导数的几何意义及四则运算

复习1.点导数的定义函数的改变量与自变量改变量的比值，特点：当自变量的增量趋于零时的极限.如：要是存在，等于12.导函数定义3.点导数与导函数的关系即点导数是导函数在点处的函数值.4.主要用来讨论分段函数在分界点的可导问题.作用：5.求导公式2四、导数的几何意义1.导数的几何意义：是y=f(x)在点处切线的斜率.即切线斜率若切线倾角为则可导一定有切线切线不垂直于x轴.32.可导的几何意义：y=f(x)在x0处可导,即曲线y=f(x)在(x0,f(x0))存在不垂直于x轴的切线.答案：不一定.如：3.应用切线方程法线方程在不可导，但有切线.在不可导，也无切线问题：如果y=f(x)不可导，是否没有切线呢？44.例题例1在点M(1,1)处的切线方程求等边双曲线1xy=解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为即即和法线方程.5例2问曲线上哪一点处的切线与直线平行？解已知直线的斜率根据两条直线平行的条件，所求切线的斜率也等于3.由导数的几何意义知，的导数由题意得：则得：于是曲线上点平行.处的切线与直线6五、可导与连续的关系定理：凡可导函数都是连续函数.证注意:即：不连续一定不可导.该定理的逆定理不成立.但逆否命题成立.即：连续不一定可导.如：在处连续而不可导.7在处可导在处连续，在处的极限一定存在，即存在.可导与连续的关系是：可导必连续，连续不一定可导，必不可导.不连续8例3解在x=0的连续性与可导性.在处不可导.9六、物理意义：非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:位移对时间的导数为物体的瞬时速度.交流电路:电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.101.导数的几何意义:切线的斜率;2.函数可导一定连续，但连续不一定可导;3.求导数最基本的方法:由定义求导数.4.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.小结不连续一定不可导.应用在求切线，法线方程等.11一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1设函数及都在点x处可导，且其导数为则处可导，也在证即：其中为常数.§2-4求导法则12若则若则若则例1已知求解13例2已知求解例3已知求解表明：次多项式的导数是次多项式.14且其导数为则有处可导，在为常数，也可简写为证明（略）定理2设函数都在点处可导，15定理3处可导，且其导数为设函数及都在点则处可导，也在证16由已知知，在点可导，必在点连续.所以17例4求的导数解推广：18定理4且其导数为则处可导，在也可简写为特殊地：若u=1,(其中)且设函数及都在点处可导，19同理可得例5解即20同理可得即例6解如：是否有呢？证说明：对于负整数也是成立的.21二、反函数的求导法则定理且内也单调、连续且可导，有如果函数在某区间I内单调、可导，y那么它的反函数在对应区间Ix证于是有任取给一个增量且由的单调性可知，连续，又知即即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.22解同理可得例1求函数的导数.在内单调可导.且23小结注意2:求导法则的成立是有条件的.注意3:注意1:分段函数求导时，分界点处的导数用左右导数