第2节等差数列-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

第2节等差数列高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.理解等差数列与一次函数的关系.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理1.等差数列的有关概念

定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于

,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的

,通常用字母d表示.定义表达式为

等差中项若三个数a,A,b组成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且有2A=

同一个常数

公差an+1-an=d(n∈N*,d为常数)a+b微点拨1.在等差数列{an}中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项,即{an}成等差数列⇔an+1+an-1=2an(n∈N*,n≥2).2.任何两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.证明一个数列是等差数列的“等差中项法”2.等差数列的有关公式

公差d的几何意义是点(1,a1),…,(n,an)所在直线的斜率

微思考1.在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?2.等差数列前n项和公式是如何推导的?这种方法通常称为什么方法?提示

an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中,an=kn+b(k,b∈R),当k=0,即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数.3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+

(m,n∈N*).

(2)若{an}是等差数列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.

但若am+an=ap+aq,却不一定有m+n=p+q特别地,当m+n=2p时,am+an=2ap.ap为am和an的等差中项

(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为

的等差数列.

在等差数列中下标成等差的

项组成的新数列仍为等差数列(n-m)dmd(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是

数列.

(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列

是

数列.

误区警示等差数列{an}中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列,即数列的片断和成等差数列,注意不是Sm,S2m,S3m,…构成等差数列.等差

等差

常用结论1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(p,q∈R),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.2.若数列{an}的前n项和为Sn,则数列{an}为等差数列的充要条件是Sn=an2+bn(a,b∈R).自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(

)2.在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap.(

)3.等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(

)4.“数列{an}为等差数列”的充要条件是“数列{an}的通项公式是关于n的一次函数”.(

)××√×题组二回源教材5.(人教A版选择性必修第二册4.2.2节例8改编)某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,则该剧场总共的座位数为

.

820个

解析

设第n排的座位数为an(n∈N*),数列{an}为等差数列,其公差d=2,则an=a1+(n-1)d=a1+2(n-1).由已知a20=60,得60=a1+2×(20-1),解得a1=22,则剧场总共的座位数为

=820个.6.(人教A版选择性必修第二册习题4.2第6题改编)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=5,b1=15,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100项的和为

.

6000

解析

依题意{an+bn}为等差数列,其首项a1+b1=5+15=20.又a100+b100=100,所以{an+bn}前100项的和为

=6

000.7.(人教B版选择性必修第三册5.2.2节练习B第4题改编)已知一个凸n边形内角的度数按从小到大构成等差数列,且最小角为40°,公差为20°,则n=

.

3解析

根据凸n边形内角和以及等差数列的前n项和公式可知n·40°+

20°=(n-2)·180°,整理得(n-3)(n-12)=0,∴n=3或n=12.当n=12时,最大的内角为40°+11×20°=260°>180°,故舍去;当n=3时,最大的内角为40°+2×20°=80°<180°,符合实际情况,∴n=3.题组三连线高考8.(2022·全国乙,文13)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=

.

2解析

设等差数列的公差为d.由题意得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,即3d=6,解得d=2.9.(2020·全国Ⅱ,理4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(

)A.3699块 B.3474块C.3402块 D.3339块C解析

由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为{an}.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为{an}为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=27×9+9=3

402.故选C.2研考点精准突破考点一等差数列的基本量运算(多考向探究预测)考向1求解等差数列的基本量例1(1)(2024·山东聊城模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5=5,a1+S11=67,则a3a10是{an}中的(

)A.第30项 B.第36项 C.第48项 D.第60项A解析

设等差数列{an}的公差为d,由a5=5,得a1+4d=5;①由a1+S11=67,得12a1+d=67,即12a1+55d=67.②由①②解得a1=1,d=1,所以an=n,于是a3a10=3×10=30,而a30=30,故a3a10是{an}中的第30项.故选A.(2)(2024·湖南张家界模拟)已知{an}是各项均为正数的等差数列,其公差d≠0,若ln

a1,ln

a3,ln

a6也是等差数列,则其公差为(

)D(3)(2024·福建福州模拟)“二十四节气”是上古农耕文明的产物,它是上古先民顺应农时,通过观察天体运行,认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度,日晷长即为所测量影子的长度,二十四个节气及日晷长变化如图所示,相邻两个节气日晷长的变化量相同,冬至日晷长最长,夏至日晷长最短,周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中立春到夏至的日晷长的和为(

)A.58.5尺 B.59.5尺C.60尺

D.60.5尺C解析

设冬至日晷长为a1,小寒日晷长为a2,以此类推芒种日晷长为a12,因此a1=13.5,a12=2.5,设从冬至到夏至过程中,日晷长的变化量为d,则2.5=13.5+(12-1)d,解得d=-1,立春日晷长为a4=13.5+3×(-1)=10.5,夏至日晷长为a13=13.5+12×(-1)=1.5,所以一年中立春到夏至的日晷长的和为[对点训练1](2023·全国乙,文18)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.考向2两个等差数列的公共项问题例2(2020·新高考Ⅰ,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为

.

