4积分及其应用

不定积分的概念和性质(2)4.1

不定积分的积分方法(21)4.2

定积分的概念和性质(41)4.3

定积分的计算(64)4.4

目录第四章积分及其应用

反常积分(78)4.5

应用与实践(89)4.64.1不定积分的概念和性质

微分学的基本问题：即已知一个函数

,求它的导数

相反问题：即已知某函数的导数，求原来的函数,这就是原函数与不定积分问题．4.1不定积分的概念和性质一、不定积分的概念

设在区间内的有定义，如果存在函数

，使对于任意的，都有则称是函数在上的一个原函数．4.1不定积分的概念和性质一、不定积分的概念

一个函数如果有原函数，那么它的原函数有几个？?结论：1．如果函数有一个原函数，则就有无穷多个原函数，且任何两个原函数之间仅差一个常数．

2．如果函数是的一个原函数，则也是的原函数，且的所有原函数都具有的形式（C为任意常数）。4.1不定积分的概念和性质任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量原函数与不定积分的关系：

【定义2】如果函数是

一个原函数，则称的全体原函数（为任意常数)为的不定积分，记作,，即一、不定积分的概念【例１】一、不定积分的概念计算下列不定积分解(1)(2)4.1不定积分的概念和性质“导数”与“积分”有下述转化关系:

4.1不定积分的概念和性质二、基本积分公式启示能否根据求导公式得出积分公式？结论根据原函数与不定积分的关系：及导数基本公式可得到对应的不定积分基本公式.4.1不定积分的概念和性质二、基本积分公式

基本积分表

导数公式2.；；；1.(为常数)；3.；；4.；；

5.；；

；；4.1不定积分的概念和性质二、基本积分公式

6.；；9.；；10.；；4.1不定积分的概念和性质二、基本积分公式

写出下列等式右边的表达式4.1不定积分的概念和性质

写出下列等式右边的表达式4.1不定积分的概念和性质【例2】求

【注意】当被积函数是用分式或根式的形式表示的幂函数时，应先将它化成

的形式，然后再应用幂函数的积分公式求不定积分．解4.1不定积分的概念和性质【例3】求解【例4】求解4.1不定积分的概念和性质三、不定积分的性质性质1

性质2

【例5】求

解

【注意】分项积分后，每个不定积分的结果都应有一个积分常数，但两个任意常数之和仍是任意常数，因此最后结果只要写一个任意常数即可．4.1不定积分的概念和性质【例6】求解【例7】求解4.1不定积分的概念和性质【例8】求解

直接积分法：对被积函数进行适当的恒等变形和化简后，再利用积分公式和性质直接求出不定积分的方法。4.1不定积分的概念和性质【例9】求解

【注意】

检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数.若相等，积分结果是正确的，否则就是错误的.例如，要检查例9的结果是否正确，只需计算就可以确定计算结果一定是正确的．4.1不定积分的概念和性质

【案例1】（资本积累总量）某投资集团准备用现有资金投资一个项目，经过反复论证，其资本形成速度为

(单位：万元/年)．如果原始资本积累为100（万元），试求资本总量函数及８年后的资本积累总量．

解设资本积累的总量函数为，则，故得4.1不定积分的概念和性质4.1不定积分的概念和性质如何求形如4.2不定积分的积分方法

利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性

在积分公式中，所有自变量换成任一(可微)函数后，公式仍成立.

一、换元积分法

【定理1】4.2不定积分的积分方法4.2不定积分的积分方法一、换元积分法

换元积分法：先“凑”成微分式，再作变量置换后求不定积分的方法，也称凑微分法。求积分的一般步骤【例1】求下列不定积分解

令则

于是得即

4.2不定积分的积分方法又如一、换元积分法4.2不定积分的积分方法【例2】求

解

令，则，即，于是得一、换元积分法

4.2不定积分的积分方法【例3】求下列不定积分又如:于是得

解4.2不定积分的积分方法【例4】求令

则即于是得

解4.2不定积分的积分方法

注意：在对变量替换比较熟练后，可以不必写出新设的积分变量，而直接凑微分．例如：凑微分变量代换求积分变量回代此行可不写出来【例5】求下列不定积分4.2不定积分的积分方法

解【例6】求4.2不定积分的积分方法思考:

如何计算?

