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考点2万有引力定律及重力加速度的理解(实力考点·深度研析)1.万有引力与重力的关系(1)地球上(两极除外)的物体受到的重力只是万有引力的一个分力。地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是供应物体随地球自转的向心力F向,如图所示。(2)万有引力与重力的定量关系:①在赤道上:Geq\f(Mm,R2)=mg1+mω2R。②在两极上:Geq\f(Mm,R2)=mg0。③在一般位置:万有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和。越靠近两极,向心力越小,g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即eq\f(GMm,R2)=mg。2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)地球表面旁边的重力加速度大小g(不考虑地球自转),有mg=Geq\f(Mm,R2),得g=eq\f(GM,R2)。(2)地球上空的重力加速度大小g′地球上空距离地球中心r=R+h处的重力加速度大小为g′,则有mg′=eq\f(GMm,R+h2),得g′=eq\f(GM,R+h2)。所以eq\f(g,g′)=eq\f(R+h2,R2)。(1)在匀质球壳的空腔内随意位置处,质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零,即∑F引=0。(2)在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力,即F=Geq\f(M′m,r2)。►考向1地球外部某点和地球内部某点加速度的计算假设地球是一半径为R、质量分布匀整的球体。一矿井深度为d,已知质量分布匀整的球壳对壳内物体的引力为零,则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(A)A.1-eq\f(d,R) B.1+eq\f(d,R)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R-d,R)))2 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R-d)))2[解析]如图所示,依据题意知,地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为g,地球质量为M,地球表面的物体受到的重力近似等于万有引力,故mg=Geq\f(Mm,R2),又M=ρeq\f(4,3)πR3,故g=ρeq\f(4,3)πGR;设矿井底部的重力加速度为g′,其半径r=R-d,则g′=ρeq\f(4,3)πG(R-d),联立解得eq\f(g′,g)=1-eq\f(d,R),A正确。►考向2万有引力与重力的关系某类地天体可视为质量分布匀整的球体,由于自转的缘由,其表面“赤道”处的重力加速度为g1,“极点”处的重力加速度为g2,若已知自转周期为T,则该天体的半径为(C)A.eq\f(4π2,g1T2) B.eq\f(4π2,g2T2)C.eq\f(g2-g1T2,4π2) D.eq\f(g1+g2T2,4π2)[解析]在“极点”处mg2=eq\f(GMm,R2);在其表面“赤道”处eq\f(GMm,R2)-mg1=meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R,解得R=eq\f(g2-g1T2,4π2),故C正确。►考向3挖补法求解万有引力如图所示,一个质量匀整分布的半径为R的球体对球外质点P(图中未画出)的万有引力为F。假如在球体中心挖去半径为r的一部分球体,且r=eq\f(R,2),则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为(C)A.eq\f(F,2) B.eq\f(F,8)C.eq\f(7F,8) D.eq\f(F,4)[解析]原来物体间的万有引力为F,挖去的半径为eq\f(R,2)的球体的质量为原来球体质量的eq\f(1,8)其他条件不变,所以挖去的球体对质点P的万有引力为eq\f(F,8),故剩余部分对质点P的万有引力为F-eq\f(F,8)=eq\f(7,8)F,C正确。【跟踪训练】(万有引力与抛体运动综合)依据国家航天局公布的消息,天问一号须要环绕火星飞行3个月,在火星北半球的乌托邦平原着陆。已知火星半径是地球半径的eq\f(1,2),火星质量是地球质量的eq\f(1,10),假设某人在地球表面能跳起的最大高度为0.4m,则他在火星上能跳起的最大高度为(B)A.0.2m B.1mC.4m D.6m[解析]忽视星球的自转时,星球表面物体重力等于万有引力,有mg=Geq\f(Mm,R2),可知eq\f(g
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