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文档简介
第一章
预备知识第一节集合·考试要求·1.了解集合的含义,体会元素与集合间的关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求两个简单集合的并集、交集与补集.能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.
必备知识落实“四基”√2.用列举法表示集合A={(x,y)|(x+2)2+|y-3|=0,x∈R,y∈R}=__________.{(-2,3)}
解析:若(x+2)2+|y-3|=0,则x+2=0且y-3=0,即x=-2,y=3,所以集合A={(-2,3)}.3.已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为______.1或41.集合中元素的三个特性:________、________、________.2.集合的三种表示方法:________、________、________.3.元素与集合的两种关系:属于,记为____;不属于,记为____.4.五个特定的集合及其关系图:N*或N+表示________,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示__________,R表示实数集.确定性无序性互异性列举法描述法图示法∈∉正整数集有理数集知识点二集合间的基本关系1.若集合M={x|x3=x},N={x|x2=1},则下列式子中正确的是(
)A.M=N B.M⊆NC.N⊆M D.M∩N=∅√2.给出下列四个说法:(1)任何一个集合都至少有两个子集;(2){0,2,1}和{0,1,2}是同一个集合;(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1;(4){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}.其中正确说法的个数是(
)A.0 B.1C.2 D.3B
解析:(1)错误,空集只有一个子集.(2)正确.(3)错误,x=1时不满足集合中元素的互异性.(4)错误,{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞).√
1.子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中______________都是集合B中的元素,则称集合A是集合B的子集,记作A____B(或B____A).2.真子集:如果集合A是集合B的______,但集合B中________________不属于集合A,则称集合A是集合B的真子集.3.集合相等:如果A⊆B,并且B⊆A,则________.任意一个元素⊆⊇子集至少有一个元素A=B4.空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为∅.空集是任何集合的______,是任何非空集合的________.子集真子集知识点三集合的基本运算1.已知集合M={1,2},N={3,4},则M∪N=(
)A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}√2.(教材改编题)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},则A∩B=___________.3.设全集U={x∈N*|x<9},集合A={3,4,5,6},则∁UA=_____________.4.(教材改编题)设全集为R,集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则∁R(A∪B)=_________________,(∁RA)∩B=________________________.{x|1<x<2}{1,2,7,8}{x|x≤2,或x≥10}{x|2<x<3,或7≤x<10}1.交集:一般地,由______属于集合A____属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩B,即A∩B=_________________.2.并集:一般地,由______属于集合A____属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,即A∪B=_________________.3.补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁UA,即∁UA=_________________.所有且{x|x∈A,且x∈B}所有或{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈U,且x∉A}4.集合基本运算的常见性质(1)A∩A=A,A∩∅=∅.(2)A∪A=A,A∪∅=A.(3)A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A.(4)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅.【常用结论】1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个.2.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).应用1已知集合A={x|x2-4x<0,x∈N*},则集合A的真子集的个数为(
)A.3 B.4C.8 D.7D应用2设集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,4},则(∁UA)∩(∁UB)=(
)A.{1} B.{5}C.{2,4} D.{1,2,4,5}B
解析:因为U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,4},所以A∪B={1,2,3,4},所以(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={5}.故选B.
√
核心考点提升“四能”√√√2.已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为(
)A.2 B.3C.6 D.4D
解析:由题意得,A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},所以A∩B中元素的个数为4.√
√
反思感悟解决集合含义问题的关键点(1)确定构成集合的元素.(2)确定元素的限制条件.(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.
集合间的基本关系1.(2024·青岛模拟)设集合A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6z,z∈N*},则(
)A.0∈B B.A⊆BC.B⊆A D.A∩B=AC
解析:对任意x∈B,则存在z∈N*,使得x=6z=3·2z,显然2z∈N*⊆N,因此x∈A;又0∈A,而0∉B,所以B是A的子集也是真子集,四个选项中只有C正确.故选C.√2.(2024·济南模拟)满足条件{2,3}⊆A⊆{1,2,3,4}的集合A有(
)A.6个 B.5个C.4个 D.3个C
解析:因为{2,3}⊆A⊆{1,2,3,4},所以A={1,2,3,4}或{1,2,3}或{2,3,4}或{2,3},共4个.故选C.√
√
反思感悟解决集合间关系问题的注意点(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
集合的运算考向1集合的基本运算【例1】(1)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(
)A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}C.{-2} D.{2}C
解析:因为N={x|x2-x-6≥0}={x|x≥3,或x≤-2},所以M∩N={-2}.故选C.√(2)(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则∁U(M∪N)=(
)A.{x|x=3k,k∈Z}B.{x|x=3k-1,k∈Z}C.{x|x=3k-2,k∈Z}D.∅√A
解析:(方法一:列举法)因为M={…,-2,1,4,7,10,…},N={…,-1,2,5,8,11,…},所以M∪N={…,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,…},所以∁U(M∪N)={…,-3,0,3,6,9,…},其元素都是3的倍数,即∁U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z}.故选A.(方法二:描述法)集合M∪N表示被3除余1或2的整数集,则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集.故选A.反思感悟集合的基本运算的解题策略(1)看元素组成.从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提.(2)对集合化简.先化简集合再研究其关系并进行运算,可使问题变得简单明了,易于解决.(3)数形结合思想的应用.常用的数形结合形式有:数轴、坐标系和Venn图.考向2利用集合的运算求参数的值或范围【例2】(1)已知集合A={x|x>2,或x<-4},B={x|x<a}.若A∪B=R,则a的取值范围为(
)A.[-4,+∞) B.(-4,+∞)C.[2,+∞) D.(2,+∞)D
解析:因为集合A={x|x>2,或x<-4},B={x|x<a},如图所示,要使A∪B=R,则有a>2.故选D.√
√反思感悟利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.(2)若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.提醒:在求出参数后,注意结果的验证(满足集合中元素的互异性).1.(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=(
)A.{-1,2} B.{1,2}C.{1,4} D.{-1,4}B
解析:B={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2},故A∩B={1,2}.故选B.√2.(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=(
)A.∁U(M∪N) B.N∪∁UMC.∁U
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