第2节平面向量基本定理及向量坐标运算-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

第2节平面向量基本定理及向量坐标运算高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个

向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=

.若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个

.

零向量不能作为基底

微点拨给定基底,同一向量的分解结果是唯一的,因此若{e1,e2}是基底,且a=λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2,则必有λ1=λ2,μ1=μ2.不共线

λ1e1+λ2e2

基底

2.平面向量的坐标运算

当向量用坐标表示时,其加法、减法、数乘运算的法则

运算坐标表示(设a=(x1,y1),b=(x2,y2))加法a+b=(x1+x2,y1+y2)

向量与坐标之间用等号连接减法a-b=(x1-x2,y1-y2)数乘λa=(λx1,λy1),其中λ∈R已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).

3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔

.

微思考若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是

吗?x1y2-x2y1=0常用结论

自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.平面内的任何两个非零向量都可以作为一组基底.(

)2.同一向量在不同基底下的表示是相同的.(

)3.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.(

)4.一个平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(

)××√√题组二回源教材5.(人教B版必修第二册173页习题6-2A第3题改编)已知a=(1,2),b=(2,3),实数x,y满足等式xa+yb=(3,4),则x+y=

.

解析

由题意,xa+yb=x(1,2)+y(2,3)=(x,2x)+(2y,3y)=(x+2y,2x+3y)=(3,4),所16.(人教A版必修第二册6.3.3节例5)如图,已知▱ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),求顶点D的坐标.所以顶点D的坐标为(2,2).题组三连线高考

A8.(2021·全国乙,文13)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=

.

2研考点精准突破考点一平面向量基本定理的应用DBC

D解析

过点F作FN平行于BC,交BE于点M,交AB于点N.因为DF=FC,则F为DC的中点,D考点二平面向量的坐标运算例2(1)(2024·山东烟台模拟)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于(

)A.(1,-1) B.(-1,1)C.(-4,6) D.(4,-6)D解析

因为4a,3b-2a,c对应有向线段首尾相接,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).3[对点训练2](1)(2024·安徽合肥模拟)已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为(

)A.-2,1 B.1,-2C.2,-1 D.-1,2D解析

因为c=λ1a+λ2b=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2)=(3,4),所以(2)在△ABC中,顶点A的坐标为(3,1),边BC的中点D的坐标为(-3,1),则△ABC的重心坐标为

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(-1,1)考点三向量共线的坐标表示(多考向探究预测)考向1利用向量共线求参数例3(2024·广东茂名模拟)已知向量a=(-1,2),b=(3,λ),若a+2b与2a-b平行,则实数λ的值为(

)D解析

因为a=(-1,2),b=(3,λ),所以a+2b=(5,2+2λ),2a-b=(-5,4-λ).又a+2b与2a-b平行,所以5(4-λ)=-5(2+2λ),解得λ=-6.考向2利用向量共线求向量或点的坐标例4已知点A(-1,1),B(1,3),C(2,2),若点M在线段AC上,且BM=2,则点M的坐标为

.

变式探究1(变结论)本例中,若已知条件不变,则在线段AC上是否存在点M,使得BM=4?解

由例4的解答过程,假设在线段AC上存在点M,使得BM=4,故线段AC上不存在点M,使得BM=4.变式探究2(变结论)本例中,已知条件不变,若O为坐标原点,试求直线OB与直线AC的交点P的坐标.

AD(2)(2024·江苏南通模拟)已知向量a=(3,1),b=(1,-2),且(a-b)∥(a+λb),则实数λ=

.

-1解析

因为a=(3,1),b=(1,-2),所以