人教A版普通高中数学一轮复习第二章学科特色微专题函数的值域学案_第1页
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文档简介

微专题函数的值域函数的值域是函数概念中的三要素之一，是高考题中的常考内容，与其他知识联系紧密，贯穿整个高中数学的始终．解答与函数值域有关的问题，首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，然后要关注在其他知识中涉及值域的内容，不断丰富解题方法．类型一配方法【例1】求函数f(x)＝4x－3×2x+1＋1(0≤x≤2)的值域．解：f(x)＝4x－3×2x+1＋1＝(2x)2－6×2x＋1＝(2x－3)2－8.因为0≤x≤2，所以1≤2x≤4.所以当2x＝3时，函数f(x)取得最小值－8；当2x＝1时，函数f(x)取得最大值－4，所以函数f(x)的值域为[－8，－4].配方法主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题，并且往往需结合函数图象求值域．类型二单调性法【例2】函数f(x)＝x2＋1x(x≤－1)的值域是[0，＋∞)解析：函数y＝x2和y＝1x在(－∞，－1]上都单调递减，所以f(x)min＝f(－1)＝0，且当x趋向于－∞时，f(x)趋向于＋∞，所以函数f(x)的值域为[0，＋∞单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．类型三数形结合法【例3】(2024·哈尔滨模拟)求函数f(x)＝x2解：作出函数y＝f(x)的图象如图所示．因为f(－1)＝f(1)＝－4，f(－2)＝－3，f(3)＝0，f(0)＝－3，所以函数f(x)的最大值、最小值分别为0和－4，即函数f(x)的值域为[－4，0].对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数的值域．用数形结合法，可以使运算过程大大简化．类型四换元法【例4】求f(x)＝x＋1-x的值域．解：令1-x＝t≥0，则x＝1－t2(t≥0)，所以f(x)＝g(t)＝1－t2＋t＝－t-122＋54≤54，所以函数f(引入新变量，使原函数转化成关于新变量的函数，使问题得以解决．用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域．类型五反解法【例5】求函数y＝x-3x+1解：函数y＝x-3x+1可化为x＝y+3可得y≠1，所以原函数的值域为{y∈R|y≠1}．就是用y来表示x，利用其变形形式求得原函数的值域．类型六分离常数法【例6】求函数y＝2x解：y＝2x2x+1＝因为2x>0，所以2x＋1>1，所以0<12x+1所以0<1－12所以函数的值域为(0，1)．对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子、分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑

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