第4章 第3课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第3课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式[考试要求]1．会推导两角差的余弦公式.2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝tanα(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝2tan[常用结论]1．两角和与差的公式的常用变形(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．2．二倍角余弦公式变形－－降幂公式：sin2α＝1−cos2α2，cos2一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立． ()(2)在锐角三角形ABC中，sinAsinB和cosAcosB的大小关系不确定． ()(3)公式tan(α＋β)＝tanα+tanβ1−tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanα(4)3sinα＋cosα＝2sinα+π3[答案](1)√(2)×(3)×(4)×二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P218例3改编)若cosα＝－45，α是第三象限角，则sinαA．－210B．210C．－7C[∵α是第三象限角，∴sinα＝－1−cos2α∴sinα+π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ42．(人教A版必修第一册P229习题5.5T6(1)改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32 B．3C．－12 D．D[sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝123．(多选)(人教A版必修第一册P223练习T5改编)下列各式的值为22A．sinπ12cosπ12 B．cos2π8C．tanπ81−tan2π8BD[对于A，sinπ12cosπ12＝12sin2×π12＝12sinπ6＝14，不符合题意；对于B，cos2π8－sin2π8＝cosπ4＝22，符合题意；对于C，tanπ81−tan24．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T12(2)改编)tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝______．3[∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)＝3−3tan10°tan50°，∴原式＝3−3tan10°·tan50°＋考点一和、差、倍角公式的直接应用[典例1](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝13，cosαsinβ＝16，则cos(2α＋2A．79 B．1C．－19 D．－(2)(2024·湖南雅礼中学模拟)已知tanα＋tanβ＝3，sin(α＋β)＝2sinαsinβ，则tan(α＋β)＝()A．4 B．6C．－32 (1)B(2)D[(1)依题意，得sinαcosβ−cosαsinβ=13，cosαsinβ=16，所以sinαcosβ＝12，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(2)由sin(α＋β)＝2sinαsinβ，得sinαcosβ＋cosαsinβ＝2sinαsinβ，则sinαcosβ+cosαsinβsinαsinβ＝2，即1tanα+1tanβ应用公式化简求值的策略(1)要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[跟进训练]1．(1)(2023·湖南师大附中一模)已知sinθ1+A．43 B．－2C．－43 D．(2)(2024·广东佛山禅城区一模)已知tan(α＋β)＝2(tanα＋tanβ)，且tanα＋tanβ≠0，cos(α－β)＝35，则cos(2α＋2βA．－725 B．7C．－2325 D．(1)C(2)C[(1)由sinθ1+cos＝tanθ2∴tanθ＝2tanθ21−tan(2)由题意可得tan(α＋β)＝tanα+tan因为tanα＋tanβ≠0，所以tanαtanβ＝12由tan得sin故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝15所以cos(2α＋2β)＝cos2α+β＝2cos2(α＋β考点二公式的逆用与变形公式的逆用[典例2](多选)下列等式正确的是()A．cos82°sin52°－sin82°cos52°＝1B．sin15°sin30°sin75°＝1C．tan48°D．cos215°－sin215°＝3BD[选项A中，cos82°sin52°－sin82°cos52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝－12，故A错误；选项B中，sin15°sin30°sin75°＝12sin15°cos15°＝14sin30°＝18，故B正确；选项C中，tan48°+tan72°1−公式的变形[典例3](1)(多选)已知α，β，γ∈0，π2，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγA．cos(β－α)＝12 B．cos(β－α)＝C．β－α＝－π3 D．β－α＝(2)若α＋β＝－3π4，则(1＋tanα)(1＋tan(1)AD(2)2[(1)由题意知，sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ，将两式分别平方后相加，得1＝(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝2－2(sinβsinα＋cosβcosα)，∴cos(β－α)＝12∵γ∈0，∴sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，而α，β∈0，∴0<β－α<π2，∴β－α＝π(2)tan−3π4＝tan(α＋β)＝tanα+tanβ1−tan所以1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1＋tanα)·(1＋tanβ)＝2．]三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，3[跟进训练]2．(1)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－22 B．2C．12 D．－(2)设a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b＝22(sin56°－cos56°)，c＝1−tan239°1+A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．a>c>b(1)B(2)D[(1)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC(2)a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos77°＝sin13°，b＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝1−tan239°1+tan＝cos78°＝sin12°.