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文档简介
第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式[考试要求]1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,sinαcosα=tanα1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin2α+cos2α=1;(2)商数关系:tanα=sinα2.诱导公式角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-π2+正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcos_α余弦cosα-cosαcosα-cosαsinα-sinα正切tanαtanα-tanα-tanα口诀奇变偶不变,符号看象限[常用结论]基本关系常用变形平方关系sin2α=1-cos2α=(1+cosα)(1-cosα),cos2α=1-sin2α=(1+sinα)(1-sinα)商数关系sinα=tanαcosαα≠k和积互化(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα弦切互化sin2α=sin2αsincos2α=cos2αsinsinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanα一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1. ()(2)若α∈R,则tanα=sinαcosα(3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角. ()(4)若sin3π2−α=13,则cosα=-[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材经典衍生1.(人教A版必修第一册P183例6改编)已知sinα=55,π2≤αA.-2 B.2C.12 D.-D[因为π2≤α≤π,所以cosα=-1−sin2α=-1−552=-22.(人教A版必修第一册P186习题5.2T15改编)已知tanα=13,则sin-27[原式=tanα−1tanα3.(人教A版必修第一册P194练习T3(1)改编)化简cosα−π2sin-sinα[原式=sinαcosα(-cosα4.(人教A版必修第一册P185习题5.2T12改编)已知sinα·cosα=38,且π4<α<π2,则cosα-12[因为π4<α<π2,所以sinα>cosα,而(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×38=14,所以cosα考点一同角三角函数的基本关系式“知一求二”问题[典例1](1)若α∈π2,π,sin(π-α)=35A.-43 B.4C.-34 D.(2)(2023·全国乙卷)若θ∈0,π2,tanθ=12,则sin(1)C(2)-55[(1)因为α∈π2,π,sin(π-α)=sinα所以cosα=-45,所以tanα=-3(2)由tanθ=sinθcosθ=12,sin2关于sinα,cosα齐次式的求值问题[典例2]已知tanx=3,则sinx+2cosx2sin53310[法一:因为tanx=3,所以sinx所以sinx+2cosx2sin因为sin2x+cos2x=1,所以sin2x+cos2x=9cos2x+cos2x=1,解得cos2x=110所以sinx·cosx=3cosx·cosx=3cos2x=3×110=3法二:sinx+2cosxsinx·cosx=sinx·cosxsinsinα±cosα与sinαcosα关系的应用[典例3](多选)(2024·浙江金华模拟)已知sinθ+cosθ=15,θ∈A.sinθcosθ=-1225 B.sinθ-cosθ=C.sinθ-cosθ=75 D.tanθ=-ACD[对于A,因为sinθ+cosθ=15所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=125即sinθcosθ=-1225对于B,C,(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=4925因为θ∈(0,π),且sinθcosθ=-1225所以sinθ>0,cosθ<0,即sinθ-cosθ>0,所以sinθ-cosθ=75对于D,联立sinθ解得sinθ=45,cosθ=-3所以tanθ=-43(1)利用“方程”思想,解决知弦求切,知切求弦问题.(2)应用“弦切互化”思想,解决同角三角函数基本关系的齐次式求值问题.(3)sinα±cosα与sinαcosα互化,可解方程组sinα+cosα=[跟进训练]1.(1)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=3x上,则cos2θ=()A.-45 B.-2C.25 D.(2)(2024·山东济南模拟)已知θ为第三象限角,sinθ-cosθ=-15,则cosA.-425 B.-3C.325 D.(1)A(2)B[(1)因为终边在直线y=3x上,所以分别在第一象限、第三象限取点(1,3),(-1,-3),∴tanθ=3,∴cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ−sin2θcos故选A.(2)由sinθ-cosθ=-15,且sin2θ+cos2θ解得sinθ又因为θ为第三象限角,所以sinθ<0,cosθ<0,所以sinθ所以cosθ1−2sin2θ考点二诱导公式的应用[典例4](1)下列各数中,与sin2024°的值最接近的是()A.22 B.3C.-22 D.-(2)(2024·东北师大附中模拟)已知cosπ6−α=13,则sin5A.-89 B.8C.-229 (1)C(2)A[(1)∵2024°=5×360°+180°+44°,∴sin2024°=-sin44°.故选C.(2)由题意可知,将角进行整体代换并利用诱导公式得sin5π6+α=sinπ−π6−α=sin所以sin5π6+αcos2π3−α=-sin2π6常见的互余和互补的角互余的角π3-α与π6+α;π3+α与π6-α;π4+互补的角π3+θ与2π3-θ;π4+θ[跟进训练]2.(1)已知cos(75°+α)=13,则cos(105°-α)+sin(15°-α(2)(2024·宁夏吴忠模拟)已知角α终边上一点P(1,-2),则2sin(1)0(2)3[(1)因为(105°-α)+(75°+α)=180°,(15°-α)+(α+75°)=90°,所以cos(105°-α)=cos[180°-(75°+α)]=-cos(75°+α)=-13,sin(15°-α)=sin[90°-(α+75°)]=cos(75°+α)=1所以cos(105°-α)+sin(15°-α)=-13+(2)因为角α终边上一点P(1,-2),所以tanα=−21又2sinπ−α−cosπ+α考点三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用[典例5](1)已知α为锐角,且sinα+π3sinA.π12 B.πC.π4 D.