第4章 第2课时　同角三角函数的基本关系式与诱导公式-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式[考试要求]1．理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinα2．诱导公式角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限[常用结论]基本关系常用变形平方关系sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)，cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)商数关系sinα＝tanαcosαα≠k和积互化(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα弦切互化sin2α＝sin2αsincos2α＝cos2αsinsinαcosα＝sinαcosαsin2α+cos2α＝tanα一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1． ()(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角． ()(4)若sin3π2−α＝13，则cosα＝－[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P183例6改编)已知sinα＝55，π2≤αA．－2 B．2C．12 D．－D[因为π2≤α≤π，所以cosα＝－1−sin2α＝－1−552＝－22．(人教A版必修第一册P186习题5.2T15改编)已知tanα＝13，则sin－27[原式＝tanα−1tanα3．(人教A版必修第一册P194练习T3(1)改编)化简cosα−π2sin－sinα[原式＝sinαcosα(－cosα4．(人教A版必修第一册P185习题5.2T12改编)已知sinα·cosα＝38，且π4＜α＜π2，则cosα－12[因为π4＜α＜π2，所以sinα＞cosα，而(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×38＝14，所以cosα考点一同角三角函数的基本关系式“知一求二”问题[典例1](1)若α∈π2，π，sin(π－α)＝35A．－43 B．4C．－34 D．(2)(2023·全国乙卷)若θ∈0，π2，tanθ＝12，则sin(1)C(2)－55[(1)因为α∈π2，π，sin(π－α)＝sinα所以cosα＝－45，所以tanα＝－3(2)由tanθ＝sinθcosθ＝12，sin2关于sinα，cosα齐次式的求值问题[典例2]已知tanx＝3，则sinx+2cosx2sin53310[法一：因为tanx＝3，所以sinx所以sinx+2cosx2sin因为sin2x＋cos2x＝1，所以sin2x＋cos2x＝9cos2x＋cos2x＝1，解得cos2x＝110所以sinx·cosx＝3cosx·cosx＝3cos2x＝3×110＝3法二：sinx+2cosxsinx·cosx＝sinx·cosxsinsinα±cosα与sinαcosα关系的应用[典例3](多选)(2024·浙江金华模拟)已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈A．sinθcosθ＝－1225 B．sinθ－cosθ＝C．sinθ－cosθ＝75 D．tanθ＝－ACD[对于A，因为sinθ＋cosθ＝15所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝125即sinθcosθ＝－1225对于B，C，(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925因为θ∈(0，π)，且sinθcosθ＝－1225所以sinθ>0，cosθ<0，即sinθ－cosθ>0，所以sinθ－cosθ＝75对于D，联立sinθ解得sinθ＝45，cosθ＝－3所以tanθ＝－43(1)利用“方程”思想，解决知弦求切，知切求弦问题．(2)应用“弦切互化”思想，解决同角三角函数基本关系的齐次式求值问题．(3)sinα±cosα与sinαcosα互化，可解方程组sinα+cosα=[跟进训练]1．(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝3x上，则cos2θ＝()A．－45 B．－2C．25 D．(2)(2024·山东济南模拟)已知θ为第三象限角，sinθ－cosθ＝－15，则cosA．－425 B．－3C．325 D．(1)A(2)B[(1)因为终边在直线y＝3x上，所以分别在第一象限、第三象限取点(1，3)，(－1，－3)，∴tanθ＝3，∴cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ−sin2θcos故选A.(2)由sinθ－cosθ＝－15，且sin2θ＋cos2θ解得sinθ又因为θ为第三象限角，所以sinθ<0，cosθ<0，所以sinθ所以cosθ1−2sin2θ考点二诱导公式的应用[典例4](1)下列各数中，与sin2024°的值最接近的是()A．22 B．3C．－22 D．－(2)(2024·东北师大附中模拟)已知cosπ6−α＝13，则sin5A．－89 B．8C．－229 (1)C(2)A[(1)∵2024°＝5×360°＋180°＋44°，∴sin2024°＝－sin44°.故选C.(2)由题意可知，将角进行整体代换并利用诱导公式得sin5π6+α＝sinπ−π6−α＝sin所以sin5π6+αcos2π3−α＝－sin2π6常见的互余和互补的角互余的角π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋互补的角π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ[跟进训练]2．(1)已知cos(75°＋α)＝13，则cos(105°－α)＋sin(15°－α(2)(2024·宁夏吴忠模拟)已知角α终边上一点P(1，－2)，则2sin(1)0(2)3[(1)因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝1所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13+(2)因为角α终边上一点P(1，－2)，所以tanα＝−21又2sinπ−α−cosπ+α考点三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用[典例5](1)已知α为锐角，且sinα+π3sinA．π12 B．πC．π4 D．(2)(多选)α为第一象限角，cosα−π8＝A．sin5π8B．cosα+7C．sin13π8D．