人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：第二章一元二次函数、方程和不等式

第二章一元二次函数、方程和不等式

『数学文化』一了解数学文化的发展与应用

柯西与柯西不等式

在历史上，有一位数学家叫欧拉，他的徒弟叫拉格朗日，他徒

弟的徒弟叫柯西.这个徒弟的徒弟虽然比不上他，但是还是写了

些东西，做出了一些成就.柯西，出生于巴黎，在数学领域有很

高的建树和造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来称呼,

如柯西不等式、柯西积分公式，他在纯数学和应用数学的功底

是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一

共著作了789篇论文和几本书.

『读图探新』——发现现象背后的知识

1.在日常生活中，购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.2m(含1.2

m)而不超过1.5m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5

m时应买全价票.每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名

时，超过的人数应买儿童票.

图1

2.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还需继续向前滑行一段距离才能停住，

我们称这段距离为“刹车距离”，“刹车距离”是分析事故的重要因素.在一个限

速为40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但最

后还是碰了，事后现场勘查发现甲的刹车距离超过12m,乙的刹车距离超过10m,

又知甲乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:S甲=0.1x

+0.01%2,S乙=0.05x+0.005f.

图2

3.某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确.有一个顾

客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重

量。和。，然后就把两次称得的重量的算术平均数等作为项链的重量来计算.顾

客对这个重量的真实性提出了质疑.

图3

问题1：在图1中，从数学的角度应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？

问题2：在图2中，如何检验甲乙两车有无超速现象？

问题3：在图3中，这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了

呢？

链接：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，我们可以利用相等关系

或不等关系构建方程、不等式等，不等式中通常利用不等符号来表示，如不超过

即为小于等于，超过则为大于.刹车距离与速度有着密切的关系，通过本章学习，

我们可以迅速的判断汽车是否超速及项链重量的真实性问题.

2.1等式性质与不等式性质

第一课时不等关系与不等式

课标要求素养要求

1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关通过运用不等式(组)表示实际问题

系.的不等关系及比较两个实数的大小

2.初步学会作差法比较两个实数的大小.发展数学抽象及数学运算素养.

课前预习知识探究

新知探究

A情境引入

(1)如图，某城市的高楼有高、有矮，有的高度相同.

(2)任意两个实数之间有三种关系：a>b,a=b,a<b.

(3)同号两数的积为正值.

问题通过以上三例我们可以发现在客观世界中，量与量之间的关系有哪些？

提示量与量之间有相等关系与不等关系.

A知识梳理

1.在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系.

2.关于实数a,6大小的比较，有以下基本事实：

如果。一5是正数，那么a>b；如果a—b等于0,那么a=b；

如果a—6是负数，那么也，反过来也对.

这个基本事实可以表示为

a>b=a-b>0

a=b=a—1=0

a<b=a—b<0

3.一般地，Va,bCR,有9十廿三2a0,当且仅当a=b时，等号成立.

拓展深化

『微判断』

l.a不小于b可以表示为a>b.(X)

提示a不小于6应表示为。三。

2.若x—y>0,我们就说x大于y.(J)

3.代数式f+l一定大于代数式2x.(X)

提示Vj?+l-2x=(x—1)2^0,.*.X2+1^2X,故错误.

『微训练』

1.下面列出的不等式中，正确的是()

A.a不是负数，可表示成a>0

B.x不大于3,可表示成x<3

C.机与4的差是负数，可表示成机一4<0

D.x与2的和是非负数，可表示成x+2>0

『解析』a不是负数，可表示成a>0；x不大于3可表示成xW3；机与4的差

是负数，可表示成机一4<0；x与2的和是非负数，可表示成x+2>0.

『答案』C

2.某高速公路对行驶的各种车辆的速度。的最大限速为120km/h,行驶过程中，

同一车道上的车间距d不得小于10m.用不等式(组)表示为()

A.oWl20km/hB.dNlOm

"oW120km/h,

(2.0・120100/11或1三10111D.1

[d^Wm

『解析』两个条件同时成立，需用不等式组表示.