(2)(多选)α为第一象限角,cosα−π8=A.sin5π8B.cosα+7C.sin13π8D.tanπ8−α(1)C(2)BD[(1)由条件得sinα+π又因为α为锐角,所以sinα−π3=cos即sinα−π3=sin所以α-π3=π2−α+(2)由题意得2kπ<α<π2+2kπ,k∈则2kπ-π8<α-π8<3π8+2k若α-π8在第四象限,则cosα−π8>cosπ4=所以α-π8是第一象限角,所以sinα−π8sin5π8−α=sin=cosα−π8=cosα+7π8=cosα−πsin13π8−α=sin3π2+π8tanπ8−α=-tanα−π8=-故选BD.](1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.(3)利用诱导公式,关键是符号问题.[跟进训练]3.已知sin(53°-α)=15,且-270°<α<-90°,求sin(37°+α[解]由已知-270°<α<-90°可得,143°<53°-α<323°,所以cos(53°-α)=-1−sin253°−α=-1−所以sin(37°+α)=sin[90°-(53°-α)]=cos(53°-α)=-26【教师备选资源】(2023·全国甲卷)“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件B[当sin2α+sin2β=1时,例如α=π2,β=0,但sinα+cosβ≠即sin2α+sin2β=1推不出sinα+cosβ=0;当sinα+cosβ=0时,sin2α+sin2β=(-cosβ)2+sin2β=1,即sinα+cosβ=0能推出sin2α+sin2β=1.综上可知,sin2α+sin2β=1是sinα+cosβ=0成立的必要不充分条件.故选B.]课时分层作业(二十四)同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、单项选择题1.sin1050°=()A.12 B.-1C.32 D.-B[sin1050°=sin(3×360°-30°)=-sin30°=-122.(2024·北京通州模拟)已知cosα=35,α是第一象限角,且角α,β的终边关于y轴对称,则tanβA.34 B.-3C.43 D.-D[∵cosα=35,α∴sinα=1−cos2α=45,tanα=∵角α,β的终边关于y轴对称,∴tanβ=-tanα=-433.(2024·重庆万州模拟)已知tanα=2cosα5A.13 B.-2C.-13 D.C[tanα=2cosα5+sinα⇒sinαcosα=2cosα把sin2α+cos2α=1代入①,得3sin2α+5sinα-2=0,即(3sinα-1)(sinα+2)=0,由于sinα∈[-1,1],所以sinα+2≠0,故sinα=13所以cos3π2−α=-sin4.(2024·河北衡水中学模拟)已知α∈π2,π,且3cos2α-sinA.cos(π-α)=23 B.tan(π-α)=C.sinπ2−α=53 D.cosB[由题意得3(1-2sin2α)-sinα=2,解得sinα=-12或sinα=1又α∈π2,π,所以sinα=则cosα=-1−sin2α=-223,tanα所以cos(π-α)=-cosα=22tan(π-α)=-tanα=24sinπ2−α=cosα=-223,cosπ2故ACD错误,B正确.故选B.]5.(2023·山西名校联考)已知sinα-cosα=15,α∈−π2A.-125 B.12C.-1235 D.D[由题意可得:(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=125整理得sinαcosα=1225且α∈−π2,π2即sinα>0,cosα>0,可得sinα+cosα>0,因为(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=4925可得sinα+cosα=75所以sinαcosαsinα6.(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ=-2,则sinθ1A.-65 B.-2C.25 D.C[法一(求值代入法):因为tanθ=-2,所以角θ的终边在第二、四象限,所以sinθ=所以sinθ1+sin2θsinθ+cosθ=sin2θsinθ+cosθsinθ法二(弦化切法):因为tanθ=-2,所以sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(法三(正弦化余弦法):因为tanθ=-2,所以sinθ=-2cosθ.则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sin二、多项选择题7.在△ABC中,下列结论正确的是()A.sin(A+B)=sinCB.sinB+CC.tan(A+B)=-tanCC≠D.cos(A+B)=cosCABC[在△ABC中,有A+B+C=π,则sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,A正确;sinB+C2=sinπtan(A+B)=tan(π-C)=-tanCC≠πcos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,D错误.]8.(2023·安徽黄山二模)若sinθ·cos2θsinθ+cosθA.12 B.1C.2 D.3CD[sinθ·cos2θ−sin2=sinθ·cosθ−si得到5tanθ-5tan2θ=-3-3tan2θ,即2tan2θ-5tanθ-3=0,解得tanθ=-12或tanθ=当k=2m(m∈Z)时,tankπ2+θ=tan(mπ+当k=2m-1(m∈Z)时,tanmπ+θ−π2=tan所以,当tanθ=-12时,tankπ2+θ当tanθ=3时,tankπ2+θ=3或tan三、填空题9.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2023)的值为________.-3[因为f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),所以f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asinα+bcosβ=3,所以f(2023)=asin(2023π+α)+bcos(2023π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asinα-bcosβ=-3.]10.已知-π<x<0,sin(π+x)-cosx=-15,则sin-24175[由已知,得sinx+cosx=1两边平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=125整理得2sinxcosx=-2425∴(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925由-π<x<0知,sinx<0,又sinxcosx=-1225∴cosx>0,∴sinx-cosx<0,故sinx-cosx=-75∴sin2x+=2sinx=-24175四、解答题11.(2024·江苏扬州模拟)在平面直角坐标系Oxy中,O是坐标原点,角α的终边OA与单位
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