解【例7】求4.2不定积分的积分方法

解二、分部积分法4.2不定积分的积分方法形如?

显然当被积函数是由两种不同类型函数乘积时，换元积分法不一定有效。如何有效的进行求解二、分部积分法4.2不定积分的积分方法解决思路

利用函数乘积的求导法则，得到积分公式或

这个公式叫作分部积分公式,它的作用在于把不易求的

化为比较容易求出的

来计算.二、分部积分法4.2不定积分的积分方法应用公式的关键是将被积表达式

分成两部分：当一部分选作

，则剩下的部分就是分部积分法的一般步骤：二、分部积分法4.2不定积分的积分方法

【例9】求则积分更难进行（？）若令解：若令二、分部积分法4.2不定积分的积分方法

【例10】求解：令二、分部积分法4.2不定积分的积分方法课堂练习计算下列不定积分二、分部积分法4.2不定积分的积分方法

【例11】求解：令（可不写出）二、分部积分法4.2不定积分的积分方法

【例12】求解：令（此行可不写出）4.2不定积分的积分方法课堂练习计算不定积分思考:4.3定积分的概念和性质复习导入不定积分定积分概念性质计算应用4.3定积分的概念和性质新课引入?我们以前学过图形的面积计算，请大家回想一下，有哪些计算公式？

正方形、矩形、三角形、梯形、圆、椭圆等。4.4定积分的计算新课引入?不规则图形（如图）的面积如何求？4.3定积分的概念和性质4.5反常积分4.3定积分的概念和性质上述图形的面积可归结为下列两个图形的面积之差，即．我们把这类几何图形定义为曲边梯形．4.5反常积分4.3定积分的概念和性质一、两个引例曲边梯形是由连续曲线所围成的平面图形,曲边梯形面积

与三条直线如何求？?4.5反常积分4.3定积分的概念和性质一、两个引例【引例1】曲边梯形的面积abxyoabxyo显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）4.5反常积分4.3定积分的概念和性质一、两个引例【引例1】曲边梯形的面积解决步骤：用分点

把区间[a,b]分成n个小区间第i个小区间的宽度记为

,即(1)分割4.5反常积分4.3定积分的概念和性质一、两个引例【引例1】曲边梯形的面积相应小曲边梯形的面积,即

用以为宽，为高的小矩形的面积近似代替在第i个小区间上任取一点

(2)近似代替4.5反常积分4.3定积分的概念和性质一、两个引例【引例1】曲边梯形的面积(4)取极限令,则(3)求和4.5反常积分4.3定积分的概念和性质一、两个引例【引例1】变速直线运动的路程且设某物体作变速直线运动,已知速度如何计算物体从时刻到时刻所经过的路程？4.5反常积分4.3定积分的概念和性质一、两个引例【引例2】变速直线运动的路程解决步骤：用分点

第i个小区间的长度记为

把时间区间[a,b]分成n个小区间(1)分割4.5反常积分4.3定积分的概念和性质一、两个引例【引例2】变速直线运动的路程(3)求和(2)近似代替(4)取极限,则令4.5反常积分4.3定积分的概念和性质一、两个引例定积分概念的应用2.变速直线运动的路程1.曲边梯形的面积4.5反常积分4.3定积分的概念和性质【定义1】设函数在区间上有定义，在中插入个分点，把区间分成个小区间每个小区间的长度依次为二、定积分的概念4.5反常积分4.3定积分的概念和性质【定义1】在每个小区间上任取一点，作乘积的和式如果和式的极限

存在，则称这个极限值为函数在上的定积分记作，即二、定积分的概念二、定积分的概念积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和4.3定积分的概念和性质4.3定积分的概念和性质二、定积分的概念说明

规定

定积分

只与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关，即有三、定积分的几何意义定积分的值等于曲边梯形面积；(1)(2)定积分的值等于曲边梯形面积的负值.4.3定积分的概念和性质三、定积分的几何意义课堂练习：（答案：12

）1．利用定积分的几何意义计算

．2．利用定积分的几何意义计算

．（答案：）4.3定积分的概念和性质四、定积分的性质性质2性质1推广(k为常数)4.3定积分的概念和性质四、定积分的性质性质3(积分区间可加性)不论相对位置如何，上式均成立．4.3定积分的概念和性质四、定积分的性质性质4在区间上最小值和最大值,则上在区间性质5如果分别是和4.3定积分的概念和性质四、定积分的性质【例1】利用定积分的几何意义，求定积分解曲线

