第4章 高考培优5　与三角形有关的范围(最值)问题-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

与三角形有关的范围(最值)问题题型一已知三角形的一角求取值范围[典例1](2020·浙江高考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2bsinA－3a＝0.(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．[解](1)由正弦定理，得2sinBsinA＝3sinA，因为sinA≠0，0＜B＜π2，故sinB＝32，B＝(2)由A＋B＋C＝π，得C＝2π3－由△ABC是锐角三角形，得A∈π6由cosC＝cos2π3−A＝－12cosA＋cosA＋cosB＋cosC＝32sinA＋12cosA＝sinA+π6故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是3+题中的三角形形状是锐角三角形，对角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，转化为求三角函数取值范围问题．[跟进训练]1．若△ABC的面积为34(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________；c60°(2，＋∞)[由已知得34(a2＋c2－b2)＝12acsinB，所以3a2+c2−b22ac＝sinB，由余弦定理得3cosB＝sinB，所以tanB＝3，所以B＝60°.又C＞90°，B＝60°，所以A＜30°，且A＋C＝120°，所以ca＝sinCsinA＝sin120°−AsinA＝【教师备选资源】1．已知在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝π3，则bA．54，3C．54，2D[因为A＝π3b2+c2＝4＝4＝43因为0<B<所以π6<B<π2，π6<2B所以12<sin2B−π6≤1，53即b2+c2．(2023·山东烟台二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsinB＝b2－(a－c)2.(1)求sinB；(2)求b2[解](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得acsinB＝b2－(a－c)2＝－2accosB＋2ac，由ac≠0，得sinB＋2cosB＝2，即cosB＝1－12sinB又因为sin2B＋cos2B＝1，所以sin2B＋1−1即5sin2B－4sinB＝0，在△ABC中，sinB＞0，所以sinB＝45(2)由(1)知sinB＝45cosB＝1－12sinB＝1－12×得b2＝a2＋c2－65ac所以b2a2+c2＝a2+当且仅当a＝c时等号成立．所以b2a2题型二已知三角形的一角及其对边求取值范围[典例2](2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．[四字解题]读想算思BC＝3，求最值的求法基本不等式余弦定理及AC·AB≤AC+转化化归、函数与方程△ABC周长的最大值三角函数利用正弦定理把BC，AC，AB表示成三角函数，再求最值[解](1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA.②由①②得cosA＝－12因为0＜A＜π，所以A＝2π(2)法一(基本不等式)：由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，即(AC＋AB)2－AC·AB＝9.因为AC·AB≤AC+AB22(当且仅当AC＝AB时取等号)，所以9＝(AC＋AB)2－AC·AB≥(AC＋AB)2－AC+AB22＝解得AC＋AB≤23(当且仅当AC＝AB时取等号)，所以△ABC周长L＝AC＋AB＋BC≤3＋23，所以△ABC周长的最大值为3＋23.法二(三角函数法)：由正弦定理及(1)得ACsinB＝ABsinC＝从而AC＝23sinB，AB＝23sin(π－A－B)＝3cosB－3sinB.故BC＋AC＋AB＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋23sinB+又0＜B＜π3所以当B＝π6时，△ABC周长取得最大值3＋23本题的求解可采用两种思路：思路一是借助余弦定理及AC·AB≤AC+AB22求周长的范围；思路二是借助正弦定理把AC，AB表示成三角函数，利用三角函数的性质求最值．重视在余弦定理中利用基本不等式，体现a＋b，ab，a2＋[跟进训练]2．(2023·山东菏泽二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R＝22，且tanB＋tanC＝2sin(1)求B和b的值；(2)求AC边上高的最大值．[解](1)∵tanB＋tanC＝2sin∴sinBcosB即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinAcosB，∴sin(B＋C)＝2sinAcosB，∴sinA＝2sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB＝22，∵0＜B＜π，∴B＝π由正弦定理得bsinB＝2R，∴b＝2R·sinB＝2×22(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得42＝a2＋c2－2ac，由基本不等式可得16＝a2＋c2－2ac≥2ac－2ac，当且仅当a＝c时取等号，∴ac≤162−2＝8(2＋∴S△ABC＝12acsinB＝24ac≤24×8(2＋2又S△ABC＝12·b·h，∴h≤2＋22∴AC边上高的最大值为2＋22.