tanπ8−α(1)C(2)BD[(1)由条件得sinα+π又因为α为锐角，所以sinα−π3＝cos即sinα−π3＝sin所以α－π3＝π2−α+(2)由题意得2kπ<α<π2＋2kπ，k∈则2kπ－π8<α－π8<3π8＋2k若α－π8在第四象限，则cosα−π8>cosπ4＝所以α－π8是第一象限角，所以sinα−π8sin5π8−α＝sin＝cosα−π8＝cosα+7π8＝cosα−πsin13π8−α＝sin3π2+π8tanπ8−α＝－tanα−π8＝－故选BD.](1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．(3)利用诱导公式，关键是符号问题．[跟进训练]3．已知sin(53°－α)＝15，且－270°<α<－90°，求sin(37°＋α[解]由已知－270°<α<－90°可得，143°<53°－α<323°，所以cos(53°－α)＝－1−sin253°−α＝－1−所以sin(37°＋α)＝sin[90°－(53°－α)]＝cos(53°－α)＝－26【教师备选资源】(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件B[当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝π2，β＝0，但sinα＋cosβ≠即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.综上可知，sin2α＋sin2β＝1是sinα＋cosβ＝0成立的必要不充分条件．故选B.]课时分层作业(二十四)同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、单项选择题1．sin1050°＝()A．12 B．－1C．32 D．－B[sin1050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin30°＝－122．(2024·北京通州模拟)已知cosα＝35，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tanβA．34 B．－3C．43 D．－D[∵cosα＝35，α∴sinα＝1−cos2α＝45，tanα＝∵角α，β的终边关于y轴对称，∴tanβ＝－tanα＝－433．(2024·重庆万州模拟)已知tanα＝2cosα5A．13 B．－2C．－13 D．C[tanα＝2cosα5+sinα⇒sinαcosα＝2cosα把sin2α＋cos2α＝1代入①，得3sin2α＋5sinα－2＝0，即(3sinα－1)(sinα＋2)＝0，由于sinα∈[－1，1]，所以sinα＋2≠0，故sinα＝13所以cos3π2−α＝－sin4．(2024·河北衡水中学模拟)已知α∈π2，π，且3cos2α－sinA．cos(π－α)＝23 B．tan(π－α)＝C．sinπ2−α＝53 D．cosB[由题意得3(1－2sin2α)－sinα＝2，解得sinα＝－12或sinα＝1又α∈π2，π，所以sinα＝则cosα＝－1−sin2α＝－223，tanα所以cos(π－α)＝－cosα＝22tan(π－α)＝－tanα＝24sinπ2−α＝cosα＝－223，cosπ2故ACD错误，B正确．故选B.]5．(2023·山西名校联考)已知sinα－cosα＝15，α∈−π2A．－125 B．12C．－1235 D．D[由题意可得：(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝125整理得sinαcosα＝1225且α∈−π2，π2即sinα>0，cosα>0，可得sinα＋cosα>0，因为(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝4925可得sinα＋cosα＝75所以sinαcosαsinα6．(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则sinθ1A．－65 B．－2C．25 D．C[法一(求值代入法)：因为tanθ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，所以sinθ=所以sinθ1+sin2θsinθ+cosθ＝sin2θsinθ+cosθsinθ法二(弦化切法)：因为tanθ＝－2，所以sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ＝sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ＝sinθ(法三(正弦化余弦法)：因为tanθ＝－2，所以sinθ＝－2cosθ.则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ＝sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ＝sinθ(sin二、多项选择题7．在△ABC中，下列结论正确的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sinB+CC．tan(A＋B)＝－tanCC≠D．cos(A＋B)＝cosCABC[在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正确；sinB+C2＝sinπtan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCC≠πcos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D错误．]8．(2023·安徽黄山二模)若sinθ·cos2θsinθ+cosθA．12 B．1C．2 D．3CD[sinθ·cos2θ−sin2＝sinθ·cosθ−si得到5tanθ－5tan2θ＝－3－3tan2θ，即2tan2θ－5tanθ－3＝0，解得tanθ＝－12或tanθ＝当k＝2m(m∈Z)时，tankπ2+θ＝tan(mπ＋当k＝2m－1(m∈Z)时，tanmπ+θ−π2＝tan所以，当tanθ＝－12时，tankπ2+θ当tanθ＝3时，tankπ2+θ＝3或tan三、填空题9．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2023)的值为________．－3[因为f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，所以f(2023)＝asin(2023π＋α)＋bcos(2023π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－3．]10．已知－π＜x＜0，sin(π＋x)－cosx＝－15，则sin－24175[由已知，得sinx＋cosx＝1两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125整理得2sinxcosx＝－2425∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925由－π＜x＜0知，sinx＜0，又sinxcosx＝－1225∴cosx＞0，∴sinx－cosx＜0，故sinx－cosx＝－75∴sin2x+＝2sinx＝－24175四、解答题11．(2024·江苏扬州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，O是坐标原点，角α的终边OA与单位