2023年普通高等学校招生全国统一考试·上海卷

2023年普通高等学校招生全国统一考试·上海卷数学一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)1．不等式|x－2|<1的解集为________．{x|1<x<3}[由|x－2|<1得－1<x－2<1，即1<x<3，故不等式|x－2|<1的解集是{x|1<x<3}．]2．已知a＝(－2，3)，b＝(1，2)，则a·b＝________．4[a·b＝－2×1＋3×2＝4．]3．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S6＝________．189[S6＝3×1−261−24．已知tanα＝3，则tan2α＝________．－34[tan2α＝2tanα5．已知函数f(x)＝2x，x>01，[1，＋∞)[当x>0时，f(x)＝2x单调递增，f(x)>1；当x≤0时，f(x)＝1．故f(x)的值域为[1，＋∞)．]6．已知复数z＝1＋i，则|1－i·z|＝________．5[∵z＝1＋i，∴1－i·z＝1－i(1＋i)＝1－i＋1＝2－i，∴|1－i·z|＝|2－i|＝5．]7．已知圆C：x2＋y2－4y－m＝0的面积为π，则m＝________．－3[由x2＋y2－4y－m＝0得x2＋(y－2)2＝m＋4，故半径r＝m+4，∴π(m＋4)＝π，解得m8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝________．74[由余弦定理的推论得cosA＝b2+c2−a22bc＝52+69．国内生产总值(GDP)是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标．根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳定增长，第一季度和第四季度的GDP分别为232亿元和241亿元，且四个季度的GDP逐季度增长，中位数与平均数相等，则该市2020年的GDP总额为________亿元．946[依题意，将2020年四个季度的GDP数据分别记为a1，a2，a3，a4，则a1＝232，a4＝241，四个季度GDP数据的中位数为12(a2＋a3)，平均数为14(a1＋a2＋a3＋a4)，则12(a2＋a3)＝14(a1＋a2＋a3＋a4)，∴a2＋a3＝a1＋a4＝473，故该市2020年的GDP总额为a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a10．已知(1＋2023x)100＋(2023－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若0≤k≤100且k∈N，当ak<0时，k的最大值为________．49[xk的系数为ak＝C100k2023k+C100k2023100-k(－1)k＝C100k2023k[1＋2023100-2k(－1)k]，k＝0，1，2，…，100，要使ak<0，则k必为奇数，且2023100−211．公园欲修建一段斜坡，假设斜坡底在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡顶端距离水平面的垂直高度为4米，人沿着斜坡每向上走1米，消耗的体能为(1.025－cosθ)，要使从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则θ＝________．arctan940或arccos4041或arcsin941[法一：易求斜坡的长度为4sinθ0<θ<π2，则从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能T＝41.025−cosθsinθ，即Tsinθ＋4cosθ＝4.1，T2+42sin(θ＋α)＝4.1，其中锐角α满足tanα＝4T，∴T法二：易求斜坡的长度为4sinθ0<θ<π2，则从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能T＝41.025−cosθsinθ，即Tsinθ＋4cosθ＝4.1，T＝4.1−4cosθsinθ，设t＝tanθ2，则t＝sinθ2cosθ2＝2sin2θ22sinθ2cosθ2＝1−cosθsinθ，结合sin2θ＋cos2θ＝1，可得sinθ＝2t1+t法三：易求斜坡的长度为4sinθ0<θ<π2，则从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能T＝41.025−cosθsinθ，即Tsinθ＋4cosθ＝4.1，T＝4.1−4cosθsinθ，则T′＝4sin2θ−4.1−4cosθcosθsin2θ4−4.1cosθsin2θ，令T′＝0，得cosθ＝4041，θ＝arccos4041，当12．已知空间中的三点A，B，C满足AB＝AC＝BC＝1，在空间中任取不同的两点(不计顺序)，使得这两点与点A，B，C可以组成正四棱锥，则不同的取法有________种(用数字作答)．9[由题意得△ABC为正三角形．根据正四棱锥的定义知，正四棱锥的底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心，故所给正△ABC的任意一条边可以为底面正方形的一条边或对角线，将△ABC的一条边作为底面正方形的一条边，若将BC作为底面正方形的一条边，可在△ABC的左侧取不同的两点E，F，图1使得这两点与A，B，C构成正四棱锥A-BCEF，在△ABC的右侧取不同的两点E′，F′，使得这两点与A，B，C构成正四棱锥A-BCE′F′，如图1，同样，AB，AC也可作为底面正方形的一条边，所以方案数为3×2＝6；将△ABC的一条边作为底面正方形的对角线时，若将BC作为底面正方形的对角线，可构造一个正四棱锥，如图2，图2同样AB，AC也可作为底面正方形的对角线，所以方案数为3．