2024年高中数学新高二暑期培优讲义第10讲 圆的方程（教师版）

第第页第10讲圆的方程【题型归纳目录】题型一：圆的标准方程题型二：圆的一般方程题型三：点与圆的位置关系题型四：二元二次曲线与圆的关系题型五：圆过定点问题题型六：轨迹问题【知识点梳理】知识点一：圆的标准方程SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径．知识点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时SKIPIF1<0，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：SKIPIF1<0；圆与y轴相切时：SKIPIF1<0；圆与x轴相切时：SKIPIF1<0；与坐标轴相切时：SKIPIF1<0；过原点：SKIPIF1<0(2)圆的标准方程SKIPIF1<0圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，它显现了圆的几何特点．(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．知识点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，则有(1)若点SKIPIF1<0在圆上SKIPIF1<0(2)若点SKIPIF1<0在圆外SKIPIF1<0(3)若点SKIPIF1<0在圆内SKIPIF1<0知识点三：圆的一般方程当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0叫做圆的一般方程．SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径．知识点诠释：由方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0时，方程只有实数解SKIPIF1<0．它表示一个点．(2)当SKIPIF1<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当SKIPIF1<0时，可以看出方程表示以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆．知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据已知条件，建立关于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的方程组．(3)解方程组，求出SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．知识点五：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量SKIPIF1<0之间的方程．1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法)．2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3、求轨迹方程的步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用SKIPIF1<0表示轨迹(曲线)上任一点SKIPIF1<0的坐标；(2)列出关于SKIPIF1<0的方程；(3)把方程化为最简形式；(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；(5)作答．【典例例题】题型一：圆的标准方程例1．圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的圆是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】圆SKIPIF1<0圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的点为SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的圆是SKIPIF1<0.故选：D.例2．已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为(

)A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5【解析】设圆心SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则半径为SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0.即圆C的标准方程为SKIPIF1<0.故选：B例3．已知圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且圆心在直线SKIPIF1<0上，则圆SKIPIF1<0的标准方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且圆心在直线SKIPIF1<0上，所以有SKIPIF1<0，因此圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，故选：A题型二：圆的一般方程例4．SKIPIF1<0三个顶点的坐标分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接圆的方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设所求圆方程为SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点都在圆上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即所求圆方程为：SKIPIF1<0.故选：C.例5．已知圆SKIPIF1<0经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且圆心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则圆SKIPIF1<0的方程为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设圆的一般方程为SKIPIF1<0，圆心坐标为SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0经过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且圆心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故选：C.题型三：点与圆的位置关系例6．点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为(

)A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关【解析】将点P(m，3)坐标代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中，有：SKIPIF1<0恒成立，故点P在圆外，故选：A.例7．点SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系是(

)．A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定【解析】因为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0外.故选：B题型四：二元二次曲线与圆的关系例8．(多选题)方程SKIPIF1<0表示圆，则实数a的可能取值为(

)A．4 B．2 C．0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】把方程SKIPIF1<0整理成SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若表示圆则满足SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，观察答案中只有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0符合题意.故选：AD例9．(多选题)已知方程SKIPIF1<0，下列叙述正确的是(

)A．方程表示的是圆.B．当SKIPIF1<0时，方程表示过原点的圆.C．方程表示的圆的圆心在SKIPIF1<0轴上.D．方程表示的圆的圆心在SKIPIF1<0轴上.【答案】BC【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0；对于A，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则方程不表示圆，A错误；对于B，当SKIPIF1<0时，方程为SKIPIF1<0，则方程表示以SKIPIF1<0为圆心，半径为SKIPIF1<0的圆，此圆经过原点，B正确；对于CD，若方程表示圆，则该圆圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，则圆心在SKIPIF1<0轴上，不在SKIPIF1<0轴上，C正确，D错误.故选：BC.题型五：圆过定点问题例10．对任意实数SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0恒过定点，则定点坐标为__．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以定点的坐标是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例11．对任意实数SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0恒过定点，则其坐标为______.【答案】SKIPIF1<0、SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0由得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故填：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.例12．已知方程SKIPIF1<0表示圆，其中SKIPIF1<0，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是________________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由已知得SKIPIF1<0，它表示过圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交点的圆.由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0即定点坐标为SKIPIF1<0.故答案为SKIPIF1<0题型六：轨迹问题例13．已知线段AB的端点B的坐标为SKIPIF1<0，端点A在圆C：SKIPIF1<0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【解析】设点P的坐标为SKIPIF1<0，点A的坐标为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且P为线段AB的中点，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为点A在圆C：SKIPIF1<0上运动，即有SKIPIF1<0，代入可得，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，化为标准方程可得SKIPIF1<0.所以，中点P的轨迹方程为SKIPIF1<0，该轨迹为以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆.例14．已知方程SKIPIF1<0表示圆，其圆心为SKIPIF1<0.(1)求圆心坐标以及该圆半径SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的端点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，端点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，求线段SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0的轨迹方程.【解析】(1)方程SKIPIF1<0可变为：SKIPIF1<0由方程表示圆，所以SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.圆心坐标为SKIPIF1<0.(2)当SKIPIF1<0时，圆SKIPIF1<0方程为：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，由端点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.例15．已知圆SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点.(1)求圆SKIPIF1<0的方程；(2)设点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，点SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程.【解析】(1)设圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别代入方程，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0.【过关测试】一、单选题1．若圆SKIPIF1<0的圆心到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则实数a的值为(

)A．0或2 B．0或-2C．0或SKIPIF1<0 D．-2或2【答案】A【解析】将圆的方程化为标准方程为：SKIPIF1<0，所以，圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0.因为圆心SKIPIF1<0到直线的距离为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：A.2．已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则圆SKIPIF1<0的方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意知,圆SKIPIF1<0的圆心与SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，且两圆半径相等，因为圆SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以圆心SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，设圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：A.3．若点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0的内部，则a的取值范围是().A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题可知，半径SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，把点SKIPIF1<0代入方程，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以故a的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D4．动直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0平分圆SKIPIF1<0的周长，则SKIPIF1<0的最小值(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意，动直线SKIPIF1<0过圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D.二、填空题5．若l是经过点SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】将圆化为标准方程可得，SKIPIF1<0，所以圆心为SKIPIF1<0.代入直线SKIPIF1<0的两点式方程SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0.所以，l在y轴上的截距是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.6．圆过点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求面积最小的圆的一般方程为________________．【答案】SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0为圆的直径时，过SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圆的半径最小，从而面积最小．因为点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所求圆的半径为SKIPIF1<0，所以，所求圆的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.7．过圆SKIPIF1<0外一点SKIPIF1<0作圆的两条切线，切点A、B，则SKIPIF1<0的外接圆的方程是________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由圆SKIPIF1<0，得到圆心O坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的外接圆为四边形SKIPIF1<0的外接圆，如图所示，又SKIPIF1<0，∴外接圆的直径为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，外接圆的圆心C为线段OP的中点，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的外接圆方程是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<08．在平面直角坐标系中，已知点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，则线段AP的中点SKIPIF1<0的轨迹方程是______．【答案