第1章 第1课时　集合-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：集合．常与一元二次不等式交汇命题，主要考查一元二次不等式的解法及集合的交、并、补运算．2．轮考点：常用逻辑用语、不等式的性质、基本不等式．(1)充分、必要条件的判断常与数列、平面向量等知识交汇命题，注重对基本概念、基本性质的考查；(2)全称量词与存在量词命题常考查其否定形式的识别；(3)不等式的性质主要是数(式)的大小比较；(4)基本不等式主要体现在求代数式的最值．第1课时集合[考试要求]1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2．理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3．会求两个集合的并集、交集与补集.4．能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号∈和∉表示．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法和图示法．(4)五个特定的数集的表示集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*(或N＋)ZQR2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或(B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB或(BA)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．3．集合的基本运算并集交集补集图形表示集合表示A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}[常用结论]1．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A．2．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．3．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}． ()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}． ()(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1． ()(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1，4}． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P8例1改编)集合A＝{2，3，4}的子集有()A．4个B．6个C．8个D．9个C[A＝{2，3，4}的子集个数为23＝8，故选C.]2．(多选)(人教A版必修第一册P5习题1.1T1改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论正确的是()A．1∈A B．{－1}⊆AC．∅⊆A D．{－1，1}∉A[答案]ABC3．(人教A版必修第一册P35T9改编)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝()A．2 B．1C．23 B[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0，当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B.所以a＝1，故选B.]4．(人教A版必修第一册P14T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|(x－2)(x－10)＜0}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝________．{x|x≤2或x≥10}{x|2＜x＜3或9≤x＜10}[由题意，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|2＜x＜10}，可得A∪B＝{x|2＜x＜10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，又由∁RA＝{x|x＜3或x≥9}，所以(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或9≤x＜10}．]考点一集合的概念[典例1](1)已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的个数为()A．2 B．4C．6 D．8(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．(1)C(2)－32[(1)因为A所以B＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}，即B中含6个元素．故选C.(2)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－3【教师备选资源】非空有限数集S满足：若a，b∈S，则必有a2，b2，ab∈S，则满足条件且含有两个元素的数集S＝________．(写出一个即可){0，1}(或{－1，1})[由题意，不妨设S＝{a，b}，根据题意有a2，ab，b2∈S，所以a2，ab，b2中必有两个是相等的，若a2＝b2≠ab，则a＝－b，故ab＝－a2，又a2＝a，或a2＝b＝－a，所以a＝0(舍去)或a＝1或a＝－1，此时S＝{－1，1}；若a2＝ab≠b2，则a＝0，此时b2＝b，故b＝1或b＝0(舍去)，此时S＝{0，1}，若b2＝ab≠a2，则b＝0，此时a2＝a，故a＝1或a＝0(舍去)，此时S＝{0，1}，综上，S＝{0，1}，或S＝{－1，1}．]解决集合含义问题的注意点一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．[跟进训练]1．(1)(2023·上海高考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝()A．{1} B．{2}C．{1，2} D．