人教A版普通高中数学一轮复习42课时练习含答案

课时质量评价(四十二)1．已知公比为q的等比数列{an}的前n项和Sn＝2a1－2qn，则a1＝()A．12 C．2 D．4B解析：由题意可得a1＝S1＝2a1－2q，即a1＝2q，又a2＝S2－S1＝2a1－2q2－a1＝2q－2q2，故a2a1＝2q-2q22q＝故a1＝2q＝1.2．(2024·岳阳模拟)已知等比数列{an}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于()A．1 B．－1C．3 D．－3A解析：由题知a5－a3＝8，a6－a4＝24，即a解得a1=19，q=3，所以a3＝a13．在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于()A．2 B．3C．4 D．5C解析：令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an.又由题设易知an≠0，则an+1an＝a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n.故ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝2k(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×2×1-2101-2＝2k+1×(210－1)＝215－25＝24．已知数列{an}为等比数列，且a2a10＝4a6，Sn为等差数列{bn}的前n项和，且S6＝S10，a6＝b7，则b9＝()A．43 B．－C．－83 B解析：因为{an}为等比数列，且a2a10＝a62＝4a6，所以a6＝4.设等差数列{bn}的公差为d，因为S6＝S10，所以b7＋b8＋b9＋b10＝2(b7＋b10)＝0，则b7＋b10＝0.因为b7＝a6＝4，所以b10＝－4，所以3d＝b10－b7＝－4－4＝－8，所以d＝－83，所以b9＝b7＋2d＝4＋2×-5．(多选题)(数学与文化)古书有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”现打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升，1斗为10升，则下列判断正确的是()A．a＝50B．c＝50C．a，b，c依次成公比为2的等比数列D．a，b，c依次成公比为12BD解析：由题意得a，b，c依次成公比为12的等比数列，则c＋2c＋4c＝50，解得c＝506．已知数列{an}为等比数列，若数列{3n－an}也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以为．(写出一个即可)an＝3n-1(答案不唯一)解析：设等比数列{an}的公比为q，令bn＝3n－an，则b1＝3－a1，b2＝32－a1q，b3＝33－a1q2.因为{bn}是等比数列，所以b22＝b1b3，即(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，可化为q2－6q＋9＝0，解得q＝3.取a1＝1，则an＝3n-1，经验证成立．(注：a7．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝647(1－2-3n)解析：设数列{an}的公比为q，则q3＝a5a2＝18，解得q＝12，所以a1＝a2q＝4，a3＝a2q＝1.易知数列{anan＋1an＋2}是首项为a1a2a3＝4×2×1＝8，公比为q3＝18的等比数列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an8．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋2n－3.(1)若bn＝an＋2n－1，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求{an}的前n项和Sn.(1)证明：因为an＋1＝2an＋2n－3，bn＝an＋2n－1，易知bn≠0，所以bn+1bn＝a又b1＝a1＋2－1＝2，所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)解：由(1)可知bn＝2n，则an＝2n－2n＋1，故Sn＝21－1＋22－3＋…＋2n－2n＋1＝21＋22＋…＋2n－(1＋3＋…＋2n－1)＝2-2n+11-2－n1+2n-12＝2n9．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝8，a4＝－1，则数列{Sn}()A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项A解析：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，a1＝8，a4＝－1，则q3＝a4a1＝－18，则Sn＝a11-qn1-q若n为奇数，则Sn＝1631+12n，此时有S1>S3>…>若n为偶数，则Sn＝1631-12n，此时有S2<S4<…<故S1最大，S2最小．10．(多选题)已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论正确的是()A．{an＋Sn}是等差数列B．{an·Sn}是等比数列C.{aD．SnACD解析：由数列{Sn}是等差数列，可得2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，所以a2＝a3.因为{an}是各项均为正数的等比数列，所以a2＝a2q，可得q＝1.所以an＝a1>0，Sn＝na1.an＋Sn＝(n＋1)a1，所以数列{an＋Sn}是等差数列，因此A正确；an·Sn＝na12，所以{an·an2＝a1Snn＝a1>0，所以11．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则6q＝．－9解析：因为数列{bn}有连续四项在{－53，－23，19，37，82}中，且bn＝an＋1，则an＝bn－1，所以{an}有连续四项在{－54，－24，18，36，81}中．又{an}是等比数列，等比数列中有负数项则q<0，且负数项为相隔两项．又|q|＞1，则等比数列各项的绝对值递增，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值为18，－24，36，－54，81.相邻两项相除得-2418＝－43，36-24＝－32，-5436＝－3由此易知，－24，36，－54，81是{an}中连续的四项，所以q＝－32，所以6q12．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝，Tn＝．12n1151-116n解析：由题意，得a1＝1－a1，则a1＝12．又当n≥2时，由Sn=1-an，Sn-1=1-an-1，化简整理得2an＝an－1，易知an由等比数列的性质可得a1a3＝a22，a3a5＝a42，…，a2n－1a2n所以数列{a2n－1a2n＋1}是以a22＝116则Tn＝a22+a413．(2024·佛山模拟)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝20，a32＝a(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋bn＋1＝2an，求数列{b2n}的前n项和T解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由题知S5＝5a3＝20，则a3＝4.又a32＝a2a5，即16＝(4－d)(4＋2d)，且公差d不为0，所以因为a1＝a3－2d＝0，所以数列{an}的通项公式为an＝0＋2(n－1)＝2n－2.(2)由(1)知bn＋bn＋1＝2an＝(2)2n-2＝2n则(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋(b5＋b6)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝20＋22＋24＋…＋22n-2＝1×1-4n1-4＝4(b1＋b2)＋(b2＋b3)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝20＋21＋22＋…＋22n-2＝1×1-22n-11-2＝22n①×2－②，得b1＋b2n＝2×4n3-13又b1＝1，所以b2n＝23×4n－22n-1－2Tn＝831-4n1-4－21-4n1-4－23n＝83×4n-114．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0，4S1＋S2＝S3.(1)求数列{an}的公比q；(2)对于∀n∈N*，不等式an-a1Sn＋n2＋172≥解：(1)由4S1＋S2＝S3，得4a1＋a1＋a2＝a1＋a2＋a3，整理得4a1＝a3，所以4a1＝a1q2.因为a1≠0，所以q2＝4，由题意得q>0，所以q＝2.(2)由(1)得Sn＝a11-2n1-2＝an＝a1·