人教A版普通高中数学一轮复习23课时练习含答案

课时质量评价(二十三)1．(2024·海口模拟)若tanα·tanβ＝2，则cosα−βA．－3 B．－13C．13 A解析：由题意，得cosα−βcosα+β＝cosαcos2．在单位圆中，已知角α的终边与单位圆交于点P12，32，现将角α的终边按逆时针方向旋转π3，记此时角αA．−32C．(1，0) D．(0，1)B解析：由三角函数的定义知，sinα＝32，cosα＝12，将角α的终边按逆时针方向旋转π3所得的角为α＋π3，故点Q的横坐标为cosα+π3＝cosαcosπ3点Q的纵坐标为sinα+π3＝sinαcosπ3＋cosαsinπ3＝323．(数学与文化)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°.若4m2＋n＝16，则mnA．1 B．2C．4 D．8C解析：因为m＝2sin18°，由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin18°)2＝16cos218°，所以mn2cos2274．已知α，β∈π3，5π6，若sinα+π6＝45，cosβ−5A．1665C．5665A解析：由题意可得α＋π6∈π2，π，β－5π6∈−π2，所以sin(α－β)＝－sinα+π6−β−5π6＝－45×5．(多选题)(2024·合肥模拟)下列计算结果正确的是()A．cos(－15°)＝6B．sin15°sin30°sin75°＝1C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝－1D．2sin18°cos36°＝1BD解析：对于A，cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6+对于B，sin15°sin30°sin75°＝sin15°sin30°·cos15°＝12sin15°cos15°＝14sin30°＝对于C，cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12对于D，2sin18°cos36°＝2cos72°cos36°＝2×sin144°2sin72°×sin72°6．sin12°2cos18解析：因为sin12°2cos212°−17．(2024·威海模拟)已知α∈π，3π2，若tanα+π－1010解析：因为α∈π，3π2，则α＋π3∈4π3，11π6．又tanα+π3＝－2＜0，故故cosα+π12＝cosα+π3−π4＝cosα+π3·cosπ4＋sinα+π3sin8．已知sinα＝210，cosβ＝31010，且α，β为锐角，则α＋2βπ4解析：因为sinα＝210，且α为锐角，所以cosα＝1−sin2α＝1−2100＝7210．因为cosβ＝31010，且β为锐角，所以sinβ＝1−cos2β＝1−90100＝1010，那么sin2β＝2sinβcosβ＝2×1010×31010＝35，cos2β＝1－2sin2β＝1－2×10102＝45，所以cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝7210×45－210×9．已知2sinα＝2sin2α2(1)求sinαcosα＋cos2α的值；(2)已知α∈(0，π)，β∈0，π2，且tan2β－6tanβ＝1，求α解：(1)由已知得2sinα＝－cosα，所以tanα＝－12，则sinαcosα＋cos2α＝sinαcos(2)由tan2β－6tanβ＝1，可得tan2β＝2tanβ1−tan2β＝－13，则tan(α因为β∈0，π2，所以2又tan2β＝－13＞－33，则2β∈因为α∈(0，π)，tanα＝－12＞－33，则α∈5π6，π，则α＋2β∈5π10．(数学与生活)所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，余弦相似度为向量OA，OB夹角的余弦值，记作cos(A，B)，余弦距离为1－cos(A，B)．已知P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，R(cosα，－sinα)，若P，Q的余弦距离为13，Q，R的余弦距离为12，则tanαA．17 B．C．4 D．7A解析：由OP＝(cosα，sinα)，OQ＝(cosβ，sinβ)，OR＝(cosα，－sinα)，得cos(P，Q)＝OP·OQOPOQ＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(cos(Q，R)＝OQ·OROQOR＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(所以1−cosα−β则cosα−βcosα+β＝cosαcosβ+sinαsinβcos11．(2024·1月九省适应性测试)已知θ∈3π4，π，tan2θ＝－4tanθ+A．14 B．C．1 D．3A解析：由tan2θ＝－4tanθ+π得2tanθ1−tan2θ＝−4tan即(2tanθ＋1)(tanθ＋2)＝0，解得tanθ＝－2或tanθ＝－12因为θ∈3π4，π，所以tanθ∈(－1，0)，所以tan故1+sin2θ2cos2θ+sin2θsin2故选A．12．(多选题)(2024·武汉模拟)下列结论正确的是()A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)B．315sinx＋35cosx＝35sinx+C．f(x)＝sinx2＋cosx2D．sin50°(1＋3tan10°)＝1CD解析：对于A，左边＝－[cos(α－β)·cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A错误；对于B，315sinx＋35cosx＝65·32sinx+12对于C，f(x)＝sinx2＋cosx2＝2sin所以f(x)的最大值为2，故C正确；对于D，由sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°·1+3×sin10°cos10°＝sin50°·cos10°+13．如图，在平面直角坐标系Oxy中，顶点在坐标原点，以x轴的非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝55，点B的横坐标是－7(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解：(1)由题意知，OA＝OM＝1，则有S△OAM＝12OA·OM·sinα＝55，解得sinα又α为锐角，则cosα＝1−sin2α因为钝角β的终边与单位圆O的交点B的横坐标是－7210，则cosβ＝－7210，sinβ＝所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝55×−7210＋25(2)由(1)知sinα＝255，cosα＝55，sinβ＝210，cos则sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝255×−7210－5从而sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sinαcos(α－β)＋cosαsin(α－β)＝255×−1010＋55因为α为锐角，sinα＝255＞22，则有α∈π又β∈π2，π，因此2α－β∈−π2，π14．已知△ABC不是直角三角形，且在△ABC中，sinAsinBsin(C－θ)＝λsin2C，其中tanθ＝34(1)若tanC＝2，λ＝1，求1tanA＋(2)是否存在λ，使得1tanA＋1tanB＋2解：(1)由tanθ＝340＜θ＜π2，可得sinθ由λ＝1，得sinAsinBsin(C－θ)＝sin2C，则sinAsinB·45sinC−35cosC＝sin2所以sinAsinB＝tanCsinC所以1tanA＋1tanB＝cosAsinA