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文档简介
第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定(第一课时)数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版课前预习011.矩形的定义.有一个角是
的平行四边形叫做矩形.2.矩形的性质定理.(1)矩形的四个角都是
;(2)矩形的对角线
.注:①矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所
有性质;②矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的
.直角
直角
相等
一半
数学九年级上册BS版典例讲练02
(1)如图,在矩形
ABC
D中,已知
AC
交
B
D于点O,∠
A
O
B
=
120°,
A
D=3,则
B
D的长为
.【思路导航】根据矩形的对角线相等且互相平分可得O
A
=
OD,再根据∠
A
O
B
=120°,判断出△
A
OD是等边三角形,根
据等边三角形的性质求出OD,即可得出
B
D的长.6
【点拨】矩形的性质如下:(1)各角相等,均为90°;(2)对
边平行且相等,邻边互相垂直;(3)对角线互相平分且相等;
(4)既是中心对称图形,又是轴对称图形,它有两条对称轴
(分别是对边中点所在的直线).(2)如图,在
Rt
△
ABC
中,∠
ABC
=90°,点D为
AC
的中点.
若∠
C
=55°,则∠
AB
D=
.【思路导航】由直角三角形斜边上的中线的性质得到△
BC
D为
等腰三角形,由等腰三角形的性质和角的互余即可求得答案.35°
【解析】在Rt△
ABC
中,∠
ABC
=90°,点
D
为
AC
的中点,
∴
BD
是Rt△
ABC
斜边上的中线.∴
AD
=
BD
=
CD
.
∴∠
DBC
=
∠
C
=55°.∴∠
ABD
=90°-55°=35°.故答案为35°.【点拨】直角三角形斜边上的中线将直角三角形分为两个等腰
三角形,可利用这一特征求边角关系.
1.矩形的两邻边长度之比为3∶4,对角线的长为10cm
,则周长
为
cm
.2.如图,矩形
ABC
D的对角线
AC
和
B
D相交于点O,过点O的直
线EF分别交
A
D和
BC
于点E,F.若
AB
=2,
BC
=4,则图中阴
影部分的面积为
.28
4
如图,在矩形
ABC
D中,点E,F分别是边
AB
,
C
D上的点,
A
E
=
C
F,连接EF,
B
F,EF与对角线
AC
交于点O,且
B
E=
B
F,
∠
B
EF=2∠
BAC
.
(1)求证:OE=OF;
【思路导航】(1)可以证明△
A
EO和△
C
FO全等,从而得到
OE=OF;也可以证明四边形
A
E
C
F是平行四边形来说明OE=
OF.(2)连接O
B
,求出∠
BAC
的度数,结合勾股定理求出
AB
的长.
(2)解:如图,连接
OB
.
∵
OE
=
OF
,
BE
=
BF
,∴
BO
⊥
EF
.
∴∠
BOE
=90°.∴∠
OEB
+∠
OBE
=90°.由(1),得
OA
=
OC
.
∵四边形
ABCD
是矩形,∴∠
ABC
=90,∴
OB
=
OA
.
∴∠
OAB
=∠
OBA
.
∵∠
BEO
=2∠
BAC
,∴∠
BEO
=2∠
OBE
.
∴2∠
OBE
+∠
OBE
=90°.∴∠
OBE
=30°.∴∠
BAC
=30°.
在Rt△
ABC
中,由勾股定理,得
【点拨】矩形除了具有平行四边形的所有性质外,还有对角线
相等,可以得到四个等腰三角形;直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半是计算或证明题中较为常用的一个性质.
如图,已知矩形
ABC
D的对角线
AC
,
B
D相交于点O,∠
B
O
C
=120°,
AB
=2.(1)求矩形对角线的长;
(2)过点O作OE⊥
A
D于点E,连接
B
E,求
B
E的长.
如图,已知四边形
ABC
D是矩形,E为边
A
D上一点,且∠
CB
D
=∠E
B
D,点
P
为对角线
B
D上一点,
PN
⊥
B
E于点
N
,
PM
⊥
A
D于点
M
.
(1)求证:
B
E=DE;(2)试判断
AB
和
PM
,
PN
的数量关系,并说明理由.【思路导航】(1)由矩形的性质得出∠
A
D
B
=∠
CB
D,由已
知条件∠
CB
D=∠E
B
D,证出∠
A
D
B
=∠E
B
D,即可得出结
论;(2)延长
MP
交
BC
于点Q,先由角平分线的性质得出
P
Q
=
PN
,再由
AB
=
M
Q即可得出结论.(1)证明:∵四边形
ABCD
是矩形,∴
AD
∥
BC
.
∴∠
ADB
=∠
CBD
.
∵∠
CBD
=∠
EBD
,∴∠
ADB
=∠
EBD
.
∴
BE
=
DE
.
(2)解:
PM
+
PN
=
AB
.
理由如下:延长
MP
交
BC
于点
Q
,如图所示.∵
AD
∥
BC
,
PM
⊥
AD
,∴
PQ
⊥
BC
.
又∵∠
CBD
=∠
EBD
,
PN
⊥
BE
,∴
PQ
=
PN
.
∴
AB
=
MQ
=
PM
+
PQ
=
PM
+
PN
.
【点拨】等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰
上的高,这一结论在选择填空题中可直接使用,在解答题中需
要用等面积法或截长补短法证明.
如图,在矩形
AB
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