故不同的取法有6＋3＝9(种)．]二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分，每题有且只有一个正确选项)13．已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝()A．{1} B．{2}C．{1，2} D．{1，2，3}A[由M＝{x|x∈P且x∉Q}知，M＝{1}．故选A．]14．已知某校50名学生的身高与体重的散点图如图所示，则下列说法正确的是()A．身高越高，体重越重B．身高越高，体重越轻C．身高与体重成正相关D．身高与体重成负相关C[由题图可知，各数据分布呈线性，且从左向右看，呈现上升趋势，故身高与体重成正相关．故选C．]15．设a>0，函数y＝sinx在区间[a，2a]上的最小值为s，在区间[2a，3a]上的最小值为t，当a变化时，下列不可能成立的是()A．s>0且t>0 B．s<0且t<0C．s>0且t<0 D．s<0且t>0D[取a＝π8，则y＝sinx在区间π8，π4上的最小值s＝sinπ8>0，在区间π4，3π8上的最小值t＝sinπ4>0，选项A可能成立；取a＝3π8，则y＝sinx在区间3π8，3π4上的最小值s＝sin3π4>0，在区间3π4，9π8上的最小值t＝sin9π8＝－sinπ8<0，选项C可能成立；取a＝9π8，16．在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意的点P∈Γ，都有Q∈Γ使得|PM|·|QM|＝1，则称这条曲线为“自相关曲线”．下列两个命题的真假情况为()①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线．A．①为假命题，②为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为真命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题B[对于命题①，设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴为AB，在AB的延长线上能找到一点M，使|MA|·|MB|＝1．不妨设M(x0，0)(x0>a)，则|PM|max＝a＋x0，|PM|min＝x0－a，即|PM|∈[x0－a，x0＋a]，易知|QM|也在此范围内，不妨让|PM|取最大值，|QM|取最小值，假设|PM|·|QM|＝1成立，则(x0＋a)(x0－a)＝1，得x0＝1+a2，故存在M(1+a2，0)使假设成立，当x0＝1+a2时，若|PM|由x0＋a逐渐减小为x0－a，则一定有QM∈[x0－a，x0＋a]，使得|PM|·|QM|＝1，故存在点M，使得对于任意的点P∈C，都有Q∈C使得|PM|·|QM|＝1，∴椭圆C是“对于命题②，由题意，点P的位置不固定且双曲线不封闭，∴|PM|可取无穷大．如果M在双曲线上，则会存在P和M重合的情况，不符合题意，故M不在双曲线上．假设存在点M，使得对于任意的P∈Γ，都有Q∈Γ使得|PM|·|QM|＝1，若|PM|取无穷大，则|QM|→0，∵Q∈Γ，M∉Γ，∴|QM|不会趋近于0，故假设不成立，∴不存在是“自相关曲线”的双曲线，故②为假命题．故选B．]三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤．17．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥DC，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4．(1)求证：A1B∥平面DCC1D1；(2)若直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为36，求二面角A1-BD-A的大小．[解](1)法一：∵AB∥DC，AB⊄平面DCC1D1，CD⊂平面DCC1D1，∴AB∥平面DCC1D1．∵AA1∥DD1，AA1⊄平面DCC1D1，DD1⊂平面DCC1D1，∴AA1∥平面DCC1D1．又AB∩AA1＝A，∴平面ABB1A1∥平面DCC1D1．又A1B⊂平面ABB1A1，∴A1B∥平面DCC1D1．法二：如图1，取CD的中点E，连接BE，D1E，图1则DE＝2，∵AB∥DC，AB＝2，∴AB綉DE，∴四边形ABED为平行四边形，∴BE綉AD．又AD綉A1D1，∴BE綉A1D1，∴四边形A1D1EB为平行四边形，∴A1B∥D1E，又D1E⊂平面DCC1D1，A1B⊄平面DCC1D1，∴A1B∥平面DCC1D1．(2)由题意得，S梯形ABCD＝12×(2＋4)×3＝9又直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为36，∴9×AA1＝36，∴AA1＝4．法一：如图2，过A作AH⊥BD于点H，连接A1H．图2∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD．又AH⊥BD，AA1∩AH＝A，∴BD⊥平面AA1H，∴A1H⊥BD．∴∠A1HA为二面角A1-BD-A的平面角．在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，可得AH＝613∴在Rt△A1AH中，tan∠A1HA＝AA1AH＝4∴∠A1HA＝arctan213即二面角A1-BD-A的大小为arctan213法二：由题意，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1的方向为x，图3则D(0，0，0)，B(3，2，0)，A1(3，0，4)，∴DB＝(3，2，0)，DA1＝(3，0，显然平面ABD的一个法向量为n＝(0，0，1)．