第4章 第9课时　正弦定理、余弦定理的应用举例-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第9课时正弦定理、余弦定理的应用举例[考试要求]能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.测量中的几个常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0，2π)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向． ()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°． ()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系． ()(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是0，π2[答案](1)√(2)×(3)√(4)√二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P49例9改编)如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是()A．a，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，γ[答案]D2．(人教A版必修第二册P51练习T1改编)一艘轮船以18nmile/h的速度沿北偏东40°的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20°方向上10nmile处有一灯塔，继续行驶20min后，轮船与灯塔的距离为()A．17nmile B．16nmileC．15nmile D．14nmileD[记轮船行驶到某处的位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示．则AB＝10，AC＝6，∠CAB＝120°，所以BC2＝102＋62－2×10×6×−12＝196，所以BC＝13．(人教A版必修第二册P50例10改编)如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A．10m B．53mC．5(3－1)m D．5(3＋1)mD[法一：设AB＝x，则BC＝x.∴BD＝10＋x.∴tan∠ADB＝ABDB＝x10+解得x＝5(3＋1)．∴A点离地面的高AB等于5(3＋1)m.法二：∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理，得AC＝CDsin∠CAD·sin＝10sin15°·∴AB＝ACsin45°＝5(3＋1)m.]4．(人教A版必修第二册P53T8改编)如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝________m.200[在Rt△ABC中，∠ACB＝45°.设AB＝h，则BC＝h，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝3h.在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200m，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即40000＝h2＋3h2－2h·3h·32所以h＝200，所以塔高AB＝200m．]考点一测量距离问题[典例1]如图，线段CD是某铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，在四边形ABCD中，测得AB＝50m，∠BAC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝75°.(1)试求B，D之间的距离及B，C之间的距离；(2)求应开凿的隧道CD的长．[解](1)在△ABD中，∵∠DAC＝75°，∠CAB＝45°，∴∠DAB＝120°，又∠DBA＝30°，∴∠ADB＝30°，∴△ABD为等腰三角形，∴AB＝AD＝50m.由余弦定理可得BD2＝502＋502－2×50×50cos120°＝502×3，∴BD＝503m.在△ABC中，∠CAB＝45°，∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝30°＋75°＝105°，∴∠ACB＝30°，由正弦定理可得50sin30°∴BC＝502m.(2)在△BCD中，∠DBC＝75°，BC＝502m，BD＝503m，根据余弦定理可得CD＝BD2+距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．[跟进训练]1．(2024·河南郑州模拟)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________km.7[∵A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，∴B＋D＝π，∴由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD＝52＋32－2×5×3cosD＝34－30cosD，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝52＋82－2×5×8cosB＝89－80cosB，∵B＋D＝π，即cosB＝－cosD，∴89−AC280＝－34−AC2考点二测量高度问题[典例2](2024·青岛模拟)如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物CD，测得CD的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物CD之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°(其中B，E，D三点共线)．该学习小组利用这些数据估算得AB约为60m，则CD的高h约为()(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)A．11m B．20.8mC．25.4m D．31.8mC[由题意可得∠AEB＝75°，∠CED＝30°，则∠AEC＝75°，∠ACE＝60°，∠CAE＝45°.在Rt△ABE中，AE＝ABsin75°在△ACE中，由正弦定理得AEsin∠ACE＝所以CE＝206所以CD＝12CE＝10又sin75°＝sin(45°＋30°)＝6+所以CD＝4066≈60－20×1.73＝25.4(m)．]解决高度问题的三个注意事项(1)要理解仰角、俯角的定义．(2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．(3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[跟进训练]2．(2024·湖南长郡中学模拟)如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A，B，C三处测得道路一侧山顶P的仰角依次为30°，45°，60°，其中AB＝a，BC＝b(0＜a＜3b)，则此山的高度为()A．122aba+C．125aba+D[如图，设点P在地面上的正投影为点O，则∠PAO＝30°，∠PBO＝45°，∠PCO＝60°，设山高PO＝h，则AO＝3h，BO＝h，CO＝3ℎ3，在△AOC中，cos∠ABO＝－cos∠由余弦定理的推论，得a2+ℎ整理得h2＝3aba+b23b−a故选D.]考点三测量角度问题[典例3]一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为126nmile，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为123nmile，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向上，则此时灯塔C位于游轮的()A．正西方向 B．南偏西75°方向C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向C[如图，在△ABD中，B＝45°，由正弦定理得ADsin45°＝ABsin60°，则AD＝126×2232＝24．在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos30°，因为AC＝123，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得CDsin30因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，即此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向上．]解决角度问题的三个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦值或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中要注意体会正、余弦定理综合使用的优点．提醒：理解仰角、俯角、方向角、方位角，正确画图是解题的关键．[跟进训练]3．(1)如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝120m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝150m，则cos∠DEF＝________．