2024春七年级数学下册专题09分式及分式的运算压轴题六种模型全攻略含解析新版浙教版

Page1专题09分式及分式的运算压轴题六种模型全攻略【类型一分式的定义】例题：（四川攀枝花·八年级期中）在代数式，，，，中，分式有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【解析】【分析】依据分式的定义，形如，B中含有字母且B≠0，推断即可．【详解】解：在代数式，，，，中，分式是，，共2个故选：A．【点睛】本题考查了分式的定义，娴熟驾驭分式的定义是解题的关键．【变式训练1】（江苏·靖江市靖城中学八年级期中）代数式，，，，，中分式有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】【分析】依据分式的概念干脆求解．【详解】解：是分式；不是分式；是分式；是分式；不是分式，∴是分式的有3个，故选：B【点睛】本题考查了分式的概念，理解驾驭分式的概念是解题的关键．分母中含有字母的式子，是分式，特别留意：π是无理数，不是字母．【变式训练2】（内蒙古通辽·一模）代数式有意义，则实数x的取值范围是_________________．【答案】【解析】【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．【详解】解：代数式有意义，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件，娴熟驾驭分式有意义的条件是解题的关键．【变式训练3】（山东临沂·八年级期末）式子①，②，③，④，⑤中，分式有________个【答案】①③⑤【解析】【分析】依据分式的定义逐项推断即可．【详解】解：①的分母中含有字母，是分式；②的分母中不含有字母，是整式；③的分母中含有字母，是分式；④的分母中不含有字母，是整式；⑤的分母含有字母，是分式；综上，①③⑤．故答案为：①③⑤【点睛】本题考查了分式的定义，解题的关键是推断是不是分式，只要推断分母中是否含有字母，须要留意π是一个数，所以分母中含有π的不是分式．【类型二分式的值及分式的值为零】例题：（海南省直辖县级单位·一模）若分式的值为0，则x的值是（

）A． B． C．1 D．0【答案】C【解析】【分析】依据分式值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零列式求解即可．【详解】解：由题意，得，解得：x=1，故选：C．【点睛】本题考查分式值为零的条件，娴熟驾驭分式值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零是解题的关键．【变式训练1】（云南师范高校试验中学七年级期中）设=，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由=，可得再代入分式进行求值即可．【详解】解：=，故选C【点睛】本题考查的是分式的求值，得到再代入分式进行求值是解本题的关键．【变式训练2】（内蒙古·乌海市其次中学八年级期末）若分式的值等于0，则x的值为（

）A．﹣1 B．0 C．1 D．±1【答案】A【解析】【分析】依据分式的值为0的条件即可得出答案．【详解】解：依据题意，|x|−1＝0，x−1≠0，∴x＝−1，故选：A．【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，驾驭分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．【变式训练3】（广西河池·模拟预料）当______时，分式有意义；当______时，分式的值为零．【答案】

【解析】【分析】要使分式的值为，必需分式分子的值为，并且分母的值不为分母的值是时分式没有意义．【详解】解：由解得：．当时，分式有意义；由分子解得：，而时，分母，当时，分式的值为零．故答案为：，x．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，分式值为零的条件，关键是驾驭分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零,特别留意“分母不为零”这个条件不能少．【类型三分式的基本性质】例题：（福建泉州·八年级期中）假如把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（

）A．扩大6倍 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小3倍【答案】B【解析】【分析】把x，y都扩大3倍后分别变为3x，3y，然后再代入分式中进行化简计算，即可推断．【详解】解：把x，y都扩大3倍后分别变为3x，3y，那么分式的值=，所以，假如把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值扩大3倍．故选：B．【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．【变式训练1】（四川眉山·八年级期中）假如把分式中的x和y都扩大3倍，则分式的值（）A．扩大4倍 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小2倍【答案】C【解析】【分析】依据分式的性质即可得出答案．【详解】解：将分式中的x和y都扩大3倍，得==所以分式的值不变故选：C．【点睛】本题考查分式的基本性质，将x和y换成3x和3y正确化简是解题的关键．【变式训练2】（山东东营·八年级期末）将分式中，x，y的值同时扩大为原来的２倍，则分式的值（

）A．不变 B．扩大为原来的2倍C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的【答案】B【解析】【分析】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．【详解】解：∵＝＝∴分式的值比原来扩大2倍，故选：B．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变更的倍数，解此类题首先把字母变更后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．【变式训练3】（河南周口·八年级期末）下列变形中，正确的是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】依据分式的性质，对选项逐个推断即可．【详解】解：A、，选项正确，符合题意；B、，选项错误，不符合题意；C、，选项错误，不符合题意；D、当时，等号右边的式子没有意义，选项错误，不符合题意；故选：A【点睛】此题考查了分式的性质，涉及了平方差公式，解题的关键是娴熟驾驭分式的有关性质．【类型四分式的混合运算】例题：（湖北·老河口市教学探讨室一模）化简：．【答案】1【解析】【分析】依据分式的混合运算法则即可求解．【详解】解：原式＝

