第2章 第1课时　函数的概念及其表示-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：函数的奇偶性、函数性质的综合．函数的性质主要考查与抽象函数有关的问题(奇偶性、单调性、对称性、周期性等)．2．轮考点：函数的概念、图象、函数的应用．(1)函数的概念主要考查新定义问题、分段函数的求值等问题；(2)函数的图象主要考查基本初等函数图象的识别；(3)指数、对数、幂函数主要考查代数值的大小比较，对数函数的性质应用等问题；(4)函数的应用主要考查函数零点问题、函数模型的应用等．第1课时函数的概念及其表示[考试要求]1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3．了解简单的分段函数，并能简单应用.1．函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}2．同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法：解析法、图象法、列表法．提醒：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．[常用结论]1．注意以下几个特殊函数的定义域：(1)分式型函数，分母不为零的实数集合．(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．(3)f(x)的解析式为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合．(4)若f(x)＝x0，则f(x)的定义域为{x|x≠0}．(5)正切函数y＝tanx的定义域为xx≠k2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为4ac−b24a，+∞(3)y＝kx(k≠0)的值域是{y|y≠(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数． ()(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B． ()(3)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线． ()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P101T7改编)设函数f(x)＝3x2+2x，A．16B．4C．5D．－4A[f(f(－1))＝f(2)＝16.故选A.]2．(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数f(x)＝|x－1|的图象是()ABCDB[函数f(x)＝|x－1|＝x−1，3．(多选)(人教A版必修第一册P67练习T3改编)下列各组函数是同一个函数的是()A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1B．f(x)＝−x3与g(x)＝C．f(x)＝xx与g(x)＝D．f(x)＝x与g(x)＝xAC[f(x)＝−x3与g(x)＝x−x的值域不同；f(x)＝x与g(x)＝x24．(人教A版必修第一册P65例2改编)已知函数f(x)＝x＋1x，则f(x)的定义域为________；若f(a)＝2，则a(－∞，0)∪(0，＋∞)1[要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，故f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由f(a)＝2得a＋1a＝2，解得a＝1．考点一求函数的定义域[典例1](1)(2024·河北衡水中学模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，则函数y＝fx+1x−1＋(A．(1，5] B．(1，2)∪(2，5)C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3](2)(2024·河南南阳模拟)函数y＝lg(1＋tanπx)＋1−4x(1)C(2)−14，12[(1)因为函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，函数y＝fx+1x−1＋(x－2)所以函数y＝fx+1x−1＋(x－2)(2)由题意得1+tanπx>0，πx≠k求函数的定义域的策略(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．(2)求抽象函数的定义域：①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域．②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的取值范围，即为f(x)的定义域．[跟进训练]1．(1)(2024·重庆模拟)已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域是()A．0，52C．[－5，5] D．[－3，7](2)若函数y＝ax+1ax2A．0，12C．0，12(1)A(2)D[(1)∵函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2，3]，∴x∈[－2，3]，则x＋1∈[－1，4]，即函数f(x)的定义域为[－1，4]，∴－1≤2x－1≤4，得0≤x≤52∴函数y＝f(2x－1)的定义域为0，故选A.(2)由题意知，ax2－4ax＋2＞0的解集为R.当a＝0时，2＞0恒成立，满足题意；当a≠0时，a>0，Δ=16a综上，实数a的取值范围是0，考点二求函数的解析式[典例2]求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知fx+1x＝x2＋1x2(3)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．【教师备选资源】(5)设f(x)＝1+x1−x，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1，2，…，则f2024A．1+x1−xC．x D．－1[解](1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sinx＝1－t.∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].(2)(配凑法)∵fx+1x＝x2＋1令t＝x＋1x，当xt≥2x·1x当x＜0时，t＝－−x−1x当且仅当x＝－1时取等号，∴f(t)＝t2－2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，所以2a即a=所以f(x)＝12x2－32x(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.【教师备选资源】(5)C[(归纳法)由已知条件得到f2(x)＝f(f1(x))＝1+f1x1−f3(x)＝f(f2(x))＝1+f2x1−f4(x)＝f(f3(x))＝1+f3x1−f5(x)＝f(f4(x))＝1+可见fn(x)是以4为周期的函数，而2024＝506×4，所以f2024(x)＝f4(x)＝x.]求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式，注意g(x)的取值范围．(4)解方程组法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x[跟进训练]2．(1)(易错题)已知f(x＋1)＝x－2x，则f(x)＝________．(2)已知f(x)满足f(x)－2f1x＝2x，则f(x(3)设函数f(x)是单调递增的一次函数，满足f(f(x))＝16x＋5，则f(x)＝________．(1)x2－4x＋3(x≥1)(2)－23x－43x(3)4x＋1[(1)法一(换元法)：令t＝x＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＋1－4x－4＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，因为x＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．(2)因为f(x)－2f1x＝2x，以1x代替①中的x，得f1x－2f(x)＝2①＋②×2得－3f(x)＝2x＋4x所以f(x)＝－23x－4(3)∵f(x)为单调递增的一次函数，∴设f(x)＝ax＋b，a>0，故f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－53(不合题意，舍去)．因此f(x)＝4x＋1．考点三分段函数求值问题[典例3](1)(2024·四川成都七中模拟)已知函数f(x)＝fx+1，xA．－6 B．0C．4 D．6(2)(2021·浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝x2−4，x>2，x−3+a，x≤(1)A(2)2[(1)由分段函数可知，当x≤0时，周期T＝1，所以f(－4)＝f(－4＋5)＝f(1)＝1－3－4＝－6，所以f(f(－4))＝f(－6)＝f(－6＋7)＝f(1)＝－6.故选A.(2)因为6>2，所以f(6)＝6－4＝2，所以f(f(6))＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2．]解方程或不等式[典例4](1)函数f(x)＝x+1，−1<x<0，2x，x≥0，若实数a满足A．2 B．4C．6 D．8(2)已知函数f(x)＝log2x，x＞1，x2(1)D(2)−12，+∞[(1)由分段函数的定义知，f(x)的定义域是(－1，＋∞①当0<a<1时，－1<a－1<0，则f(a)＝f(a－1)可化为2a＝a，解得a＝14，∴f1a＝f②当a≥1时，a－1≥0，则f(a)＝f(a－1)可化为2a＝2(a－1)，方程无解．故选D.(2)由题意知，当x≤0时，x＋1≤1，f(x)＜f(x＋1)⇔x2－1＜(x＋1)2－1，解得－12＜x≤当0＜x≤1时，x＋1＞1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)＞0.所以当0＜x≤1时，恒有f(x)＜f(x＋1)，当x＞1时，f(x)＜f(x＋1)⇔log2x＜log2(x＋1)恒成立．综上可知，f(x)＜f(x＋1)的解集为−1分段函数的几类题型及解决方法(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参．(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值．(3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．[跟进训练]3．(1)已知函数f(x)＝x+2，x≤0，x+A．0或1 B．－1或1C．0或－2 D．－2或－1(2)已知函数f(x)＝−x2−3x+2，x＜−1，2x−3，x≥(1)D(2)－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)[(1)令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0⇒a＝－2，当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1⇒a＝－1，综上所述，a＝－2或－1.(2)若f(a)＝4，则a<−1，−解得a＝－2或a＝5.若f(a)≥2，则a<−1，−解得－3≤a<－1或a≥4，∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．]课时分层作业(六)函数的概念及其表示一、单项选择题1．(2023·浙江温州学业考试)函数f(x)＝x+A．(0，1) B．(1，＋∞)C．(0，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)D[因为f(x)＝x+所以x＞0，lnx≠0所以f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．故选D.]2．(2024·江苏南通模拟)已知函数f(x)＝log2x，x>0A．2 B．1C．－1 D．2C[由条件可得f−π6＝－sin−π则ff−π6＝f12＝log故选C.]3．(2024·福建福州模拟)下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一个函数的是()A．f(x)＝x，g(x)＝xB．f(x)＝2lgx，g(x)＝lgx2C．