2024年高中数学新高二暑期培优讲义第14讲 抛物线（教师版）

第第页第14讲抛物线【题型归纳目录】题型一：抛物线的定义题型二：求抛物线的标准方程题型三：抛物线的综合问题题型四：轨迹方程题型五：抛物线的几何性质题型六：抛物线中的范围与最值问题题型七：焦半径问题【知识点梳理】知识点一：抛物线的定义定义：平面内与一个定点SKIPIF1<0和一条定直线SKIPIF1<0(SKIPIF1<0不经过点SKIPIF1<0)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点SKIPIF1<0叫做抛物线的焦点，定直线SKIPIF1<0叫做抛物线的准线．知识点诠释:(1)上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值(2)定义中的隐含条件：焦点F不在准线SKIPIF1<0上，若F在SKIPIF1<0上，抛物线变为过F且垂直与SKIPIF1<0的一条直线.(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.知识点二：抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0。知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线SKIPIF1<0的一次项为SKIPIF1<0，故其焦点在SKIPIF1<0轴上，且开口向负方向(向下)③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。知识点三：抛物线的简单几何性质：抛物线标准方程SKIPIF1<0的几何性质范围：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，抛物线y2=2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。对称性：关于x轴对称抛物线y2=2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。顶点：坐标原点抛物线y2=2px(p＞0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0，0)。抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程y2=2px(p＞0)y2=－2px(p＞0)x2=2py(p＞0)x2=－2py(p＞0)顶点O(0，0)范围x≥0，SKIPIF1<0x≤0，SKIPIF1<0y≥0，SKIPIF1<0y≤0，SKIPIF1<0对称轴x轴y轴焦点SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0离心率e=1准线方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0焦半径SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知识点诠释：(1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；(2)标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线SKIPIF1<0上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.【典例例题】题型一：抛物线的定义例1．若P为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为()A．相交 B．相离C．相切 D．不确定【答案】C【解析】如图所示，设SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴分别交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，由抛物线的定义，可得SKIPIF1<0，又由梯形的中位线的性质，可得SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0为直径的圆与SKIPIF1<0轴相切.故选：C.例2．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，SKIPIF1<0是C上一点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】依题意知，焦点SKIPIF1<0，由定义知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C.题型二：求抛物线的标准方程例3．若抛物线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0到其准线的距离为SKIPIF1<0，故抛物线方程为SKIPIF1<0，故选：A例4．已知抛物线的焦点为SKIPIF1<0，则抛物线的标准方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为抛物线的焦点为SKIPIF1<0在y轴上，令x2=2py(p>0)且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以抛物线的标准方程为SKIPIF1<0.故选：D题型三：抛物线的综合问题例5．(多选题)已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是抛物线上两点，则下列结论正确的(

)A．点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0B．若直线SKIPIF1<0经过焦点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<0D．若直线SKIPIF1<0经过焦点SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0【答案】BC【解析】抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0,故A错误；过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交抛物线于SKIPIF1<0两点，显然SKIPIF1<0的斜率存在，设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<00恒成立.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故B正确；∵SKIPIF1<0，根据抛物线定义得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而由中点坐标公式得点P的纵坐标SKIPIF1<0，即为点P到x轴的距离为SKIPIF1<0，故C正确；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0当SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，故D错误.故选：BC设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0，故C错误；则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的延长线上时，等号成立，故D正确.故选：ABD.题型四：轨迹方程例6．已知圆的方程为SKIPIF1<0，若抛物线过点A(﹣1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设切点为(a，b)，∴SKIPIF1<0，则切线为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时也成立，设焦点(x，y)，由抛物线定义可得：SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，②-①得SKIPIF1<0，代入②得SKIPIF1<0化简可得抛物线的焦点轨迹方程为SKIPIF1<0，(依题意焦点不能与A，B共线，∴y≠0．)故选：C例7．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P是抛物线C上一动点，则线段FP的中点Q的轨迹方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设Q(x，y)，P(x1，y1)，则SKIPIF1<0①，又F(2，0)，由Q为PF的中点，得SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0代入①，得(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)．故选：A题型五：抛物线的几何性质例8．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0中点的纵坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由抛物线SKIPIF1<0，可得其焦点坐标为SKIPIF1<0，过焦点SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的中点的纵坐标为SKIPIF1<0，因为线段SKIPIF1<0中点的纵坐标为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由抛物线的定义可得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例9．