3n2-2n

解析

(方法一

观察归纳法)数列{2n-1}的各项为1,3,5,7,9,11,13,…;数列{3n-2}的各项为1,4,7,10,13,….观察归纳可知,两个数列的公共项为1,7,13,…,是首项为1,公差为6的等差数列,则an=1+6(n-1)=6n-5.故前n项和(方法二

不定方程法)令bn=2n-1,cm=3m-2,bn=cm,则2n-1=3m-2,即3m=2n+1,m必为奇数.令m=2t-1(t=1,2,3,…),则n=3t-2.at=b3t-2=c2t-1=6t-5,即[对点训练2](多选题)(2024·山东德州模拟)我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数之剩二,问物几何?”根据这一数学思想,所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an},所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn},把{an}和{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},则下列结论中错误的有(

)A.a3+b5=c3 B.b28=c10C.a5b2>c8 D.c9-b9=a26ACD

解析

根据题意,数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,an=2+3(n-1)=3n-1,数列{bn}是首项为2,公差为5的等差数列,bn=2+5(n-1)=5n-3,数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},故数列{cn}是首项为2,公差为15的等差数列,cn=2+15(n-1)=15n-13.对于A,a3+b5=(3×3-1)+(5×5-3)=30,c3=15×3-13=32,a3+b5≠c3,故A错误;对于B,b28=5×28-3=137,c10=15×10-13=137,b28=c10,故B正确;对于C,a5=3×5-1=14,b2=5×2-3=7,c8=15×8-13=107,a5b2=14×7=98<107=c8,故C错误;对于D,c9=15×9-13=122,b9=5×9-3=42,a26=3×26-1=77,c9-b9=122-42=80≠77=a26,故D错误.故选ACD.考点二等差数列的判定与证明例3(2021·全国甲,理18改编)已知数列{an}的各项均为正数,且a2=3a1,记Sn为{an}的前n项和.从下面①②中选取其中一个作为条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列.解

选①作条件证明②:因为a2=3a1,{an}是等差数列,所以公差d=a2-a1=2a1,所以选②作条件证明①:当n=1时,a1=S1=(b+c)2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(bn+c)2-(bn-b+c)2=b(2bn-b+2c);当c=0时,a1=b2,an=b2(2n-1),当n≥2时,an-an-1=2b2满足等差数列的定义,此时{an}为等差数列;n=1时,满足上式,故{an}的通项公式为an=(2n-1)a1,所以an-1=(2n-3)a1,an-an-1=2a1,所以数列{an}是等差数列.考点三等差数列的性质及其应用(多考向探究预测)考向1等差数列项的性质例4(1)(2023·全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=(

)A.25 B.22

C.20

D.15C解析

(方法一

基本量法)设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,依题意可得,a2+a6=a1+d+a1+5d=10,即a1+3d=5,又a4a8=(a1+3d)(a1+7d)=45,解得d=1,a1=2,所以S5=5a1+d=5×2+10=20.(方法二

应用项的性质)a2+a6=2a4=10,a4a8=45,所以a4=5,a8=9,从而d==1,于是a3=a4-d=5-1=4,所以S5=5a3=20.(2)(2024·河北邢台模拟)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1-3b1=4,a6-3b6=9,则a2022-3b2022=

.

2025

解析

因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以{an-3bn}是等差数列.设{an-3bn}的公差为d,又a1-3b1=4,a6-3b6=9,所以5d=a6-3b6-(a1-3b1)=5,解得d=1,所以a2

022-3b2

022=4+2

021=2

025.考向2等差数列前n项和的性质例5(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=18,S3=3,则S6=(

)A解析

由已知S3,S6-S3,S9-S6,即3,S6-3,18-S6成等差数列,所以2×(S6-3)=3+(18-S6),所以S6=9.(2)已知等差数列{an}共有2n+1项,其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则an+1的值为(

)A.30 B.29

C.28

D.27BA(4)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2018,=6,则S20