f(x)＝|x|，g(x)＝xD．f(x)＝12x，g(xC[A选项，f(x)＝x的定义域是R，g(x)＝x2x的定义域是{x|xB选项，f(x)＝2lgx的定义域是{x|x＞0}，g(x)＝lgx2的定义域是{x|x≠0}，所以不是同一个函数；C选项，g(x)＝x2＝|x|＝f(xD选项，f(x)＝12x的定义域是R，g(x)＝x12的定义域是{x故选C.]4．下列四个函数，定义域和值域不相同的是()A．y＝－x＋1 B．y＝xC．y＝ln|x| D．y＝2x−1C[对于选项A，函数的定义域和值域都是R；对于选项B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；对于选项C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；对于选项D，因为函数y＝2x−1x−2＝2＋3x−2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋5．已知A＝B＝R，y＝x2－2x－2是集合A到集合B的函数，若对于实数k∈B，在集合A中没有实数与之对应，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－3] B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3) D．[－3，＋∞)C[A＝B＝R，y＝x2－2x－2＝(x－1)2－3∈[－3，＋∞)是集合A到集合B的函数，若对于实数k∈B，在集合A中没有实数与之对应，故k不在函数的值域之内，∴k＜－3.故选C.]6．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30s注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是()ABCDA[水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A符合．]7．已知函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R均满足2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－1C．f(x)＝－x＋1 D．f(x)＝－x－1A[由2f(x)－f(－x)＝3x＋1，可得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，①又4f(x)－2f(－x)＝6x＋2，②①＋②得：3f(x)＝3x＋3，解得f(x)＝x＋1.故选A.]8．设函数f(x)＝2−x，x≤0，1，x>0，A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1，0) D．(－∞，0)D[因为f(x)＝2−x所以函数f(x)的图象如图所示．由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.此时x≤－1.当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)＜f(2x)．此时－1＜x＜0.综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．]二、多项选择题9．(2024·河南三门峡模拟)已知函数f(x＋1)＝2x＋x－1，则()A．f(3)＝9B．f(x)＝2x2－3x(x≥0)C．f(x)的最小值为－1D．f(x)的图象与x轴只有1个交点ACD[令t＝x＋1≥1，得x＝t－1，则x＝(t－1)2，得f(x＋1)＝f(t)＝2t2－3t，故f(x)＝2x2－3x，x∈[1，＋∞)，f(3)＝9，A正确，B错误．f(x)＝2x2－3x＝2x−342－98，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，f(10．已知函数f(x)＝x+2，x≤A．f(f(－2))＝0B．f(x)的值域为(－∞，4)C．f(x)<1的解集为(－1，1)D．若f(x)＝3，则x的值是3ABD[函数f(x)＝x+2易知f(f(－2))＝f(0)＝0，故A正确；f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；由f(x)<1解得x∈(－∞，－1)∪(－1，1)，故C错误；f(x)＝3，即x2=3，−1<x<2三、填空题11．(2024·广东实验中学模拟)已知函数f(x)的定义域为[－1，1]，则y＝fx[－2，－1)[因为f(x)的定义域为[－1，1]，所以函数y＝fx+1x2−2x−3的x12．(2024·浙江宁波模拟)在平面直角坐标系中，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，1)三点，请写出2个函数关系式，使函数图象经过A，B，C三点：________，________．y＝1－x2y＝1－x24(答案不唯一，符合题意即可)[已知A(－2，0)，B(2，0)关于y轴对称，且C①可设y＝kx＋m，则2k解得m=1，k=②可设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则4a+2b+c=0，13．(2024·山西太原模拟)十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”D(x)＝1，x∈Q，0，x∈∁RQ，它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数f(x)＝A．3 B．2C．1 D．0C[由题意可知f(x)＝x2－D(x)＝x所以f(1)＝12－1＝0，f(2)＝(2)2＝2，f(3)＝(3)2＝3，而f(x)＝1无解．故选C.]14．(多选)(2024·浙江杭州模拟)我们常拿背诵圆周率π(π＝3.14159265358979323846264338327950288…)来衡量某人的记忆水平，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n)，则下列说法正确的是()A．y＝f(n)，n∈N*是一个函数B．当n＝6时，f(n)＝3.14159C．f(4)＝f(8)D．f(n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}A