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文档简介
10.3.1古典概型(2)2.古典概型的概率计算公式:一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率
1.古典概型特征:(1)
:样本空间的样本点只有
个;(2)
:每个样本点发生的可能性
.复习引入例1:抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.(1)写出这个试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型;
样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}.共有36个样本点.由于骰子的质地均匀,所有各个样本点出现的可能性相等,因此这个试验是古典概型.m\n解:用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m,数字n表示Ⅱ号骰子出现点数是n,则用(m,n)表示这个试验的一个样本点.列表:例题列表法课本235页例2:抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.(1)写出这个试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型;
样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}.共有36个样本点.由于骰子的质地均匀,所有各个样本点出现的可能性相等,因此这个试验是古典概型.另解:用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m,数字n表示Ⅱ号骰子出现点数是n,则用(m,n)表示这个试验的一个样本点.树状图:123456122345613234561423456152345616234561树状图法课本235页例2:抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
m\n(2)求下列事件的概率:
A=“两个点数之和是5”;
解:课本235页例2:抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
m\n(2)求下列事件的概率:
B=“两个点数相等”;
解:课本235页例2:抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
m\n(2)求下列事件的概率:
C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.解:课本235页思考5:在上例中,为什么要把两枚骰子标上记号?如果不给两枚骰子标记号,会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?不记号,则不能区分抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子,如(1,2)和(2,1)的结果将无法区别.不记号时,试验的样本空间Ω1={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6},且m≤n},则n(Ω1)=21.其中,事件A=“两个点数之和是5”的结果变为A={(1,4),(2,3)},这时m\n思考6:
同一个事件的概率,为什么会出现两个不同的结果呢?36个结果都是等可能的;合并为21个可能结果时,(1,1)和(1,2)发生的可能性大小不等,这不符合古典概型特征,所以不能用古典概型公式计算概率.因此是错误的.先后抛掷两枚质地均匀的骰子.(1)求点数之和为7的概率;练习解:如图所示,从图中容易看出样本点与所描点一一对应,共36个,且每个样本点出现的可能性相等.记“点数之和为7”为事件A,从图中可以看出,事件A包含的样本点共有6个:(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6).先后抛掷两枚质地均匀的骰子.练习(2)求掷出两个4点的概率;(3)求点数之和能被3整除的概率.解:记“掷出两个4点”为事件B,从图中可以看出,事件B包含的样本点只有1个,即(4,4).解:记“点数之和能被3整除”为事件C,则事件C包含的样本点共12个:(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6).例2:袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,从中不放回地依次随机摸出2个球,求下列事件的概率:(1)A=“第一次摸到红球”;(2)B=“第二次摸到红球”;(3)AB=“两次都摸到红球”.解:将两个红球编号为1、2,三个黄球编号为3、4、5.第一次摸球时有5种等可能的结果,对应第一次摸球的每个可能结果,第二次摸球时有4种等可能的结果.将两次摸球的结果配对,组成20种等可能的结果,用下表表示.课本236页第一次第二次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×(1)第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1,2行),即A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)},
列表法第一次第二次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×(2)第二次摸到红球的可能结果有8种(表中第1,2列),即B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2)},
第一次第二次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×思考1:如果同时摸出2个球,那么事件AB的概率是多少?(3)事件AB包含2个可能结果,即AB={(1,2),(2,1)},
样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}.共有10个样本点.可用前推法得到求解古典概型问题的一般思路:(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率.归纳总结说明:我们一般用列举法(树状图法,列表法,前推法)列出所有的样本点.任意(同时或随机)取2个(3个),一般用前推法进行列举.练习可用列表法得到可用列表法得到1.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是()解析:连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子,记录向上的点数,样本空间包含的样本点的个数为n=6×6=36,“向上的点数之差的绝对值等于2”包含的样本点有:(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4),共8个,所以“向上的点数之差的绝对值等于2”的概率为
P答案:B随堂检测2.(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是(
)A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16解析:记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.在A中,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P=A正确;在B中,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12.B错误;在C中,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为
,C正确;在D中,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,D正确.答案:ACD3.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是_____.解析:从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中,余下2种颜色的花种在另一花坛的种数有:红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄,共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄,共4种,故所求概率为答案:4.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和一个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有的样本点;解:所有样本点是(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2),(B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2).(2)有人认为:两个箱子中的红球总数比白球总数多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.解:不正确,理由如下:由(1)知,所有样本点共12个,其中摸出的2个球都是红球的样本点有(A
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