与直线,,、、轴所围成的曲边梯形是以点

为圆心，１为半径的上半圆．半圆的面积为.由定积分的几何意义可得4.3定积分的概念和性质4.4定积分的计算一、微积分基本公式【定理1】

如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则

为书写方便，公式中的通常记为．因此上述公式可写成

在区间上的定积分等于

的某一个原函数在两端点处的函数值之差，一、微积分基本公式求定积分所以，由牛顿——莱布尼茨公式有

解【例1】4.4定积分的计算一、微积分基本公式求定积分

【例2】解4.4定积分的计算一、微积分基本公式求定积分

【例3】解

【思考】求定积分与求不定积分的运算过程有什么异同之处？4.4定积分的计算一、微积分基本公式设，求

【例4】解由定积分对区间的可加性，有4.4定积分的计算二、定积分的换元积分法4.4定积分的计算

设函数在上连续，

满足(1)(2)当从变化到时，单调地从变化到；(3)在上连续．则上式称为定积分的换元公式．【定理２】注意：换元必换限；．二、定积分的换元积分法4.4定积分的计算【例5】；．计算令

且当时，

。所以;当时，解二、定积分的换元积分法4.4定积分的计算【例6】；．计算令

,则

且当时，

。所以;当时，解二、定积分的换元积分法4.4定积分的计算【例7】；．计算解：令,则

,且当时，

。所以当时，二、定积分的分部积分法4.4定积分的计算；．

设函数，在区间上具有连续导数，则或二、定积分的换元积分法4.4定积分的计算【例8】计算解解；．计算【例9】二、定积分的换元积分法4.4定积分的计算【例10】；．计算解二、定积分的换元积分法4.4定积分的计算．

【案例1】（广告销售）某商店利用媒体进行化妆品宣传，在做广告后第

天的化妆品销售变化率为（件／天），求该商店在广告宣传后10天内化妆品的销售量（件）．

解从做广告开始到第10天结束，化妆品的累计销售量为二、定积分的换元积分法4.4定积分的计算

【案例2】收入预测）中国人的收入正在逐年提高．据统计，深圳2002年的人均年收入为21914元。假设这个人均收入正以速度

（单位：元/年）增长,这里是从2002年年底开始算起的年数,估算2009年深圳的人均年收入是多少？

解设第

年深圳的人均年收入为,因

，故由变化率求总改变量，得从2003年到2009这７年间深圳人均年收入的总增长为一、无穷区间上的广义积分4.5广义积分．

?由曲线与轴、轴所“围成”的开口图形的面积A如何求？一、无穷区间上的广义积分4.5广义积分．

基本思想：在上任取一点，先求由与轴、轴及所围成的曲边梯形的面积，即求闭区间上的定积分然后再让，所得的极限即为所求开口图形的面积．我们把称为函数在区间上的广义积分．．4.5广义积分

设函数定义在区间上，任取,如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分，记作，即

这时也称广义积分

收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分

发散．

【定义1】一、无穷区间上的广义积分4.5广义积分类似地，积分称为函数

在区间

上的广义积分．把积分称为函数

在区间

上的广义积分.

如果等式右边的两个积分

都收敛，称等式左边的广义积分收敛；如果等式右边的两个积分至少有一个发散，则称左边的广义积分发散．．一、无穷区间上的广义积分．4.5广义积分一、无穷区间上的广义积分

如果的原函数为，若记则三种无限区间的广义积分可形式上写成用上述记号，省去了极限符号，书写更简便些．但应注意，要始终理解为求极限值．4.5广义积分一、无穷区间上的广义积分．

【例2】求

【例1】求解解．4.5广义积分一、无穷区间上的广义积分

【例3】讨论积分的敛散性解

由定义知，并且有所以广义积分发散4.5广义积分二、无界函数的广义积分．

【定义2】设函数在区间上连续，且

，如果极限存在，则称此极限为函数

在上的广义积分，记作

，即此时也称广义积分收敛．如果上述极限不存在，则称其发散．．4.5广义积分二、无界函数的广义积分类似地定义，．4.5广义积分二、无界函数的广义积分【例4】求

解因为