设平面A1BD的法向量为m＝(x，y，z)，则3x+2y=03x+4z=0设α为n与m的夹角，φ为二面角A1-BD-A的平面角，由题意知φ为锐角，则cosφ＝|cosα|＝316+36+9＝3因此φ＝arccos361∴二面角A1-BD-A的大小为arccos36118．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数f(x)＝x2+3a+1x+(1)当a＝0时，是否存在c，使得f(x)为奇函数？(2)若函数f(x)的图象过点(1，3)，且f(x)的图象与x轴负半轴有两个不同交点，求c的值及a的取值范围．[解](1)当a＝0时，f(x)＝x2∴f(1)＝2＋c，f(－1)＝－c，显然f(1)≠－f(－1)，∴当a＝0时，f(x)不可能为奇函数，∴当a＝0时，不存在c，使得f(x)为奇函数．(2)由题意得f(1)＝1+3∴3a＋c＋2＝3a＋3，∴c＝1，∴f(x)＝x2∵f(x)的图象与x轴负半轴有两个不同交点，∴关于x的方程x2＋(3a＋1)x＋1＝0有两个不同负实数根x1，x2，且x1≠－a，x2≠－a，∴x得a>13且a≠1∴实数a的取值范围为13，119．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．21世纪汽车博览会在上海举行．某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观与内饰的颜色分布如表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰812米色内饰23现将这25个汽车模型进行编号．(1)若小明从25个汽车模型编号中随机选取一个，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为小明取到的模型为米色内饰，求P(B)和P(B|A)，并据此判断事件A和事件B是否独立．(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人一次性从25个汽车模型编号中选取两个，给出以下抽奖规则：①选到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色；②按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖项越高；③该抽奖活动的奖金金额为一等奖600元、二等奖300元、三等奖150元．请你分析奖项对应的结果，设X为奖金金额，写出X的分布列，并求出X的数学期望．[解](1)由题意得，P(B)＝2+325＝1P(A)＝8+225＝25，P(AB)＝则P(B|A)＝PABPA＝2∵P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A和事件B独立．(2)记外观与内饰均同色为事件A1，外观与内饰都异色为事件A2，仅外观或仅内饰同色为事件A3，则P(A1)＝C82+C12P(A2)＝C81C31P(A3)＝C81C21∵P(A2)<P(A1)<P(A3)，∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色，二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色，三等奖为两个汽车模型仅外观或内饰同色．X的分布列如表：X150300600P77494E(X)＝150×77150＋300×49150＋600×20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知曲线Γ：y2＝4x，第一象限内的点A在Γ上，设A的纵坐标是a．(1)若点A到Γ的准线的距离为3，求a的值；(2)若a＝4，B为x轴上一点，线段AB的中点在Γ上，求点B的坐标和坐标原点O到直线AB的距离；(3)设直线l：x＝－3，P是第一象限Γ上异于A的一点，直线AP交直线l于点Q，点H是点P在直线l上的投影，若点A满足性质“当点P变化时，|HQ|>4恒成立”，求a的取值范围．[解](1)由题意，Γ的准线方程为x＝－1，Aa2则a24＋1＝3，得a又a>0，∴a＝22．(2)由题意知，A(4，4)，设B(b，0)，则AB中点的坐标为4+b2，2，代入y2＝4x，得4＝2(4＋b)，∴点B的坐标为(－2，0)．则直线AB的斜率为4−04−−2＝∴直线AB的方程为y＝23(x＋2)，即2x－3y∴坐标原点O到直线AB的距离为422+−32(3)由题意知，Aa24，设Py024，y0(y0>0)，则H(－3，y0)，直线AP的斜率k直线AP的方程为y＝4a+y∴Q−3，4∴|HQ|＝y0−−12−a2+a∴a<y02+124－y0＝y024－y0＋3＝14(y0－2)2＋2即a－2<14(y0－2)2(y0∈(0，a当a＝2时，由y0≠a得y0≠2，则a－2<14(y0－2)2恒成立；当a－2<0，即a<2时，a－2<14(y0－2)2综上，a的取值范围是(0，2]．21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数f(x)＝lnx．取a1>0，过点(a1，f(a1))作曲线y＝f(x)的切线，交y轴于点(0，a2)；a2>0，过点(a2，f(a2))作曲线y＝f(x)的切线，交y轴于点(0，a3)，以此类推，若an≤0，n∈N*，则停止操作，得到数列{an}．(1)若正整数m≥2，证明：am＝lnam－1－1．(2)若正整数m≥2，试比较am与am－1－2的大小．(3)若正整数k≥3，是否存在k使得a1，a2，…，ak依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，试说明理由．[解](1)证明：由题得，f′(x)＝1x当正整数m≥2时，曲线y＝f(x)在点(am－1，f(am－1))处的切线方程为y－f(am－1)＝1am−1(x－a即y－lnam－