(2)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20nmile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为________．(1)－1665(2)2114[(1)如图，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，则DF＝MF2+DE＝D＝602EF＝BE−FC2+B在△DEF中，由余弦定理的推论得cos∠DEF＝DE2+EF(2)由题图知，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝207，由正弦定理得sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝21由∠BAC＝120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝27故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114课时分层作业(三十一)正弦定理、余弦定理的应用举例一、单项选择题1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．502m B．503mC．252m D．252A[由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsinB∴AB＝ACsin∠ACBsinB＝2．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(2≈1.4，3≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650mB[如图，设飞机的初始位置为点A，经过420s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000，由正弦定理得ABsin∠ACB＝则BC＝2100012×sin15°＝105006−2，因为CD⊥AB，所以CD＝BCsin45°＝10500(6−2)3．(2023·黑龙江哈尔滨二模)火箭造桥技术是我国首创在陡峭山区建桥的一种方法．由两枚火箭牵引两条足够长的绳索精准的射入对岸的指定位置，是建造高空悬索桥的关键．位于湖北省的四渡河大桥就是首次用这种技术建造的悬索桥．工程师们需要测算火箭携带的引导索的长度(引导索比较重，过长会影响火箭发射)，如图，已知工程师们在建桥处C看对岸目标点D的正下方地面上一高为h的标志物AB的高为h，从点C处看点A和点B的俯角分别为α，β.则一枚火箭应至少携带引导索CD的长度为()A．ℎsinαcosβC．ℎcosαcosβC[在Rt△BCD中，BC＝CDcos∠BCD＝在△ABC中，可知AB＝h，∠ACB＝α－β，A＝π2－α由正弦定理可得：ABsin∠ACB＝即ℎsinα−β＝CDcos所以CD＝ℎcos4．(2024·江苏南通八市模拟)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为(cos10°≈0.985)()A．49.25m B．50.76mC．56.74m D．58.60mB[如图，设球的半径为R，则AB＝3R，AC＝Rtan∵BC＝Rtan10∴R＝1001tan＝100sin10°2sin30°−10°＝50sin∴2R＝500.985≈5二、多项选择题5．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的点C与点D(点B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是()A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDCB．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADCD．s，∠ACB，∠BCD，∠ADCACD[解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.对于A,在△CBD中，已知s，∠BCD，∠BDC，可以解这个三角形得到BC，再利用∠ACB，BC解Rt△ABC得到AB的值；对于B，在△CBD中，已知s，∠BCD，无法解出此三角形，在△CAD中，已知s，∠ACD，无法解出此三角形，也无法通过其他三角形求出它的其他几何元素，所以它不能计算出塔AB的高度；对于C，在△ACD中，已知s，∠ACD，∠ADC，可以解△ACD得到AC，再利用∠ACB，AC解Rt△ABC得到AB的值；对于D，如图，过点B作BE⊥CD，连接AE.由于cos∠ACB＝CBAC，cos∠BCD＝CEBC，cos∠ACE＝CEAC，所以cos∠ACE＝cos∠ACB·cos∠BCD，所以可以求出∠ACD的大小，在△ACD中，已知∠ACD，∠ADC，s可以求出AC，再利用∠ACB，AC解Rt△ABC6．如图，甲船从A1出发以25nmile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距52nmile.当甲船航行12min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距5nmile，下面说法正确的是()A．乙船的行驶速度与甲船相同B．乙船的行驶速度是152nmile/hC．甲、乙两船相遇时，甲行驶了1+D．甲、乙两船不可能相遇AD[如图，连接A1B2，依题意，A1A2＝25×1260＝5(nmile)，而B2A2＝5nmile，∠A1A2B2则△A1A2B2是正三角形，∠A2A1B2＝60°，A1B2＝5nmile，在△A1B1B2中，∠B1A1B2＝45°，A1B1＝52nmile，由余弦定理得：B1B2＝A1B12+A1B22−2A1延长B1B2与A1A2延长线交于O，显然有∠A1B2B1＝90°，即A1B2⊥OB1，OA1＝10(nmile)，OB2＝53(nmile)，OB1＝5(3＋1)(nmile)，所以甲船从出发到点O用时t1＝1025＝25(h)，乙船从出发到点O用时t2＝53+125＝3+15三、填空题7．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25m后到达D处，测得∠PDC＝45°.已知旗杆CP＝10m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ＝________．53−54[在△PAD中，由正弦定理得PD＝ADsin∠APD·sin15°＝252在△PDC中，PC＝10，故sin∠PCD＝sin45°PC·PD因为cosθ＝sin∠PCD，所以cosθ＝538．(2023·山东济南三模)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600m到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为________m.10015[由题意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，所以在Rt△CBD中，BD＝12CD＝300，BC＝32CD＝300又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin45°＝CDsin60°，所以在△ABC中，∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(2006)2＋(3003)2－2×2006×3003×所以AB＝10015.]9．(2023·河南名校联考)中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题(如图1)：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD＝800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH＝________步．(古制单位：180丈＝300步)3280[由题可知BC＝DE＝48×300180＝80步，BF＝100步，DG＝120步，BD在Rt△AHF中，AHHF＝BCBF＝在Rt△AHG中，AHHG＝DEDG＝所以HF＝54AH，HG＝32则HG－HF＝800－100＋120＝820＝14AH所以AH＝3280步．]10．如图，某湖有一半径为1km的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距2km的点A处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且∠BAC＝90°，AB＝AC.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设∠AOB＝θ，则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________km2.5+52[在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cosθ，AB＝5−4cos∴S四边形OACB＝S△OAB＋S△ABC＝12·OA·OB·sinθ＋12·AB2，∴S四边形OACB＝sinθ－2cosθ＋52，则S四边形OACB＝5sin(θ－φ)＋52(其中tanφ＝2)，当sin(θ－φ)＝1时，S四边形OACB取最大值5+52，所以“直接监测覆盖区域四、解答题11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北45