2024-2025学年高二数学上学期期末复习专题1-8数列求和14类题型一网打尽教师版

专题1-8数列求和14类题型一网打尽数列求和常见题型梳理一、错位相减法类型一：（其中是等差数列，是等比数列）类型二：（其中是等差数列，是等比数列）二、裂项相消法类型一：等差型=1\*GB3①；②类型二：无理型类型三：指数型裂项相消进阶1、裂项相加：(-1)n例：，本类模型典型标记在通项中含有乘以一个分式.对于可以裂项为2、等差数列相邻2两项之积构成的的新数列例如：一般式，当公差为k时：3、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘例子：一般结构三、分组求和法3.1假如一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.3.2假如一个数列可写成的形式，在求和时可以运用分组求和法.四、倒序相加法即假如一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可运用倒序相加法求数列的前项和【题型1】错位相减已知，若数列满足，求和：．【答案】【详解】因为，所以，两式相减得又满足上式，所以又，所以则，，两式相减得：.记数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设m为整数，且对随意，，求m的最小值．【答案】(1);(2)7【分析】（1）由数列与的关系可得，再结合等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出，结合范围即可得解.【详解】（1）因为，所以，当时，，故，且不满足上式，故数列的通项公式为（2）设，则，当时，，故，于是．整理可得，所以，又，所以符合题设条件的m的最小值为7差比数列的其它处理方式（待定系数法）已知，求.【答案】，，.【题型2】裂项相消（常规）已知，证明：.【分析】由，得到，结合裂项求和及，即可得证.【详解】解：由，则.所以.因为，所以，即.已知，数列前项和，记，设数列的前项和为，求证【解答】，，，，，，.已知正项数列的前n项和为，且满足，(1)求，(2)求【答案】(1);(2)【分析】(1)先令求出首项，再由数列的递推公式，当时，代入并结合等差数列的定义和通项公式求出.(2)由第一问的公式，正好利用分母有理化进行化简抵消即可得出结果【详解】（1）依据题意可得，当时，，解得，由，代入得，整理后得，即，依据等差数列的定义可知，数列是首项为1，公差为1的等差数列，则，（2）由(1)可知，，已知，设，求数列的前项和.【答案】【详解】，所以对式子变形后再裂项：一般是分别常数已知，设，求数列的前项和．【解析】.已知，记，数列的前项和为，求.【解析】，∴.已知，若，求数列的前项和.【解析】，则.已知，证明：.【分析】由，得到，结合裂项求和及，即可得证.【详解】解：由，则.所以.因为，所以，即【题型3】分组求和已知，若数列满足，求数列的前项和．【答案】【详解】因为，所以，所以．已知，设，数列的前项和为，求.【答案】【详解】.已知，设为数列在区间中的项的个数，求数列前100项的和.【答案】【详解】由为数列在区间中的项的个数，可知，，.当时，；当时，；当时，；当时，.∴.已知数列的前n项和，且，数列满足，其中．(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前20项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）依据、累乘法求得和的通项公式；（2）结合分组求和法、裂项相消求和法求得.【详解】（1）对于，当时，，当时，由得，两式相减得，由于，所以是首项为，公比为的等比数列，所以.