＝

＝

＝1．【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．【变式训练1】（湖北十堰·一模）化简：．【答案】【解析】【分析】先将括号里的式子通分，再利用完全平方公式进行化简，然后将除法化为乘法进行约分即可求解．【详解】原式＝＝．【点睛】本题考查分式的混合运算，还涉及到完全平方公式，解题的关键是娴熟驾驭分式混合运算法则．【变式训练2】（江苏扬州·八年级期中）（1）计算：（2）【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）先化为同分母分式，再相减，最终进行约分即可；（2）把能分解的分子与分母进行分解，并且括号内进行通分再相减，最终进行约分即可；【详解】解：（1）原式===1（2）原式===【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的驾驭．【变式训练3】（重庆市珊瑚初级中学校八年级期中）化简(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】有括号先去括号，把除法变为乘法把分式化简，同时将分子分母因式分解，依据分式的性质化简即可．(1)解：原式＝(2)解：原式＝【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确的计算是解题的关键．【类型五分式运算中——先化简，再求值】例题：（贵州·遵义市第十二中学一模）先化简，并从－5，－1，0，5中选择宠爱的数代入求值．【答案】，选择，值为4【解析】【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后依据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得．【详解】解：原式，，，将代入得：原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭分式的运算法则是解题的关键．【变式训练1】（河南三门峡·一模）先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法，然后约分化简，最终将x的值代入求解即可．【详解】解：原式，当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，娴熟进行通分和约分是解此题的关键．【变式训练2】（新疆·乌市一中二模）先化简，再求值，其中．【答案】，2．【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．【详解】解：=当a=2时，原式=．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是驾驭分式混合运算依次和运算法则．【变式训练3】（山东烟台·八年级期末）（1）已知，且，求的值．（2）先化简，再从，0，1中选择合适的值代入求值．【答案】（1），1；（2），-1【解析】【分析】（1）将式子化简为，已知条件化简然后代入求解即可；（2）将分式化简，然后由分式有意义的条件代入求值即可．【详解】（1）解：原式，∵，∴原式；（2）原式，∵，∴取，原式．【点睛】题目主要考查分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解题的关键．【类型六分式中的规律探究问题】例题：（全国·八年级期中）视察下列各式：2，3，4．(1)类比上述式子，再写出一个同类型的式子；(2)你能用字母n（n是正整数）表示其中的规律吗？并给出证明．【答案】(1)；(2)规律n（n＞1），证明见解析【解析】【分析】（1）依据前几个等式的变更规律解答即可；（2）依据前几个等式的变更规律，用n表述规律即可，再依据分式的化简和二次根式的性质证明即可．(1)解：依据前几个等式的变更规律，则有；(2)解：∵2=2，3=3，4=4．∴规律为：n（n＞1），证明：=n（n＞1）．【点睛】本题考查与实数运算相关的规律题、分式的加减、二次根式的性质，能正确发觉变更规律是解答的关键．【变式训练1】（安徽·合肥市五十中学新校二模）视察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…；依据以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)，见解析【解析】【分析】(1)视察所给等式中的各个分数的分子与分母的数字与序号的关系可得结论；(2)同(1)一样的方法进行总结可得；利用分式的加减法则分别计算等式的左边和右边可得．(1)由题意得：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…；依据以上规律，第6个等式为：；(2)猜想：，；证明：∵左边＝＝=＝＝＝右边，∴等式成立．【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过视察，分析、归纳发觉其中的规律，发觉等式中的数字与序号的关系是解题的关键．【变式训练2】（安徽·合肥市第三十中学二模）视察以下等式：第1个等式：；

第2个等式：；第3个等式：；

第4个等式：；依据以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：________________________；(2)写出你猜想的第个等式：________________________（用含的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)；证明见详解【解析】【分析】（1）每个等式两边分别是一个分数与一个数字的差与商，分别分析分数与数字的规律，分数的分母第一个是1，以后序号每增加1分母增加3，第一个等式的分子为2的平方，其次个等式为5的平方，则分子等于分母加1的平方，数字等于分数的分子中的底数，依据此规律写出第5个等式即可；（2）依据（1）中的规律，写出第n个等式即可，依据完全平方公式以及多项式乘多项式法则将等号左右两边的代数式化简即可证明结论．(1)解：依据题意可知，第5个式子为：，即：，故答案为：．(2)解：猜想第n个式子为：，证明：，，∵，∴成立．【点睛】本题考查找寻数之间的规律，完全平方公式，多项式乘以多项式，能够发觉规律，总结规律，应用规律是解决本题的关键．【变式训练3】（安徽·九年级专题练习）视察以下等式：第1个等式；第2个等式；第3个等式；第4个等式；……依据以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：______．(2)写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)；证明见解析【解析】【分析】（1）依据以上所总结的规律即可写出第5个等式；（2）同理，律即可猜想出第n个等式．证明方法：计算出左边的结果看是否等于右边．(1)解：由题意得：第5个等式为：；故答案为：；(2)猜想：证明：右边左边，故猜想成立．故答案为：．【点睛】本题考查了数字的规律变更，分式的化简，找到等式中分数的变更规律是解题关键．【课后训练】一、选择题1．（陕西延安·八年级期末）下列各式中，是分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依据分式的定义依次推断即可得出结果．【详解】解：A、属于整式，不是分式；B、属于分式；C、属于整式，不是分式；D、属于整式，不是分式；故选B．【点睛】本题主要考查了分式的概念，分式的分母必需含有字母，而分子可以含有字母，也可以不含字母，理解定义是解题关键．2．（江苏扬州·八年级期中）把分式中的x和y都扩大3倍，则分式的值(