题型三已知三角形的一角及其邻边求取值范围[典例3]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA+C2＝b(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．[解](1)由题设及正弦定理得sinAsinA+C2＝sinB因为sinA≠0，所以sinA+C2由A＋B＋C＝180°，可得sinA+C2故cosB2＝2sinB2cos因为cosB2≠0，故sinB2＝12(2)由题设及(1)知S△ABC＝34a由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝csinAsinC＝由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.结合A＋C＝120°，得30°＜C<90°，故12＜a＜2，从而38＜S△ABC＜因此，△ABC面积的取值范围是38本例由于含有附加条件“△ABC为锐角三角形”，故不能利用基本不等式求解，可以将边转化成三角函数后进行求解，求解思路类似于典例2．锐角三角形中求最值或范围尽量向角转化，因为用基本不等式无法转化锐角三角形这个条件．[跟进训练]3．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，c＝2，A＝π3，则a＋b(1＋3，4＋23)[因为c＝2，A＝π3则由正弦定理，可得a＝csinAsinC＝3sinC，所以a＋b＝3＝1＋31+＝1＋3tan由△ABC是锐角三角形，可得0<C<π2，0<2π3－C<π2，则π6所以π12<C2<π4，2－3<tan所以1＋3<a＋b<4＋23.]题型四已知三角形中角(或边)的关系求取值范围[典例4](12分)(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+(1)若C＝2π3，求(2)求a2[规范解答](1)因为cosA1+sinA＝sin2B1+cos2B＝2sincosB2cos2B＝sinBcos而0＜B＜π3，所以B＝π6.(2)由(1)知，sinB＝－cosC＞0，所以π2＜C＜π，0＜B＜π而sinB＝－cosC＝sinC−π2，↓关键点：由此发现所以C＝π2＋B，所以A＝π2－2B.所以a2+b2↓切入点：实现＝cos＝2＝4cos2B＋2cos2B≥28－5＝42－5，·······················11分当且仅当cos2B＝22时取等号，所以a2+b2c2的最小值为4本题第(1)问难度较小，可以从中体会由角B，C的关系求B，进而发现求解第(2)问需要的角A，B，C的关系，再采用消元思想求解，解题的关键点是“sinB＝－cosC＝sinC−π2”[跟进训练]4．(1)(2024·河南安阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则3a−cb的取值范围为(A．(3，4] B．7C．3，134(2)(2024·山东烟台模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，BD＝1且b＝2，则△ABC周长的最小值为________．(1)C(2)2＋22[(1)∵A＝2B，B＋2B＋C＝π，∴B∈0，π3，sinA＝sin2B＝2sinBcosB，sinC＝sin(A＋B)＝sin3B＝3sinB－4sin由正弦定理可得3a−cb＝3sinA−sinCsinB＝6sincosB−3令cosB＝t∈12，1，则3a−cb＝－4t由二次函数性质知－4t2＋6t＋1∈3，∴3a−cb∈3(2)因为∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，即12acsin∠ABC＝12BD·c·sin∠ABC2+12BD因为sin∠ABC2≠2accos∠ABC2＝a＋c即cos∠ABC2＝a+c2ac，所以cos∠ABC＝2cos2由余弦定理的推论得，cos∠ABC＝a2所以2a+c2ac整理得(a＋c)2＝ac[(a＋c)2－4]，所以(a＋c)2＝ac[(a＋c)2－4]≤a+c24·[(a＋整理得(a＋c)2≥8，所以a＋c≥22，当且仅当a＝c＝2时等号成立，所以△ABC周长的最小值为2＋22.【教师备选资源】(2024·山东济南期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(b，a)，n＝cosA+C2，(1)若c＝4，b＝7a，求△ABC的周长；(2)若BM＝2MA，|CM|＝6，求a＋c的取值范围．[解](1)因为m∥n，所以bcos3π2+A＝由正弦定理得，sinBsinA＝sinAcosA+又sinA≠0，则sinB＝cosA+C2＝cosπ即2sinB2cosB2＝sin而sinB2≠故cosB2＝12，则B＝由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得7a2＝a2＋16－2a×4×−1整理可得3a2－2a－8＝0，解得a＝2或a＝－43(舍去)，则b＝27故△ABC的周长为6＋27.(2)设∠BCM＝α∈0，π3，∠BMC＝π由正弦定理得