2024年高中数学新高二暑期培优讲义第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系（学生版）

第第页第15讲直线和圆锥曲线的位置关系【题型归纳目录】题型一：直线与椭圆的位置关系题型二：椭圆的弦题型三：椭圆的综合问题题型四：直线与双曲线的位置关系题型五：双曲线的弦题型六：双曲线的综合问题题型七：直线与抛物线的位置关系题型八：抛物线的弦题型九：抛物线的综合问题【知识点梳理】知识点一：直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M(x，y)，若点M(x，y)在椭圆上，则有SKIPIF1<0SKIPIF1<0；若点M(x，y)在椭圆内，则有SKIPIF1<0SKIPIF1<0；若点M(x，y)在椭圆外，则有SKIPIF1<0SKIPIF1<0.直线与椭圆的位置关系将直线的方程SKIPIF1<0与椭圆的方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0SKIPIF1<0直线和椭圆相交SKIPIF1<0直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；②Δ＝0SKIPIF1<0直线和椭圆相切SKIPIF1<0直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③Δ＜0SKIPIF1<0直线和椭圆相离SKIPIF1<0直线和椭圆无公共点．直线与椭圆的相交弦设直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0这里SKIPIF1<0SKIPIF1<0的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：SKIPIF1<0SKIPIF1<0知识点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程SKIPIF1<0与双曲线的方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.SKIPIF1<0若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，①Δ＞0SKIPIF1<0直线和双曲线相交SKIPIF1<0直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0SKIPIF1<0直线和双曲线相切SKIPIF1<0直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0SKIPIF1<0直线和双曲线相离SKIPIF1<0直线和双曲线相离，无公共点．直线与双曲线的相交弦设直线SKIPIF1<0交双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0这里SKIPIF1<0SKIPIF1<0的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：SKIPIF1<0SKIPIF1<0双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0为中点的弦所在直线的斜率SKIPIF1<0；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.知识点四、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系将直线的方程SKIPIF1<0与抛物线的方程y2=2px(p＞0)联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若SKIPIF1<0①Δ＞0SKIPIF1<0直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0SKIPIF1<0直线和抛物线相切，有一个公共点；③Δ＜0SKIPIF1<0直线和抛物线相离，无公共点．直线与抛物线的相交弦设直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0这里SKIPIF1<0SKIPIF1<0的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：SKIPIF1<0SKIPIF1<0抛物线的焦点弦问题已知过抛物线SKIPIF1<0的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：焦点弦长SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0，其中|AF|叫做焦半径，SKIPIF1<0④焦点弦长最小值为2p。根据SKIPIF1<0时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。【典例例题】题型一：直线与椭圆的位置关系例1．若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有且只有一公共点，那么SKIPIF1<0的值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．已知椭圆SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，则直线l与椭圆C的位置关系为(

)A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定题型二：椭圆的弦例3．已知椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0__________．例4．椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，过O作直线交椭圆于A、B两点，若SKIPIF1<0的面积为20，则直线AB的方程为______．题型三：椭圆的综合问题例5．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上任意一点SKIPIF1<0到两个焦点的距离之和为SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交椭圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，求直线SKIPIF1<0的方程．题型四：直线与双曲线的位置关系例6．直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0相交，有且只有1个交点，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例7．若直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有且只有一个交点，则满足条件的直线SKIPIF1<0有(

)A．SKIPIF1<0条 B．SKIPIF1<0条 C．SKIPIF1<0条 D．SKIPIF1<0条题型五：双曲线的弦例8．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上．(1)求直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之积；(2)若直线MN的斜率为2，且过点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．题型六：双曲线的综合问题例9．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0右支的一条切线，且与SKIPIF1<0的渐近线交于A，B两点．(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．题型七：直线与抛物线的位置关系例10．过抛物线SKIPIF1<0的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(

)A．有且只有一条B．有且只有两条C．有且只有三条D．有且只有四条题型八：抛物线的弦例11．过抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0的直线交抛物SKIPIF1<0线于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，则弦SKIPIF1<0的长为______.例12．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的弦SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为______．题型九：抛物线的综合问题例13．已知抛物线SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0.(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)已知直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程.例14．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，点F到抛物线准线距离为4．(1)求抛物线E的标准方程；(2)已知SKIPIF1<0的三个顶点都在抛物线E上，顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重心恰好是抛物线E的焦点F．求SKIPIF1<0所在的直线方程．【过关测试】一、单选题1．已知直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，则直线SKIPIF1<0的方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，且直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．1 B．3 C．2 D．SKIPIF1<0二、填空题5．设P是双曲线SKIPIF1<0右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则SKIPIF1<0的值为________．6．过抛物线SKIPIF1<0的焦点作一直线交抛物线于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的值是________．7．已知双曲线C：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0