{1，2，3}(2)已知集合A＝x∈N4x−2A．3 B．4C．5 D．6(1)A(2)C[(1)∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P且x∉Q}，∴M＝{1}．故选A.(2)∵4x−2∈Z，∴x－2的取值有－4，－2，－1，1，2，4，∴x又x∈N，故x的值为0，1，3，4，6.故集合A中有5个元素．]考点二集合间的基本关系[典例2](1)(2023·江苏南京、盐城一模)设M＝xx=k2，A．MN B．NMC．M＝N D．M∩N＝∅(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．(1)B(2)[－1，＋∞)[(1)因为x＝k＋12＝2k+12，因为k∈Z，所以2k＋1为奇数，故故选B.(2)①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2；②当B≠∅时，2m−1≤m+1，综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．]【教师备选资源】在本例(2)中，若把B⊆A改为BA，则实数m的取值范围是________．[－1，＋∞)[①当B＝∅时，2m－1>m＋1，所以m>2；②当B≠∅时，2m−1或2m−1≤m+1，综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．]已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，“＝”加不加．提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．[跟进训练]2．(1)(2024·广东肇庆期中)设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a取值集合的真子集的个数为()A．2 B．3C．7 D．8(2)(2024·福建厦门模拟)设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝x−1}，若ACB，写出一个符合条件的集合C，则C＝________．(写出一个即可)(1)C(2){x|1≤x≤4}(答案不唯一)[(1)由x2－8x＋15＝0，得(x－3)(x－5)＝0，解得x＝3或x＝5，所以A＝{3，5}．当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A.当a≠0时，B＝1a，因为B⊆A，所以1a＝3或1a＝5，得a＝13或综上，实数a的取值集合为0，13，15，所以实数(2)A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，若ACB，则可有C＝{x|1≤x≤4}．]考点三集合的基本运算集合的运算[典例3](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．{2}(2)全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，则A∪B＝________．(1)C(2){1，2，3，5，8，9}[(1)∵x2－x－6≥0，∴(x－3)(x＋2)≥0，∴x≥3或x≤－2，N＝{x|x≤－2，或x≥3}，则M∩N＝{－2}．故选C.(2)由已知条件可得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn图如图所示．由图可得A∪B＝{1，2，3，5，8，9}．]利用集合的运算求参数[典例4]已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2) B．(－∞，－2]C．(－4，＋∞) D．(－∞，－4]D[集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝xx≤−a2，由A∪B＝B可得可知－a2≥2，即a≤－4．解决集合运算问题的注意点(1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值．(2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简单明了．(3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．(4)端点值验证．[跟进训练]3．(1)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝()A．∁U(M∪N) B．N∪∁UMC．∁U(M∩N) D．M∪∁UN(2)(2024年1月九省联考卷)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________．(1)A(2)5[(1)由题意，M∪N＝{x|x<2}，又U＝R，所以∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A.(2)由A∩B＝A，则A⊆B，由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有4≤m+3，−2即m的最小值为5．]考点四Venn图的应用及创新性问题[典例5](1)如图所示，A，B是非空集合，定义集合A⊕B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A⊕B＝________．(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．(1)[0，1]∪(2，＋∞)(2)8[(1)由题可知B＝(1，＋∞)，所以A∩B＝(1，2].由题意得A⊕B＝∁A(A∩B)∪∁B(A∩B)＝[0，1]∪(2，＋∞)．(2)设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．]Venn图具有形象直观的特征，应用Venn图可以解决两大类问题：一是处理部分有限集合的元素个数的计数问题；二是解决抽象集合的运算问题或判断集合间的关系问题．[跟进训练]4．(1)已知集合P，Q均为R的子集，且(∁RQ)∪P＝R，则()A．P∩Q＝R B．P⊆QC．Q⊆P D．P∪Q＝R(2)某中学为了解本校学生阅读《西游记》和《红楼梦》的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为()A．