=-cos2π3+2α=cosπ3-2α=sin2α+π6,故选B.4.C解析:因为sinα-π4=3210,所以sinα-cosα=35.两边同时平方,得sin2α+cos2α-2sinαcosα=925,sinαcosα=825>0.因为0<α<π,所以sinα>0,cosα>0,则sinα+cosα=(sinα+cos5.D解析:∵cosβ=7210,∴sinβ=1-(7210)

2=210,则tanβ=17,故tanα=tan(α+β-β)=tan(α+β)-tanβ1+tan(α+β)tanβ=12-171+12×17=13,则tan(2α+β)=tan(α+β+α)=tan(α+β)+tanα1-tan6.B解析:由sinα+π4=26,可得22(sinα+cosα)=26,即sinα+cosα=13,平方可得1+2sinαcosα=19,即sin2α=-89,故tan7.C解析:对于A,因为π4≤α≤π,所以π2≤2α≤2π.又sin2α=45>0,故有π2≤2α≤π,π4≤α≤π2,则cos2α=-35.又cos2α=2cos2α-1,则cos2α=15,故cosα=55,故A错误;对于B,因为(sinα-cosα)2=1-sin2α=15,π4≤α≤π2,所以sinα>cosα,所以sinα-cosα=55,故B错误;对于C,因为π≤β≤3π2,所以5π4≤α+β≤2π.又cos(α+β)=-210<0,所以5π4≤α+β≤3π2,解得sin(α+β)=-7210,所以cos(β-α)=cos[(α+β)-2α]=-210×-35+-7210×45=-22.又因为5π4≤α+β≤3π2,-π≤-2α≤-π2,所以π4≤β-α≤π,有β-α=3π4,故C正确;对于D,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-210,cos(β8.22解析:1+cos100°sin20°cos209.40°解析:由已知得sinα=13-tan10°=13-sin10°cos10°=cos1010.解原式=sin2α2=12tanα2+12+12tanα2,而α2∈-π2,-π4,即tanα2<11.证明因为sinβsinα=cos(α+β),所以sinβ=sinα(cosαcosβ-sinαsinβ),即sinβ(1+sin2α)=12sin2αcosβ,因此tanβ=sin2α2+2×1-12.C解析:f(x)=sin2x-4sin3xcosx=2sinxcosx-4sin3xcosx=2sinxcosx(1-2sin2x)=sin2xcos2x=12sin4x,所以函数的最小正周期T=2πω=13.C解析:由于sinπ3+β·sinπ3-β+sin2β=32cosβ+12sinβ32cosβ-12sinβ+sin2β=34cos2β-14sin2β+sin2β=34cos2β+34sin2β=34,因此cos2α+52cosα=34,即2cos2α-1+52cosα=34,又因为α∈(0,π),故α=π3,故选C14.C解析:依题意sinβ+π6+sinβ=3+12,sinβ-π3+π2+sinβ-π3+π3=3+12,所以cosβ-π3+12sinβ-π3+32cosβ-π3=12sinβ-π3+3+22cosβ-π3=3+12,因此sinβ-π3+(3+2)cosβ-π3=3+1,所以cosβ-π3=(3+1)-sin(β-π3)3+2.代入sin2β-π3+cos2β-π3=1,得sin2β-π3+(3+1)-sin(β-π3)3+22=1,化简得(8+43)sin2β-π3-(23+2)sinβ-π3-(3+23)=0,两边除以3+2,可得4sin2β-π3+(2-23)sinβ-π3-3=0,2sinβ-π3+12sinβ-π3-3=0,解得sinβ-π3=-1215.33解析:(tan30°+tan70°)sin10°=sin30°cos30°+=(sin3016.解(1)f(x)=cos2x-cos2x-π3=1+cos2x2−1+cos(2x-2π3)2=12cos2x-cos2x-2π3=12cos2x--12=-34sin2x+34cos2x=-32sin2x-π故函数f(x)的最小正周期T=2π2=(2)当x∈-π6,π3时,2x-π3∈-2所以sin2x-π3∈-1,32,则-32sin2x-π3∈-34,32,故函数f(x)的值域是-34,317.B解析:因为▲cos40°+3sin40°=4,所以▲sin40°+3cos40°=2sin80°,则▲sin40°+3cos40°=2cos10°,因此▲sin40°+3cos40°=2cos(40°-30°),即▲sin40°+3cos40°=2cos40°cos30°+2sin40°=sin30°,所以▲sin40°+3cos40°=2×32cos40°+2×12sin40°,即▲sin40°+3cos40°=sin40°+3cos18.A解析:由题意可知,sin(2α+β)=12sinβ,可化为sin[α+(α+β)]=12sin[(α+β)-α],展开得sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=12cosαsin(α+β)-12sinαcos(α+β),则co