抛物线SKIPIF1<0在第一象限上一点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为该抛物线的焦点，则直线SKIPIF1<0的斜率为______.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意作图如下：过SKIPIF1<0引抛物线准线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型六：抛物线中的范围与最值问题例10．已知点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最小值是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，设点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.例11．已知点SKIPIF1<0为拋物线SKIPIF1<0上的动点，点SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上的动点，则点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离与点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离之和最小值为__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题可知，抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0，焦点坐标为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，由抛物线的定义可知点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离即为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离与点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离之和SKIPIF1<0，根据圆的性质可知点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离与点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离之和最小值为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共线(SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0之间)时取等号.故答案为：SKIPIF1<0.题型七：焦半径问题例12．过抛物线M：SKIPIF1<0焦点的直线交抛物线M于A，B两点，若线段AB的中点P到M的准线的距离等于9，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为抛物线M：SKIPIF1<0，所以记抛物线M的焦点为F，抛物线SKIPIF1<0准线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以点P到M的准线的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由抛物线定义知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．例13．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____________________.【答案】SKIPIF1<0【解析】抛物线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0点坐标代入抛物线方程得SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0舍去)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【过关测试】一、单选题1．过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0作直线，交抛物线于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】如图所示，由题得SKIPIF1<0，抛物线的准线方程为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故选：C2．已知抛物线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交该抛物线于SKIPIF1<0两点．若线段SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0斜率为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，，故SKIPIF1<0，由于线段SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，故由抛物线对称性可知SKIPIF1<0斜率存在，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0.故选：C3．过抛物线SKIPIF1<0的焦点F作倾斜角为SKIPIF1<0的弦AB，则SKIPIF1<0的值为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根据抛物线SKIPIF1<0方程得：焦点坐标SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，由直线方程的点斜式方程，设SKIPIF1<0，将直线方程代入到抛物线方程中，得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由一元二次方程根与系数的关系得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以弦长SKIPIF1<0．故选：B．二、填空题4．抛物线SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0到焦点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的纵坐标为________.【答案】1【解析】抛物线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，依题意可知，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<05．抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，过点F作斜率为SKIPIF1<0的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是____.【答案】SKIPIF1<0【解析】由抛物线的定义可得|AF|=|AH|，SKIPIF1<0直线AF的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0AF的倾斜角为30°.SKIPIF1<0直线AH垂直于准线，SKIPIF1<0，故△AHF为等边三角形.设Am，SKIPIF1<0，m>0，过F作FM⊥AH于点M，则在△FAM中，|AM|=SKIPIF1<0|AF|，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故等边三角形AHF的边长|AH|=4，∴△AHF的面积是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<06．已知点F为抛物线SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0，点P为抛物线上一动点，则SKIPIF1<0的最小值为______．【答案】4【解析】如图，过SKIPIF1<0作抛物线准线SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由抛物线的定义可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0共线时等号成立，故SKIPIF1<0的最小值为4.故答案为：4.三、解答题7．已知直线l与抛物线C：SKIPIF1<0交于A，B两点．(1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长；(2)若直线l经过点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【解析】(1)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0中点设为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题意，抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据抛物线的定义得SKIPIF1<0；(2)当直线SKIPIF1<0斜率不存在时，SKIPIF1<0，与抛物线只有一个交点，不符合题意.所以直线SKIPIF1<0斜率必存在，设为SKIPIF1<0，与抛物