60 B．70C．80 D．90(1)C(2)B[(1)如图所示，集合P，Q均为R的子集，且满足(∁RQ)∪P＝R，所以Q⊆P.(2)根据题意作出Venn图如下，所以阅读过《西游记》的学生人数为10＋60＝70.故选B.]课时分层作业(一)集合一、单项选择题1．(2023·北京高考)已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1<0}，则M∩N＝()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2<x≤1}C．{x|x≥－2} D．{x|x<1}A[由题意，M＝{x|x≥－2}，N＝{x|x<1}，所以M∩N＝{x|－2≤x<1}．故选A.]2．已知全集U＝N，集合A＝{x∈U|2≤x≤10}，B＝{x|x为素数}，则A∩∁UB＝()A．{4，6，8，10} B．{4，5，6，8，9}C．{2，4，6，8，10} D．{4，6，8，9，10}D[由A∩∁UB，即为2≤x≤10，x∈N中不是素数的数组成的集合，则A∩∁UB＝{4，6，8，9，10}．故选D.]3．(2024·广州模拟)设集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为()A．8 B．7C．4 D．3B[集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}＝{x|(x－3)(x＋1)<0，x∈Z}＝{0，1，2}，则集合M中元素个数为3，故集合M的真子集个数为23－1＝7.故选B.]4．(2024·山东滨州模拟)已知集合A＝{1，2}，B＝{x|mx－2＝0}，若B⊆A，则实数m＝()A．2 B．1C．1或2 D．0或1或2D[因为A＝{1，2}，B＝{x|mx－2＝0}，若B⊆A，则B＝∅或B＝{1}或B＝{2}，当B＝∅时，m＝0，当B＝{1}时，m＝2，当B＝{2}时，m＝1.故选D.]5．(2023·山东威海二模)已知全集U＝{x|0<x<5}，集合A满足∁UA＝{x|1<x<3}，则()A．1∉A B．2∈AC．3∉A D．4∈AD[因为U＝{x|0<x<5}，且∁UA＝{x|1<x<3}，所以A＝{x|0<x≤1或3≤x<5}，所以1∈A，2∉A，3∈A，4∈A.故选D.]6．(2023·山东济宁三模)若集合A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}，B＝{(x，y)|y>x}，则集合A∩B中的元素个数为()A．0 B．1C．2 D．3C[因为A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}＝{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}，又B＝{(x，y)|y>x}，所以A∩B＝{(0，4)，(1，3)}，即集合A∩B中含有2个元素．故选C.]7．(2024·湖北十堰模拟)若集合A＝{x|y＝x}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则()A．A∩B＝∅ B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆BC[因为A＝{x|y＝x}＝[0，＋∞)，B＝{y|y＝2x，x∈A}＝[1，＋∞)，所以B⊆A.故选C.]8．(2023·湖北华中师大附中一模)满足等式{0，1}∪X＝x∈Rx3A．1个 B．2个C．3个 D．4个D[因为x∈Rx3=x＝{0，1，－1}，所以{0，1}∪X＝{0，1，－1}，所以符合该等式的集合X为X＝{－1}，X＝{－1，1}，X二、多项选择题9．已知非空集合M满足：①M⊆{－2，－1，1，2，3，4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是()A．{－1，1} B．{－1，1，2，4}C．{1} D．{1，－2，2}AC[由题意可知3∉M且4∉M，而－2或2与4同时出现，所以－2∉M且2∉M，所以满足条件的非空集合M有{－1，1}，{1}．]10．(2023·山东潍坊一模)若非空集合M，N，P满足：M∩N＝N，M∪P＝P，则()A．P⊆M B．M∩P＝MC．N∪P＝P D．M∩∁PN＝∅BC[由M∩N＝N可得N⊆M，由M∪P＝P，可得M⊆P，则推不出P⊆M，故选项A错误；由M⊆P可得M∩P＝M，故选项B正确；因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故选项C正确；由N⊆M可得M∩∁PN不一定为空集，故选项D错误．故选BC.]三、填空题11．已知集合A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m＝________．0或3[因为A∪B＝A，所以B⊆A.因为A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}，所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3.当m＝0时，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，符合题意；当m＝1时，集合A，集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意；当m＝3时，A＝{1，3，9}，B＝{1，3}，符合题意．综上，m＝0或3．]12．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人．则接受调查的小学生共有________人．120[如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合A，B，C表示，则card(A)＝63，card(B)＝89，card(C)＝47，card(A∩B∩C)＝24，不妨设总人数为n，Venn图中三块区域的人数分别为x，y，z，即card(A∩B)＝24＋x，card(A∩C)＝y＋24，card(B∩C)＝z＋24，x＋y＋z＝46，由Venn图可知，n－15＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)＝63＋89＋47－(24＋x)－(