对于，，所以，也符合上式，所以.（2）当为奇数时，；，所以.当为偶数时，；所以.所以.【题型4】裂项相消（进阶）1、裂项相加：(-1)n例：，本类模型典型标记在通项中含有乘以一个分式.对于可以裂项为2、等差数列相邻2两项之积构成的的新数列例如：一般式，当公差为k时：3、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘例子：一般结构若，数列满足，的前n项和为，求【答案】.【详解】由题可得，所以.已知，若，求的前n项和.【详解】，所以.已知，，求数列{}的前n项和【答案】.【详解】当时，，因此，，，则，满足上式，所以.已知，，求数列{}的前n项和.【答案】【详解】当n为偶数时，当n为奇数时，当时，当时，经检验，也满足上式，所以当n为奇数时，综上，数列的前n项和已知，设为数列的前项和，证明：.【详解】所以由于是递减的，所以已知，若，求数列的前n项和【详解】由，可得，则数列的前项和为.已知，，求数列的前项和．【答案】【详解】，所以.已知，记，为数列的前n项和，求．【解析】因为，所以，所以数列的前项和为：．已知，设，证明：.【详解】解：因为，，故 .【题型5】并项求和一般来说，并项求和的计算量比分组求和要小已知，若，求数列的前项和.【解析】，【法一】并项求和化简得，故 【法二】分组求和，所以，数列的前项和（2024秋·湖南长郡中学校考）已知是数列的前项和，，数列是公差为1的等差数列，则.【答案】366【分析】设，易得，再由求解.【详解】解：设，由题意知是公差为1的等差数列，则，故，则，故.于是，.已知，记，求数列的前30项的和.【解析】，所以，所以已知，设，，求数列的前2n项和.【详解】当为奇数时，；则当为偶数时，..【题型6】倒序相加“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学探讨几乎遍及全部领域，并且高斯探讨出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则.【答案】46【分析】先证，由倒序相加法可得通项，然后可解.【详解】因为函数的定义域为，设是函数图象上的两点，其中，且，则有，从而当时，有：，当时，，，相加得所以，又，所以对一切正整数，有；故有.（2024·江西南昌·统考三模）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学探讨几乎遍及全部领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们中学阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别常数后可得，再利用倒序相加法，即可求解．【详解】当时，，，，，，，即.【题型7】S2n与S2n-1下标的探讨和处理已知数列（1）求数列的前20项和（2）求数列的前项和.（3）求数列的前项和.（4）求数列的前项和【详解】（1）（2）由（1）知，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列.记，，故，故（3）（4）当n为偶数时，记n=2k则有，故当n为奇数时，记n=2k-1则有，故故已知，记的前n项和为，，求n的最小值.【分析】解法一：枚举；解法二：分组求和得出，进而得出，求解即可得出答案；解法三：分组求和得出，求解即可得出答案.【详解】解法一：，又；又，则，且，所以n的最小值为10.解法二：时，，，所以，，又，则，且，所以n的最小值为10.解法三：当时，，所以，.又，则，且，所以n的最小值为10. （2024·湖南岳阳·统考三模）已知，若，求数列的前n项和．【解析】，当n为偶数时，；当n为奇数时；综上所述：.

