第2节函数的单调性与最值-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

第2节函数的单调性与最值高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法.2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,会求简单函数的最值.3.能够利用函数的单调性解决有关问题.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义单调性增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈Ix1,x2的取值具有任意性且属于同一区间当x1<x2时,都有

,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,就称它是增函数

当x1<x2时,都有

,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,就称它是减函数

f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)单调性增函数减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的微点拨函数单调性定义的等价形式

(2)单调性、单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上

或

,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的

.

微思考“函数f(x)的单调递增区间是M”与“函数f(x)在区间M上单调递增”的含义相同吗?提示

不相同.“函数f(x)的单调递增区间是M”是指函数f(x)的单调递增区间恰好是M,在其他的区间上f(x)不是单调递增的;而“函数f(x)在区间M上单调递增”是指函数f(x)在区间M以外的区间或包含M的更大区间上也可能是单调递增的.单调递增

单调递减单调区间2.函数的最值

前提设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D,都有

;

(2)∃x0∈D,使得

函数的最值一定是某个自变量对应的函数值(3)∀x∈D,都有

;

(4)∃x0∈D,使得

结论M是y=f(x)的最大值

最大值是所有函数值中最大的一个M是y=f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M微点拨1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.2.开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.微思考已知函数f(x)=,对于∀x∈{x|x≠0}都有f(x)>0,能否认为f(x)=的最小值为0?提示

不能.尽管f(x)>0,但不存在x∈{x|x≠0}使得f(x)=0,所以不能说f(x)=的最小值为0.常用结论1.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质:(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数;(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;(5)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,若两者都恒大于0,则f(x)g(x)是增(减)函数;若两者都恒小于0,则f(x)g(x)是减(增)函数.3.复合函数的单调性:对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解为y=f(u)和u=g(x),则有:u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=f(g(x))增减减增自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若函数f(x)在R上单调递减,则f(1)>f(2).(

)2.若函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递增,则f(1)<f(3).(

)3.函数f(x)=的单调递减区间是(-∞,1)∪(1,+∞).(

)4.若函数f(x)在[1,6]上的最小值是f(6),则f(x)在[1,6]上单调递减.(

)√×××题组二回源教材5.(人教A版必修第一册3.2.1节例5改编)已知函数f(x)=,x∈[2,6],则函数的最大值是

,最小值是

.

20.4解析

因为函数f(x)=在区间[2,6]上单调递减,所以,函数f(x)=在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值与最小值.在x=2时取得最大值,最大值是2;在x=6时取得最小值,最小值是0.4.6.(人教B版必修第一册3.1.2节练习B第1题)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],且在区间[-1,2]上单调递增,在区间[2,5]上单调递减,那么下列说法中,一定正确的是

.

(1)f(0)<f(2);(2)f(3)>f(2);(3)f(x)在区间[-1,5]上有最大值,而且f(2)是最大值;(4)f(0)与f(3)的大小关系不确定;(5)f(x)在区间[-1,5]上有最小值;(6)f(x)在区间[-1,5]上的最小值是f(5).(1)(3)(4)(5)解析

∵函数f(x)在区间[-1,2]上单调递增,∴f(0)<f(2),故(1)正确.∵函数f(x)在区间[2,5]上单调递减,∴f(3)<f(2),故(2)错误.∵函数f(x)在区间[-1,2]上单调递增,在区间[2,5]上单调递减,∴函数f(x)在区间[-1,5]上有最大值,也有最小值,且f(2)是最大值,f(-1)或f(5)是最小值,故(3)(5)正确,(6)不一定正确.而f(0)与f(3)的大小不确定,故(4)正确.题组三连线高考7.(2023·新高考Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是(

)A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)D8.(2020·新高考Ⅱ,7)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围是(

)A.(-∞,-1] B.(-∞,2]C.[2,+∞) D.[5,+∞)D解析

由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1,所以函数定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞),又因为函数y=x2-4x-5在(2,+∞)上单调递增,由复合函数单调性可得函数f(x)的单调递增区间是(5,+∞),而f(x)在(a,+∞)单调递增,所以a≥5,故选D.2研考点精准突破考点一函数单调性的判断与证明例1利用单调性的定义证明:函数f(x)=+2x-1在区间(-∞,0)上单调递增.[对点训练1](2024·山东德州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,有f(x)<0,则不等式f(5-x2)+f(3x-x2)<0的解集为(

)B解析

由f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0,可得f(0)=2f(0),f(0)=0.由于函数f(x)的定义域为R,令y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)<0,所以f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,即f(x1)>f(x2),因此函数f(x)在R上为减函数.由f(5-x2)+f(3x-x2)<0可得f(5-x2+3x-x2)<f(0),则5-x2+3x-x2>0,整理得2x2-3x-5<0,解得-1<x<,故选B.考点二求函数的单调区间例2(1)(2024·四川成都模拟)已知函数f(x)=ax+1在R上单调递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为(

)A.(-2,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,2) D.(-∞,-2)C解析

由函数f(x)=ax+1在R上单调递减,可知a<0,所以函数g(x)=a(x2-4x+3)图象开口向下,对称轴为直线x=2,因此g(x)在(-∞,2)上单调递增,故选C.(2)(2024·湖北宜昌模拟)函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是(

)A.[1,2] B.[-1,0]C.(0,2] D.[2,+∞)A解析

当x≤2时,f(x)=-x2+2x,则f(x)在区间(-∞,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减;当x>2时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,所以f(x)=|x-2|x的单调递减区间是[1,2],故选A.(3)(2024·江苏南通模拟)设函数f(x)=-x2+2x+8,g(x)=logax(0<a<1),则函数y=g(f(x))的单调递减区间为(

)A.(-∞,1) B.(-2,1)C.(1,+∞) D.(1,4)B解析

依题意,g(f(x))=loga(-x2+2x+8),则-x2+2x+8>0得-2<x<4,即函数y=g(f(x))的定义域为(-2,4),显然函数f(x)在区间(-2,1)上单调递增,在区间(1,4)上单调递减,而g(x)=logax(0<a<1)在区间(0,+∞)上单调递减,因此函数y=g(f(x))在区间(-2,1)上单调递减,在区间(1,4)上单调递增,所以函数y=g(f(x))的单调递减区间为(-2,1),故选B.考点三函数单调性的应用(多考向探究预测)考向1利用单调性比较大小例3(2024·黑龙江绥化模拟)若正数a,b满足2a-4b=log2b-log2a,则a与2b大小关系为

.

a<2b

解析

因为2a-4b=log2b-log2a,所以2a+log2a=4b+log2b=22b+log2b+log22-1=22b+log22b-1.设f(x)=2x+log2x(x>0),则f(a)=f(2b)-1,所以f(a)<f(2b),又因为y=2x与y=log2x在区间(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=2x+log2x在区间(0,+∞)上单调递增,所以a<2b.[对点训练2](2024·江苏徐州模拟)已知函数f(x)=2x+x3,记a=f(log0.32),b=f(20.3),c=f(0.32),则(

)A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<bB解析

因为y=2x,y=x3在x∈R上单调递增,所以f(x)=2x+x3在x∈R上单调递增,又log0.32<log0.31=0,1=20<20.3<21=2,0<0.32=0.09<1,所以f(log0.32)<f(0.32)<f(20.3),所以a<c<b,故选B.考向2利用单调性解函数不等式

A[对点训练3](2024·山东潍坊模拟)已知函数,若f(a-2)>3,则实数a的取值范围是

.

(0,1)

考向3利用单调性求参数的取值范围例5(1)(2024·湖北武汉模拟)已知f(2x)=|x-a|,