『答案』D

『微思考』

1.当x=3时，x》3成立吗？

提示当x=3时，成立，实际上，工三3的含义是%>3或x=3中有一个成立

时，xN3成立.

2.不等关系与不等式有什么区别？

提示不等关系是量与量之间的关系，而不等式是表示不等关系的式子.

课堂互动题型剖析

题型一用不等式（组）表示不等关系

『例1』某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.

按照生产的要求600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍，写出满

足所有上述不等关系的不等式（组）.

解设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根.

「500x+600yW4000,

根据题意得:

xNO且x@N,

且y£N.

规律方法1.将不等关系表示成不等式（组）的思路

（1）读懂题意，找准不等式所联系的量.

（2）用适当的不等号连接.

（3）多个不等关系用不等式组表示.

2.常见的文字语言与符号语言之间的转换

大于，高于，小于，低于，大于等于，至小于等于，至

文字语言

超过少于少，不低于多，不超过

符号语言><

『训练1J某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000

万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要，

A型汽车至少买5辆，3型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等

式（组）.

解设购买A型汽车和3型汽车分别为x辆、y辆，则

'40x+90yWl000,

x25,

<

声6,

<x,yGN*.

题型二实数(式)的比较大小

『例2』已知a>0,试比较a与(的大小.

.(a—1)(a+1),1

所以当a>l时，----------------->0,有tz>-；

.(。-1)(a+1),1

当a=时，-----------------有a=~；

1a=0,a

.(a—1)(a+1),1

当0<a<l时，~<0,有a<~.

综上，当a>l时，a〉%

当时，a=~；

<7=1a

当0<tz<l时，a<：.

规律方法作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤

第一步：作差并变形，其目标是应容易判断差的符号.

变形有两种情形：

①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.

②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断.

第二步：判断差值与零的大小关系.

第三步：得出结论.

『训练2』已知x<l,试比较x3—1与2X2—2x的大小.

解•；(%3—1)—(2f—2%)=好一2f+2x—1

=(j?—x2)—(x2—2x+l)=x2(x—1)—(x-I)2

=(x—IX%2—x+l)=(x—1)+|，

(1Y3

Vlx—2I+^>0,x—1<0,

-2

.*.(%—1)(%一习+(<0,.'.X3~1<2X2—2X.

题型三不等关系的实际应用

『例3』为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620

本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科

技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人

文类书籍60本.设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出

来，并求有哪些符合题意的组建方案.

解因为组建中型图书角x个，所以组建小型图书角为(30—x)个，

ro<x<3o,xGN*,

则180x+30(30—x)W1900,

box+60(30—x)620.

解这个不等式组得18<x<20.

由于x只能取正整数，

••.X的取值是18,19,20.

当%=18时，30-%=12；

当x=19时，30-%=11；

当x=20时，30—尤=10.

故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，

组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型

图书角10个.

规律方法1.根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关

系，并确定不等号，然后写出不等号两边的代数式.

2.根据实际问题列出不等式(组)，应从是否符合实际意义出发，而不能拘于某一种

形式.

『训练3』在例3的方案中，哪种方案用书籍最少？共用多少本？

解比较3种方案可知当x=18时用书籍最少.共用书籍130X18+90X12=3

420(本).

素养达成逐步落实

一、素养落地

1.通过用不等式（组）表示实际问题的不等关系，提升数学抽象素养，通过作差法比

较两实数的大小，培养数学运算素养.

2.比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了.作差法比较实数的大小一般

步骤是作差一恒等变形一判断差的符号一下结论.作差后变形是比较大小的关键

一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的

形式.

二'素养训练

1.实数x大于回，用不等式表示为（）

A.x<y/1QB.XWA/15

C.x>V10D.G瓜

『答案』C

2.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒3厘米，人跑开的速度是每秒

4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的

长度x（厘米）应该满足的不等式为（）

A.4X2x^l00B.4X2x<100

C.4X2x>100