【题型8】通项含有(－1)n的类型已知，若，求数列的前项和．解题思路点拨：解题思路点拨：代入得：留意到通项中含有“”，会影响最终一项取“正还是负”，通过探讨的奇偶，结合分组求和.奇偶项通项不同，接受分组求和可作为一个解题技巧（留意到本例求解的，代入最终一项，是正，还是负，须要探讨）（探讨时优先探讨为偶数）为奇数为偶数当为奇数时，为偶数，即：留意到为偶数，所以可运用偶数项和的结论，代入左侧求和结果：，则：，整理：综上：

已知，设数列，数列化的前项和为思路点拨：思路点拨：，留意到通项中含有“”，会影响最终一项取“正还是负”，通过探讨的奇偶，结合分组求和.奇偶项通项不同，接受分组求和可作为一个解题技巧（留意到本例求解的为偶数项和，代入最终一项，确定是正，故不须要探讨）分组求和在数列{an}中，若，则数列{an}的前12项和等于_________.【答案】78因为，所以，，，，，，，，，，.从第一个式子起先，相邻的两个式子作差得：.从其次个式子起先，相邻的两个式子相加得：把以上的式子依次相加可得：=78.已知，若，求数列的前项和．【答案】【详解】故当为偶数时，当为奇数时，，所以已知数列中，.（1）求证：数列是常数数列；（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为.（1）由得：，即，即有数列是常数数列；（2）由（1）知：即，当为偶数时，，明显无解；当为奇数时，，令，解得：，结合为奇数得：的最小值为已知数列的前项和，，，．(1)计算的值，求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）依据，作差得到，再依据等差数列通项公式计算可得；（2）由（1）可得，利用并项求和法计算可得；【详解】（1）解：当时，，解得，由题知①，②，由②①得，因为，所以，于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，即，偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，即所以的通项公式；（2）解：由（1）可得，.已知，，求{}的前64项和.【答案】的前64项和.【详解】，，即：.∴的前64项和．【题型9】奇偶数列求和重庆一中月考已知数列满足，若，求.【答案】【详解】证明：，设，又，为以4为首项，2为公比的等比数列.，，又，，所以.2024·新高考1卷T17已知数列满足，，求的前20项和.【答案】.【详解】，设所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是．（广东试验中学校考）已知数列满足，且的前100项和(1)求的首项；(2)记，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）分为奇数和为偶数两种状况进而探讨即可求解；（2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）当为奇数时，；则偶数项构成以为公差的等差数列，所以当为偶数时，；当为偶数时，，则奇数项构成以1为公差的等差数列，所以当为奇数时，，则，又，所以，解得，.（2）由（1）得，，，，当时，，∴，综上，知.【题型10】隔项数列求和（一般并项求和）已知数列满足，，则________【答案】【详解】数列满足，，因为，，所以，若数列的前项和为，且，则（

）A．684 B．682 C．342 D．341【答案】B【分析】依据等比数列求和公式以及并项求和法得出结果.【详解】，，，，，所以.（深圳一模）记，为数列的前n项和，已知，求．【答案】【详解】解：，，．当n为偶数时，；当n为奇数时，．综上所述，【题型11】和为等比数列求和已知数列中，，求数列的前n和.【答案】思路点拨：依据题意：思路点拨：依据题意：，可推出，两式作差变换下标，写成所以，，．．．．．．．累加，得累加求通项所以数列的前n和为求和已知数列满足，，．(1)求的通项公式．(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可；（2）依据等比数列的前项公式可得，参变分别可得，再依据的单调性求解最大值即可.【详解】（1）由可得，且，故是以2为首项，3为公比的等比数列，故，所以，又，故，即.（2）由（1）为等比数列，故，故即恒成立，求的最大值即可.设，则，令有，故当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.又，故为的最大值，为，所以，2024·杭州二模设公差不为0的等差数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前n项和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）依据等差数列性质设出公差和首项，代入题中式子求解即可；（2）列出通项公式，依据通项求出的前n项和，再依据通项求出的前2n项和，两式相减解得的通项公式，最终分组求和求出数列的前n项和.【详解】（1），设公差为d，首项为，因为公差不为0，所以解得，，数列的通项公式为，.（2）

①

②得，解得【题型12】插入新数列混合求和已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则（

）A．4043 B．4044 C．4045 D．4046【答案】C【分析】依据等差数列的性质求出，再代入即可.【详解】设数列的公差为，由题意可知，，，，故，故，则已知对全部正整数m，若，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.【答案】1809【分析】考虑到，，从而确定的前40项中有34项来自，其他6项由组成，由此分组求和．【详解】由.所以，又，所以前40项中有34项来自.故已知数列的通项公式，在数列的随意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为．【答案】370【分析】依题意，确定前60项所包含数列的项，以及中间插入4的数量即可求和.【详解】因为与之间插入个4，，，，，，其中，之间插入2个4，，之间插入4个4，，之间插入8个4，，之间插入16个4，，之间插入32个4，由于，，故数列的前60项含有的前5项和55个4，故已知数列，在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和.【答案】【详解】解：由题可知，得，则，③，④③④得，解得.已知，在与之间插入一项，使，，成等比数列，且公比为，求数列的前项和.【答案】【详解】因为，，成等比数列，且公比为，所以因为，所以，即因为，则有：可得：化简可得：所以数列的前项和：已知，在数列中的和之间插入i个数，，，…，，使，，，，…，，成等差数列，这样得到一个新数列，设数列的前n项和为，求