)A．不变 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍【答案】B【解析】【分析】将x，y扩大3倍，即将x，y用3x，3y代替，就可以解出此题．【详解】解：将x，y扩大3倍，即将x，y用3x，3y代替∴扩大为原来的3倍故选B．【点睛】此题考查的是对分式的性质的理解和运用，扩大或缩小n倍，就将原来的数乘以n或除以n后代入计算是解题关键．3．（浙江·九年级专题练习）要使分式有意义，x的取值应当满足（）A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2【答案】D【解析】【分析】依据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】由题意得：，解得：且，故选：D．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．4．（湖南长沙·八年级期末）若分式的值为零，则x等于（

）A．-2 B．2 C．-2或2 D．2或3【答案】C【解析】【分析】依据分式为0时，分子等于0且分母不等于0即可得出．【详解】依题意得，且，由解得或－2，当时，，当时，，所以，或－2，故选：C．【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，若分式的值为0，则同时具备分子等于0且分母不等于0．二、填空题5．（江苏南京·九年级期末）若，则的值为___．【答案】【解析】【分析】设b=5k，a=3k，代入求值即可；【详解】解：设b=5k，a=3k，则==，故答案为：；【点睛】本题考查了分式的求值，驾驭分式的性质是解题关键．6．（全国·九年级专题练习）当分式时，x的值为____【答案】【解析】【分析】依据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出方程，解方程即可．【详解】解：由题意得，，，解得，x＝±3，x≠3，∴x＝−3，则x＝−3时，分式的值为零．故答案为：−3．【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，驾驭分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．7．（河北秦皇岛·八年级期中）已知，则分式的值为_____．【答案】##【解析】【分析】先把条件式化为再整体代入代数式求值即可.【详解】解：，去分母得：故答案为：【点睛】本题考查的是已知条件式求解分式的值，把条件式变形，再整体代入求值是解本题的关键.8．（江苏·无锡市侨谊试验中学八年级期中）约分：①__________，

②__________，③___________，④若，则的值是________.【答案】

；

；

；

．【解析】【分析】（1）分子分母都约去公因式5ab即可；（2）分别将分子和分母分解因式，再约分；（3）分别将分子和分母分解因式，再约分；（4）将前面的等式进行变形后再代入后面的代数式进行求值即可．【详解】解：①；②；③；④若，则,∴．故答案为：①；②；③；④．【点睛】本题考查了约分及分式的求值：约去分式的分子与分母的公因式，不变更分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．三、解答题9．（广东佛山·二模）先化简，再求代数式的值，其中【答案】，【解析】【分析】先算括号内的加法，再把除化为乘，分子分母分解因式约分，化简后将x=-4代入即可得到答案．【详解】原式当时，原式【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是驾驭分式混合运算的依次及相关运算的法则．10．（河南·方城县基础教化教学探讨室一模）先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】依据分式的运算依次进行：先算括号再算除法，最终约分即可化简；再求出x的值，并把x的值代入化简后的式子中即可求得值．【详解】解：∵∴原式=【点睛】本题是分式的化简求值，考查了分式的混合运算，算术平方根的计算、零指数幂、负整数指数幂的意义，求代数式的值等学问，分式的化简及求得x的值是关键，分式运算留意运算依次不能出错．11．（山东枣庄·一模）先化简：（－a－1）÷，然后从－1，0，1，2，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．【答案】2（a－3）；当a＝0时，原式＝－6【解析】【分析】小括号内进行通分，对多项式进行因式分解，除法转化为乘法，化简约分即可得到化简的结果，依据分式有意义的条件得到a的取值，代入求值即可．【详解】解：原式＝[－]÷＝（－）·＝·＝·＝2（a－3）．∵a≠3且a≠－1，∴a＝0（或a＝1），当a＝0时，原式＝2×（0－3）＝－6．[或当a＝1时，原式＝2×（1－3）＝－4．答案不唯一]【点睛】本题考查了分式的化简求值，把整式看成分母是1的分数，