因为当0°≤x≤90°时，函数y＝sinx单调递增，所以sin13°>sin12°>sin11°，所以a>c>b.]考点三角的变换问题[典例4](1)已知sinα＝255，sin(β－α)＝－1010，α，βA．5π12 B．C．π4 D．(2)(2023·山东烟台三模)已知α，β满足sin(2α＋β)＝cosβ，tanα＝2，则tanβ的值为()A．－13 B．－2C．13 D．(1)C(2)A[(1)因为sinα＝255，sin(β－α)＝－1010，且α，β均为锐角，所以－π2＜β－又sin(β－α)＜0，所以－π2＜β－α＜0，所以cos(β－α)＞所以cosα＝55，cos(β－α)＝3所以sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinα·cos(β－α)＋cosα·sin(β－α)＝255×31010+55(2)因为sin(2α＋β)＝cosβ，所以sin(α＋α＋β)＝cos(α＋β－α)，即sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝cos(α＋β)cosα＋sinαsin(α＋β)，显然cosα≠0，两边同除cosα得：tanαcos(α＋β)＋sin(α＋β)＝cos(α＋β)＋tanαsin(α＋β)，2cos(α＋β)＋sin(α＋β)＝cos(α＋β)＋2sin(α＋β)，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，易知cos(α＋β)≠0，则tan(α＋β)＝1，tanβ＝tan(α＋β－α)＝tanα+β−tan故选A.]三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，即拆角或凑角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α+(2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[跟进训练]3．(1)(2024·河南郑州模拟)已知sin6π5+α＝A．－23 B．－1C．23 D．(2)(2023·广东湛江一模)cos70(1)B(2)－2[(1)因为sin6＝－sinπ5+α所以sinπ5+α＝－＝cosπ−2＝－1＋2sin2π5+α(2)cos70°−cos20°cos65°＝cos(90°−20°)−cos20°cos65°＝sin20°−cos20°cos(45°+20°)＝sin20°−cos20°课时分层作业(二十五)两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、单项选择题1．(2024·广东华南师大附中模拟)sinα＝33，α∈0，π2，β＝π4A．22－1 B．22－3C．22＋3 D．3－22B[sinα＝33，α∈0，π2，则有cosα＝1−sin2α＝6tan(α－β)＝tanα−tanβ1+tan2．(2021·全国乙卷)cos2π12－cos25A．12 B．3C．22 D．D[因为cos5π12＝sinπ2所以cos2π12－cos25π12＝cos2π＝cos2×π12＝cosπ63．(2024·福建三明模拟)已知sinθ＋cosθ−π6＝1，则cosA．33 B．－3C．63 D．－A[根据题意，sinθ＋cosθ−π即sinθ＋32cosθ＋12sinθ＝32sinθ＋3故3cosθ−π3＝1⇒cosθ−4．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cosα+π4sinA．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1C[法一：设β＝0，则sinα＋cosα＝0，取α＝3π4再取α＝0，则sinβ＋cosβ＝2sinβ，取β＝π4法二：由sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2sinα+β+π4＝2sinα+π4+β＝2sin故2sinα+π4cosβ＝2cosα故sinα+π4cosβ－cosα+π4sinβ＝0，即sinα+π4−β＝0，故sinα−β+π4＝22sin(α－β)＋故tan(α－β)＝－1，故选C.]5．(2024·辽宁沈阳模拟)已知cosα＋cosβ＝12，sinα－sinβ＝13，则cos(α＋A．－1372 B．13C．－5972 D．C[(cosα＋cosβ)2＝cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝14(sinα－sinβ)2＝sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝19两式相加得2＋2(cosαcosβ－sinαsinβ)＝2＋2cos(α＋β)＝14+1∴cos(α＋β)＝－59726．已知α，β∈−π2，π2，若tanα，tanβ是方程x2－43xA．－π3或2π3C．2π3 C[由tanα，tanβ是方程x2－43x＋5＝0的两根可得tanα＋tanβ＝43，tanα·tanβ＝5.所以tanα，tanβ均为正数，又α，β∈−π2，π2，故α所以tan(α＋β)＝tanα+tanβ1−又α＋β∈(0，π)．故α＋β＝2π二、多项选择题7．(2023·广东湛江二模)若5sin2α＋5cos2α＋1＝0，则tanα的值可能为()A．2 B．3C．－13 D．－BD[∵5sin2α＋5cos2α＋1＝0，即5×2sin即10tan即2tan2α－5tanα－3＝0，∴tanα＝3或tanα＝－128．已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈A．cosβ＝79 B．sinβ＝C．cos(α－β)＝2327 D．sin(α－β)＝－AC[因为α∈0，π2，cosα＝13，所以sinα＝223，又α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1−cos2α+β＝223，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－19+89＝79，A正确．sinβ＝429，B错误．cos(α－β)＝cosα三、填空题9．已知α，β∈−π2，0，且tanα＋tanβ＋3tanαtanβ＝3，则－2π3[由tanα＋tanβ＋3tanαtanβ＝tan(α＋β)＝tanα+tan又α，β∈−π2，0，则α所以α＋β＝－2π10．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则5[因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝12，sinαcosβ－cosαsinβ＝13，所以sinαcosβ＝512，cosαsinβ＝112，所以四、解答题11．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上．(1)求cos2α的值；(2)已知α∈0，π2，sinβ+π4＝1010，－π[解](1)由题意得，tanα＝2，∴cos2α＝cos2α−sin2αcos(2)由sinαcosα＝2，解得sinα＝255，cosα＝又sinβ+π4＝1010，β＋∴cosβ+π4∴cosβ＝cosβ＝cosβ+π4cosπ4＝31010×则cos2β＝2cos2β－1＝2×45－1＝3∵－π＜2β＜0，则sin2β＝－1−cos22β∴sin(α－2β)＝sinαcos2β－cosαsin2β＝255×12．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sinπ2−α＝cos(－α)；③3sinπ