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文档简介
课时质量评价(二十三)1.(2024·海口模拟)若tanα·tanβ=2,则cosα−βA.-3 B.-13C.13 A解析:由题意,得cosα−βcosα+β=cosαcos2.在单位圆中,已知角α的终边与单位圆交于点P12,32,现将角α的终边按逆时针方向旋转π3,记此时角αA.−32C.(1,0) D.(0,1)B解析:由三角函数的定义知,sinα=32,cosα=12,将角α的终边按逆时针方向旋转π3所得的角为α+π3,故点Q的横坐标为cosα+π3=cosαcosπ3点Q的纵坐标为sinα+π3=sinαcosπ3+cosαsinπ3=323.(数学与文化)公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时,发现了黄金分割约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin18°.若4m2+n=16,则mnA.1 B.2C.4 D.8C解析:因为m=2sin18°,由4m2+n=16,可得n=16-4(2sin18°)2=16cos218°,所以mn2cos2274.已知α,β∈π3,5π6,若sinα+π6=45,cosβ−5A.1665C.5665A解析:由题意可得α+π6∈π2,π,β-5π6∈−π2,所以sin(α-β)=-sinα+π6−β−5π6=-45×5.(多选题)(2024·合肥模拟)下列计算结果正确的是()A.cos(-15°)=6B.sin15°sin30°sin75°=1C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)·sin(25°+α)=-1D.2sin18°cos36°=1BD解析:对于A,cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=6+对于B,sin15°sin30°sin75°=sin15°sin30°·cos15°=12sin15°cos15°=14sin30°=对于C,cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)·sin(25°+α)=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos60°=12对于D,2sin18°cos36°=2cos72°cos36°=2×sin144°2sin72°×sin72°6.sin12°2cos18解析:因为sin12°2cos212°−17.(2024·威海模拟)已知α∈π,3π2,若tanα+π-1010解析:因为α∈π,3π2,则α+π3∈4π3,11π6.又tanα+π3=-2<0,故故cosα+π12=cosα+π3−π4=cosα+π3·cosπ4+sinα+π3sin8.已知sinα=210,cosβ=31010,且α,β为锐角,则α+2βπ4解析:因为sinα=210,且α为锐角,所以cosα=1−sin2α=1−2100=7210.因为cosβ=31010,且β为锐角,所以sinβ=1−cos2β=1−90100=1010,那么sin2β=2sinβcosβ=2×1010×31010=35,cos2β=1-2sin2β=1-2×10102=45,所以cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=7210×45-210×9.已知2sinα=2sin2α2(1)求sinαcosα+cos2α的值;(2)已知α∈(0,π),β∈0,π2,且tan2β-6tanβ=1,求α解:(1)由已知得2sinα=-cosα,所以tanα=-12,则sinαcosα+cos2α=sinαcos(2)由tan2β-6tanβ=1,可得tan2β=2tanβ1−tan2β=-13,则tan(α因为β∈0,π2,所以2又tan2β=-13>-33,则2β∈因为α∈(0,π),tanα=-12>-33,则α∈5π6,π,则α+2β∈5π10.(数学与生活)所谓人脸识别,就是利用计算机检测样本之间的相似度,余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,余弦相似度为向量OA,OB夹角的余弦值,记作cos(A,B),余弦距离为1-cos(A,B).已知P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),R(cosα,-sinα),若P,Q的余弦距离为13,Q,R的余弦距离为12,则tanαA.17 B.C.4 D.7A解析:由OP=(cosα,sinα),OQ=(cosβ,sinβ),OR=(cosα,-sinα),得cos(P,Q)=OP·OQOPOQ=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(cos(Q,R)=OQ·OROQOR=cosαcosβ-sinαsinβ=cos(所以1−cosα−β则cosα−βcosα+β=cosαcosβ+sinαsinβcos11.(2024·1月九省适应性测试)已知θ∈3π4,π,tan2θ=-4tanθ+A.14 B.C.1 D.3A解析:由tan2θ=-4tanθ+π得2tanθ1−tan2θ=−4tan即(2tanθ+1)(tanθ+2)=0,解得tanθ=-2或tanθ=-12因为θ∈3π4,π,所以tanθ∈(-1,0),所以tan故1+sin2θ2cos2θ+sin2θsin2故选A.12.(多选题)(2024·武汉模拟)下列结论正确的是()A.sin(α-β)sin(β-γ)-cos(α-β)cos(γ-β)=cos(α-γ)B.315sinx+35cosx=35sinx+C.f(x)=sinx2+cosx2D.sin50°(1+3tan10°)=1CD解析:对于A,左边=-[cos(α-β)·cos(β-γ)-sin(α-β)sin(β-γ)]=-cos[(α-β)+(β-γ)]=-cos(α-γ),故A错误;对于B,315sinx+35cosx=65·32sinx+12对于C,f(x)=sinx2+cosx2=2sin所以f(x)的最大值为2,故C正确;对于D,由sin50°(1+3tan10°)=sin50°·1+3×sin10°cos10°=sin50°·cos10°+13.如图,在平面直角坐标系Oxy中,顶点在坐标原点,以x轴的非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A,B两点,x轴的非负半轴与单位圆O交于点M,已知S△OAM=55,点B的横坐标是-7(1)求cos(α-β)的值;(2)求2α-β的值.解:(1)由题意知,OA=OM=1,则有S△OAM=12OA·OM·sinα=55,解得sinα又α为锐角,则cosα=1−sin2α因为钝角β的终边与单位圆O的交点B的横坐标是-7210,则cosβ=-7210,sinβ=所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=55×−7210+25(2)由(1)知sinα=255,cosα=55,sinβ=210,cos则sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=255×−7210-5从而sin(2α-β)=sin[α+(α-β)]=sinαcos(α-β)+cosαsin(α-β)=255×−1010+55因为α为锐角,sinα=255>22,则有α∈π又β∈π2,π,因此2α-β∈−π2,π14.已知△ABC不是直角三角形,且在△ABC中,sinAsinBsin(C-θ)=λsin2C,其中tanθ=34(1)若tanC=2,λ=1,求1tanA+(2)是否存在λ,使得1tanA+1tanB+2解:(1)由tanθ=340<θ<π2,可得sinθ由λ=1,得sinAsinBsin(C-θ)=sin2C,则sinAsinB·45sinC−35cosC=sin2所以sinAsinB=tanCsinC所以1tanA+1tanB=cosAsinA
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