第1章　高考研究在线1　预备知识在高考中的五大创新命题点-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

由八省联考开幕的新高考打破了本单元命题的“送分”模式，如：2021年新高考Ⅱ卷第20题第(2)问将三点共线问题与充要条件交汇在一起，2022年北京卷第9题将集合与立体几何动点轨迹问题交汇在一起，2022年新高考Ⅱ卷第17题第(2)问将集合与数列交汇在一起，2023年新高考Ⅰ卷第7题将充要条件与数列交汇在一起……可见，高考命题在考查基础知识点的同时，也加强了知识模块间的相互渗透．因此，在备考复习中，我们既要熟练掌握数学的本质(概念、性质、运算、思想方法等)，也要重视知识间的内在联系，同时提升自己分析问题和解决问题的能力，全方位、多角度备战新高考．命题点一集合运算的创新考法[典例1](1)(2021·八省联考)已知M，N均为R的子集，若N∪(∁RM)＝N，则()A．M⊆N B．N⊆MC．M⊆∁RN D.∁RN⊆M(2)(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A．62% B．56%C．46% D．42%(1)D(2)C[(1)由题意知，∁RM⊆N，其Venn图如图所示，∴只有∁RN⊆M正确．故选D.(2)设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.由Venn图可知，82%－x＋60%＝96%，解得x＝46%，故选C.]两道考题与我们日常训练的题目的风格有点不同，尤其是第(1)题过于抽象，如果不深入思考很难找到解题的切入点；第(2)题情境化较浓，若对容斥原理(人教A版必修第一册P15阅读与思考)不熟，也难以解答．实际上两道试题均考查Venn图的应用，考查直观想象素养．命题点二集合与其他知识的交汇问题[典例2](2022·北京高考)已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为()A．3π4C．2π D．3πB[如图，过点P作PO⊥平面ABC，O为垂足，则由题意知，CO＝23，PC＝6，所以PO＝26，当CO上存在一点Q使得PQ＝5，此时QO＝1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆上及圆内，所以T表示的区域的面积为π.故选B.]该题源自人教A版必修第二册P163T5，虽然是空间动态问题，但整体难度不大，解答的关键是发现集合T＝{Q∈S|PQ≤5}的本质，同时抓住正三棱锥P-ABC的顶点P到平面ABC距离(PO)的不变性，借助直角三角形的三边关系求出圆O的半径．命题点三基于数学知识的逻辑推理问题[典例3](2021·八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁A[因为1×3>0，1＋3≠2，又四个命题三真一假，故甲、乙必有一个是假命题，由甲为假命题易知，符合题意，由乙为假命题推出矛盾．故选A.]此题是基于数学知识背景下的逻辑推理问题，实际考查中，也可能基于数学文化、生活生产等，体现对逻辑推理素养及批判性思维能力的考查.命题点四不等式与基本不等式问题[典例4](多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则()A．a2＋b2≥12 B．2a－b>C．log2a＋log2b≥－2 D．aABD[对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥12，A正确；对于选项B，易知0<a<1，0<b<1，∴－1<a－b<1，∴2a－b>2-1＝12，B正确；对于选项C，令a＝14，b＝34，则log214＋log234＝－2＋log234<－2，C错误；对于选项D，∵2＝2a+b，∴[2a+b]2－(a+b)2＝本题融不等式的性质、基本不等式、对数函数、指数函数等知识于一体，较为综合，解答此题的关键是熟知知识间的联系，如教材中重要不等式与基本不等式的关系：若a＞0，b＞0，则ab≤a命题点五充要条件的探求与证明问题[典例5](1)(2023·新高考Ⅰ卷)设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：SnA．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2＝1(a>①求椭圆C的方程；②设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切，证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝3.(1)C[若{an}为等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋nn−12d，所以Snn＝a1＋(n－1)·d2，所以Sn+1n+1−Snn＝a1＋(n＋1－1)·d2−a1+n−1·d2＝d2为常数，所以Snn为等差数列，即甲⇒乙；若Snn为等差数列，设其公差为t，则Snn＝S11＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N(2)[解]①由题意知c解得a=3，b=1，所以椭圆C②证明：证必要性，如图，当M，N，F三点共线时，设直线MN的方程为x＝my＋2，圆心O(0，0)到MN的距离d＝2m2+1＝1联立x=my+2，x2+3y2=3⇒(m2＋3)y2＋22my－1＝0⇒4y2＋22my－1＝0，Δ＝8m2＋16，∴y1|MN|＝1+m2·8m2证充分性，当|MN|＝3时，设直线MN的方程为x＝ty＋n，此时圆心O(0，0)到MN的距离d＝nt2+1＝1，n2联立x=ty+n，x2+3y2=3Δ＝4t2n2－4(t2＋3)(n2－3)＝12(t2－n2＋3)＝24，y1＋y2＝－2tnt2+3，y1y且|MN|＝1+t2·24t2+3＝3⇒∵直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x＞0)相切，∴n＞0，n＝2，∴直线MN的方程为x＝ty＋2恒过点F(2，0)，∴M，N，F三点共线，充分性得证．∴M，N，